Ipoteza lui Borsuk

Conjectura lui Borsuk ( problema lui Borsuk ) este o presupunere infirmată în geometria combinatorie :

Este posibil să împărțim un corp arbitrar de diametru unitar finit în spațiul euclidian -dimensional în cel mult o parte, astfel încât diametrul fiecărei părți să fie mai mic de 1?

n

n+1

Nominalizat de Karol Borsuk în 1933 . Ea a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea geometriei combinatorii a secolului XX: pentru o perioadă lungă de timp, ipoteza a fost confirmată pentru o serie de cazuri speciale iar eforturile principale au fost îndreptate spre găsirea unei dovezi în cazul general, deoarece nu existau îndoieli serioase cu privire la valabilitatea sa [1] . Cu toate acestea, în 1993 a fost găsit un contraexemplu .

Începând cu 2021, ipoteza sa dovedit a fi adevărată pentru , și falsă pentru , statutul afirmației pentru rămâne neclar. $n\leqslant 3$ $n\geqslant 64$ $4\leqslant n<64$

Decizii pozitive

Cazul este evident. Cazul a fost dovedit chiar de Borsuk în 1933, el a folosit rezultatul lui Gyula Pál ( Hung. Pál Gyula ) în 1929, conform căruia orice figură cu diametrul 1 poate fi plasată într-un hexagon obișnuit de lățime 1 și un astfel de hexagon, la rândul său, poate fi tăiat în trei pentagoane de diametru . În plus, Borsuk a demonstrat că o minge -dimensională nu poate fi împărțită în părți cu un diametru mai mic, stabilind astfel o limită inferioară pentru numărul de părți (dovada se bazează pe teorema Borsuk-Ulam ). $n=1$ $n=2$ ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$ $n$ $n$

În 1946, Hadwiger a dovedit validitatea conjecturii pentru toți pentru corpurile convexe cu o limită netedă [2] . $n$

În 1947, Julian Perkal ( poloneză: Julian Perkal ) a dovedit cazul pentru toate corpurile mărginite [3] , independent de el , matematicianul britanic Eggleston a obținut același rezultat în 1955 ; o dovadă simplă similară cu cea a lui Borsuk a fost găsită ceva mai târziu de Branko Grünbaum și Aldar Heppesch ; ele dovedesc că orice corp cu diametrul 1 poate fi plasat într-un anumit octaedru cu trei vârfuri tăiate, care la rândul lor pot fi subîmpărțite în 4 părți cu diametrul mai mic de 0,9888. $n=3$

Cel puțin de la începutul anilor 1970, ipoteza a fost confirmată pentru corpurile simetrice central . În 1971, Claude Rogers a demonstrat conjectura pentru orice mulțime care este invariantă sub acțiunea unui grup de transformări lăsând un simplex dimensional regulat în loc . $n$

În 1993, Boris Dexter a stabilit validitatea ipotezei pentru corpurile convexe cu o centură de puncte regulate [4] , iar în 1995 a rezolvat pozitiv problema pentru toate corpurile de revoluție în dimensiuni arbitrare [5] .

Numărul lui Borsuk

Numărul Borsuk este cel mai mic număr de părți posibile cu diametru mai mic în carepoate fi împărțit orice corp mărginit în spațiul dimensional. În paralel cu confirmarea ipotezeiîn cazuri speciale, limitele inferioare și superioare pentru. Estimăriși. În 1983, Marshall Lassack a descoperit că. $f(n)$ $n$ $f(n)=n+1$ $f(n)$ $f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}$ $f(n)\leqslant 2^{n)$ $f(n)\leqslant 2^{n-1}+1$

Dintre limitele superioare asimptotice , estimarea lui Claude Ambrose Rogers ( 1965 ; 1965 ) a fost cea mai bună pentru o lungă perioadă de timp : ; în 1988, Oded Schramm a descoperit că: $f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}$

f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2)}}+o(1){\Big )}^{n)

Deciziile negative

O soluție negativă a problemei în cazul general a fost descoperită în 1993 de Gil Kalai și Jeff Kahn [ 6 ] , care au construit un contraexemplu în dimensiune și au demonstrat că conjectura nu este valabilă pentru toți . În plus, au arătat că, pentru suficient de mari , există corpuri dimensionale care nu pot fi descompuse în părți cu diametru mai mic. În anii următori, dimensiunea peste care ipoteza nu este îndeplinită a scăzut constant: $n=1325$ $n>2014$ $n$ $n$ ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

1993 - (Kalai - Kan), $n\geqslant 2015$
1994 - (Neally), $n\geqslant 946$
1997 - (Weissbach - Gray), $n\geqslant 903$
1997 - (Raigorodsky) [7] , $n\geqslant 561$
2000 - (Weissbach), $n\geqslant 560$
2001 - (Hinrichs), $n\geqslant 324$
2002 - (Pikhurko), $n\geqslant 323$
2003 - (Hinrichs - Richter) [8] , $n\geqslant 298$
2013 - (Bondarenko) [9] , $n\geqslant 65$
2013 - (Ienrich) [10] . $n\geqslant 64$

Pentru a construi contraexemple, s-au folosit mulțimi finite în toate cazurile și s-au folosit rezultate combinatorii fine [11] . Limitele inferioare pentru numărul minim de părți cu diametru mai mic în majoritatea contraexemplelor sunt , într-unul dintre rezultatele lui Raigorodsky (1999) această limită este îmbunătățită la . ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$ ${\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

Variații și generalizări

În 1953, David Gale a înaintat ipoteza că orice corp de diametru unitar din spațiul tridimensional poate fi împărțit în 4 părți cu un diametru:

{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\aproximativ 0{,}888

adică mingea este „cel mai rău” corp în acest sens [12] .

În 1971, conjectura lui Borsuk a fost confirmată pentru spațiile sferice și hiperbolice la [13] . $n=2,3$

În 1991, acest rezultat a fost generalizat la dimensiuni arbitrare pentru hipersuprafețele convexe simetrice central [14] .

În 2012, au fost studiate analogii problemei Borsuk în spațiu cu metrica euclidiană și cu metrica [15] . $\mathbb {Q} ^{n)$ $l_p$

În 2019, a fost luată în considerare problema împărțirii spațiilor metrice mărginite arbitrar într-un număr dat de submulțimi cu diametru mai mic și au fost identificate criterii pentru fezabilitatea și imposibilitatea unei astfel de partiții, în funcție de distanța conform metricii Gromov-Hausdorff de la un spațiu dat simplexelor unei puteri date , unde un simplex este înțeles ca un spațiu metric, în care toate distanțele diferite de zero sunt aceleași [16] .

Note

↑ Raygorodsky, 2006 , p. 27.
↑ Boltyansky - Gokhberg, 1965 , p. 34.
↑ Grünbaum, 1971 , p. 62.
↑ BV Dexter. Conjectura Borsuk este valabilă pentru corpurile convexe cu o centură de puncte regulate // Geometriae Dedicata. - 1993. - T. 45 . — S. 301–306 .
↑ BV Dexter. Conjectura Borsuk este valabilă pentru corpurile de revoluție // Journal of Geometry. - 1995. - T. 52 . — S. 64–73 .
↑ J. Kahn, G. Kalai. Un contraexemplu la conjectura lui Borsuk (engleză) // Bull. amer. Matematică. soc. (NS). - 1993. - Vol. 29 , nr. 1 . - P. 60-62 . - arXiv : math.MG/9307229 .
↑ A. M. Raigorodsky. Despre dimensiune în problema Borsuk // Uspekhi Mat. - 1997. - T. 52 , nr. 6 (318) . - S. 181-182 .
↑ A. Hinrichs, C. Richter. Seturi noi cu numere Borsuk mari // Matematică discretă. - 2003. - T. 270 . - S. 137-147 .
↑ Andri V. Bondarenko. Pe conjectura lui Borsuk pentru seturi de două distanțe. - 2013. - arXiv : 1305.2584 .
↑ Thomas Jenrich. Un contraexemplu cu două distanțe cu 64 de dimensiuni pentru conjectura lui Borsuk. - 2013. - arXiv : 1308.0206 .
↑ Raygorodsky, 2006 .
↑ Raygorodsky, 2006 , p. 16.
↑ A. S. Riessling. Problema lui Borsuk în spațiile de curbură constantă // Ucrainean Geometric Collection . - Harkov. - T. 11 . - S. 78-83 .
↑ A. D. Milka . Un analog al problemei Borsuk // Izvestiya vuzov. Serii matematice. - 1992. - Nr 5 . - S. 58-63 .
↑ A. B. Kupavsky, E. I. Ponomarenko, A. M. Raigorodsky. Pe unii analogi ai problemei Borsuk în spațiu // Proceedings of the Moscow Institute of Physics and Technology. - 2012. - T. 12 , Nr. 1 . - S. 81-90 . $\mathbb {Q} ^{n)$
↑ A. O. Ivanov , A. A. Tujilin . Soluție la problema Borsuk generalizată în termenii distanțelor Gromov–Hausdorff la simplexuri. - arXiv : 1906.10574v1 .

Literatură

V. G. Boltyansky , I. Ts. Gokhberg . Teoreme și probleme de geometrie combinatoria . — M .: Nauka, 1965. — 108 p. — (Biblioteca de matematică). (conține dovada presupunerii în dimensiunile 2 și 3)
V. G. Boltyansky, I. Ts. Gokhberg. Împărțirea cifrelor în părți/serie mai mici = Popular Lectures on Mathematics, Issue 50 . — M .: Nauka, 1971. — 88 p.
B. Grünbaum . Studii de geometrie combinatorie si teoria corpurilor convexe. — M .: Nauka, 1971.
A. M. Raigorodsky . Problema lui Borsuk. — M. : MTsNMO , 2006. — 56 p.
A. B. Skopenkov. -cub dimensional, polinoame și rezolvarea problemei Borsuk // Educație matematică. - M. : MTSNMO, 1999. - Numărul. 3(3) . $n$