Grup cristalografic

Grup cristalografic (grup Fedorov) - un grup discret de mișcări - spațiu euclidian dimensional , având o zonă fundamentală limitată . $n$

Teorema lui Bieberbach

Două grupări cristalografice sunt considerate echivalente dacă sunt conjugate în grupul transformărilor afine ale spațiului euclidian.

teoremele lui Bieberbach

Orice grup cristalografic dimensional conține translații paralele liniar independente ; grupul de părți liniare ale transformărilor (adică imaginea în ) este finit. $n$ $\Gamma$ $n$ $G$ $\Gamma$ $GL_{n}$
Două grupări cristalografice sunt echivalente dacă și numai dacă sunt izomorfe ca grupări abstracte.
Pentru orice , există doar un număr finit de grupuri cristalografice bidimensionale considerate până la echivalență (care este o soluție la cea de-a 18-a problemă a lui Hilbert ). $n$ $n$

Teorema ne permite să oferim următoarea descriere a structurii grupurilor cristalografice ca grupuri abstracte: Fie mulțimea tuturor translațiilor paralele aparținând grupului cristalografic . Apoi este un subgrup normal de indice finit, izomorf și care coincide cu centralizatorul său în . Prezența unui astfel de subgrup normal într-un grup abstract este, de asemenea, o condiție suficientă pentru ca grupul să fie izomorf cu o grupare cristalografică. $L$ $\Gamma$ $L$ $\mathbb{Z } ^{n}$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

Grupul de părți liniare ale grupului cristalografic păstrează rețeaua ; cu alte cuvinte, în baza rețelei, transformările din sunt scrise prin matrici întregi. $G$ $\Gamma$ $L$ $L$ $G$

Numărul de grupuri

Numărul de grupări cristalografice ale spațiului -dimensional cu sau fără păstrarea orientării este dat de secvențele A004029 și A006227 . Până la echivalență, există $n$

17 grupuri cristalografice plate [1]
219 grupuri cristalografice spațiale;
- dacă luăm în considerare grupurile spațiale până la conjugație folosind transformări afine care păstrează orientarea , atunci vor fi 230 dintre ele.
În dimensiunea 4, există 4894 de grupări cristalografice care păstrează orientarea sau 4783 fără păstrarea orientării [2] [3] .

Simetrii posibile

Elemente punct

Elemente de simetrie ale figurilor finite care lasă fix cel puțin un punct.

Axele de simetrie rotative, planul de simetrie în oglindă, centrul de inversare (centrul de simetrie) și rotații improprii - axe de inversare și axele de rotație în oglindă. Rotațiile necorespunzătoare sunt definite ca rotații și inversiuni succesive (sau reflexii într-un plan perpendicular). Orice axă rotativă oglindă poate fi înlocuită cu o axă inversată și invers. Atunci când descriem grupuri spațiale, de obicei se acordă preferință axelor de inversare (în timp ce simbolismul Schoenflies folosește axele de rotație în oglindă). În grupurile cristalografice bidimensionale și tridimensionale pot fi prezente numai rotații în jurul axelor de simetrie cu unghiuri de 180° (axa de simetrie de ordinul 2), 120° (ordinul 3), 90° (ordinul 4) și 60° ( al 6-lea ordin). Axele de simetrie în simbolismul Bravais sunt notate cu litera L cu un indice n corespunzător ordinii axelor ( ), în simbolismul internațional (simbolismul Hermann-Mogen), prin cifre arabe indicând ordinea axei (de exemplu, = 2). , = 3 și = 4). Axele de inversare în simbolismul Bravais sunt notate cu litera Ł cu un indice numeric inferior n corespunzător ordinii axei de rotație ( Ł n ), în simbolurile internaționale - printr-un index digital cu o liniuță deasupra n (de exemplu, Ł 3 = 3 , £ 4 = 4 , £ 6 = 6 ). Citiți mai multe despre rotațiile necorespunzătoare și notarea acestora aici . Axele de simetrie L 3 , L 4 , L 6 se numesc axe de simetrie de ordin superior [4] . Planul oglindă de simetrie este desemnat P de Brava și m în simbolismul internațional. Centrul de inversare este desemnat C în Brava și 1 în simboluri internaționale. $L_{n}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$

Toate combinațiile posibile de elemente de simetrie punctuală conduc la 10 grupuri de simetrie punctuală în spațiul bidimensional și la 32 de grupuri de puncte în spațiul tridimensional.

În spațiul cu 4 dimensiuni, apare un nou tip de element de simetrie - rotații duble în două planuri absolut perpendiculare . Aceasta crește numărul de elemente de simetrie compatibile cu simetria translațională. Pentru spațiile cu dimensiunile 4 și 5 dintr-un cristal, sunt posibile elemente de simetrie punctuală cu ordinele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 și 12. În plus, deoarece rotațiile în fiecare dintre planurile absolut perpendiculare pot fi efectuate în direcții diferite, apar perechi enantiomorfe de elemente de simetrie punctuală (de exemplu, o rotație dublă de ordinul al patrulea, unde rotațiile de 90° în primul plan și 90° în al doilea plan sunt combinate enantiomorfe cu o rotație dublă de ordinul al patrulea, unde rotațiile de 90° în primul plan și −90° în al doilea plan sunt combinate al doilea). Toate combinațiile posibile de simetrii de puncte în spațiul 4-dimensional duc la 227 de grupuri de puncte 4-dimensionale, dintre care 44 sunt enantiomorfe (adică se obțin un total de 271 de grupuri de simetrie de puncte).

În spațiile 6-dimensionale și 7-dimensionale dintr-un cristal, elemente de simetrie punctuală cu ordinele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 și 30 sunt posibile [5] . Vezi și ro:Teorema de restricție cristalografică .

Emisiuni

În grupurile cristalografice, translațiile sunt întotdeauna prezente - transferuri paralele , atunci când sunt deplasate, prin care structura cristalină este combinată cu ea însăși. Simetria translațională a unui cristal este caracterizată de rețeaua Bravais . În cazul tridimensional, sunt posibile în total 14 tipuri de rețele Bravais. În dimensiunile 4, 5 și 6, numărul de tipuri de rețele Bravais este de 64, 189 și, respectiv, 841 [6] . Din punctul de vedere al teoriei grupurilor, un grup de translație este un subgrup abelian normal al unui grup de spațiu, iar un grup de spațiu este o extensie a subgrupului său de translație. Grupul de factori al grupului de spațiu după subgrupul de translație este unul dintre grupurile de puncte.

Operații complexe de simetrie

Rotații în jurul axelor cu translație simultană de către un vector în direcția acestei axe (axa șurubului) și reflexie față de plan cu deplasare simultană a unui vector paralel cu acest plan (plan de reflexie alunecare). În simbolurile internaționale, axele elicoidale sunt desemnate prin numărul axei rotative corespunzătoare cu un indice care caracterizează cantitatea de transfer de-a lungul axei în timpul rotației simultane. Posibile axe elicoidale în carcasa 3D: 2 1 (rotire 180° și deplasare 1/2 translație), 3 1 (rotire 120° și deplasare 1/3 translație), 3 2 (rotire 120° și deplasare 2/3 translație), 4 1 (rotire cu 90° și deplasare cu 1/4 de translație), 4 2 (rotire cu 90° și deplasare cu 1/2 translație), 4 3 (rotire cu 90° și deplasare cu 3/4 de translație), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (rotiți cu 60° și deplasați cu 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 și, respectiv, 5/6 translații). Axele 3 2 , 4 3 , 6 4 şi 6 5 sunt enantiomorfe cu axele 3 1 , 4 1 , 6 2 şi respectiv 6 1 . Datorită acestor axe, există 11 perechi enantiomorfe de grupuri spațiale - în fiecare pereche, un grup este o imagine în oglindă a celuilalt.

Planurile de reflexie de alunecare sunt desemnate în funcție de direcția de alunecare față de axele celulei de cristal. Dacă alunecarea are loc de-a lungul uneia dintre axe, atunci planul este indicat prin litera latină corespunzătoare a , b sau c . În acest caz, cantitatea de alunecare este întotdeauna egală cu jumătate din traducere. Dacă alunecarea este îndreptată de-a lungul diagonalei feței sau a diagonalei spațiale a celulei, atunci planul este notat cu litera n în cazul unei alunecări egale cu jumătate din diagonală, sau d în cazul unei alunecări egale cu un sfert din diagonală (acest lucru este posibil doar dacă diagonala este centrată). Planurile n și d se mai numesc și planuri de pană . Planurile d sunt uneori numite avioane de diamant deoarece sunt prezente în structura diamantului (în engleză diamond - diamond).

În unele grupuri spațiale există planuri în care alunecarea are loc atât de-a lungul unei axe, cât și de-a lungul celei de-a doua axe a celulei (adică planul este atât a cât și b sau a și c sau b și c ). Acest lucru se datorează concentrării feței paralel cu planul de alunecare. În 1992, simbolul e a fost introdus pentru astfel de avioane . [7] Nikolai Vasil'evich Belov a sugerat, de asemenea, introducerea notației r pentru planurile cu alunecare de-a lungul diagonalei spațiale într-o celulă romboedrică. Cu toate acestea, planurile r coincid întotdeauna cu planurile oglindă obișnuite, iar termenul nu a prins.

Notație

Numerotarea

Grupurile cristalografice (spațiale) cu toate elementele lor de simetrie inerente sunt rezumate în cartea internațională de referință International Tables for Crystallography , publicată de Uniunea Internațională a Cristalografiei . Se acceptă utilizarea numerotării date în acest manual. Grupurile sunt numerotate de la 1 la 230 în ordinea creșterii simetriei.

Simbolismul lui Herman-Mogen

Simbolul grupului de spațiu conține simbolul rețelei Bravais (litera mare P, A, B, C, I, R sau F) și simbolul grupului internațional de puncte. Simbolul rețelei Bravais denotă prezența unor noduri de translație suplimentare în interiorul celulei elementare: P (primitive) — celulă primitivă; A, B, C (centrat pe A, centrat pe B, centrat pe C) - un nod suplimentar în centrul feței A, B sau, respectiv, C; I (centrat pe I) - centrat pe corp (nod suplimentar în centrul celulei), R (centrat pe R) - centrat pe corp de două ori (două noduri suplimentare pe diagonala majoră a celulei elementare), F (F- centrat) - centrat pe față (noduri suplimentare în centrele tuturor fețelor).

Simbolul internațional al grupului de puncte este în general format din trei simboluri care denotă elementele de simetrie corespunzătoare celor trei direcții principale din celula cristalină. Un element de simetrie corespunzător unei direcții este înțeles ca fiind fie o axă de simetrie care trece de-a lungul acestei direcții, fie un plan de simetrie perpendicular pe aceasta, sau ambele (în acest caz sunt scrise printr-o fracție, de exemplu, 2/c este axa de simetrie de ordinul al 2-lea și planul de reflexie în pas perpendicular pe acesta cu o deplasare pe direcția c ). Direcțiile principale sunt:

direcțiile vectorilor de bază ai unei celule în cazul singoniei triclinice, monoclinice și rombice;
direcția axei de ordinul al 4-lea, direcția unuia dintre vectorii de bază la baza celulei unitare și direcția de-a lungul diagonalei bazei celulei în cazul unei singonii tetragonale;
direcția axei de ordinul al 3-lea sau al 6-lea, direcția unuia dintre vectorii de bază de la baza celulei elementare și direcția vectorului de-a lungul diagonalei celulei elementare la un unghi de 60° față de precedenta unul în cazul unui sistem hexagonal (acesta include și sistemul trigonal, care în acest caz este dat orientării hexagonale a celulei unitare);
direcția unuia dintre vectorii de bază, direcția de-a lungul diagonalei spațiale a celulei elementare și direcția de-a lungul bisectoarei unghiului dintre vectorii de bază.

Simbolurile Hermann-Mogen sunt de obicei prescurtate prin ștergerea denumirilor elementelor de simetrie lipsă în direcții individuale, atunci când acest lucru nu creează ambiguitate, de exemplu, se scrie P4 în loc de P411. De asemenea, în absența ambiguității, desemnările axelor de ordinul doi, care sunt perpendiculare pe planul de simetrie, sunt omise, de exemplu, înlocuiți C cu . ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $Cmmm$

Simbolul lui Schoenflies

Simbolul Schoenflies definește clasa de simetrie (simbol principal și indice) și numărul condiționat al grupului din această clasă (superscript).

C n - grupuri ciclice - grupuri cu o singură direcție specială reprezentată de o axă de rotație de simetrie - sunt notate cu litera C , cu un indice n corespunzător ordinii acestei axe.

Cu ni -grupurile cu o singură axă de simetrie de inversare sunt urmate de un indice i .
C nv (din germană vertical - vertical) - are și un plan de simetrie situat de-a lungul axei unice sau principale de simetrie, care este întotdeauna considerat vertical.
C nh (din germană orizontală - orizontală) - are și un plan de simetrie perpendicular pe axa principală de simetrie.

S 2 , S 4 , S 6 (din germană spiegel - oglindă) - grupuri cu o singură axă de simetrie a oglinzii.

C s - pentru un plan de orientare nedefinită, adică nefixat din cauza absenței altor elemente de simetrie în grup.

D n - este un grup C n cu n axe suplimentare de simetrie de ordinul doi, perpendiculare pe axa inițială.

D nh - are și un plan orizontal de simetrie.
D nd (din germană diagonală - diagonală) - are și planuri diagonale verticale de simetrie care merg între axele de simetrie de ordinul doi.

O, T - grupuri de simetrie cu mai multe axe de ordin superior - grupuri de singonie cubică. Ele sunt notate cu litera O dacă conțin setul complet de axe de simetrie ale octaedrului sau cu litera T dacă conțin setul complet de axe de simetrie ale tetraedrului.

O h și T h - conțin și un plan orizontal de simetrie
T d - conține și un plan diagonal de simetrie

n poate fi 1, 2, 3, 4, 6.

Istorie

Originea teoriei grupurilor cristalografice este asociată cu studiul simetriei ornamentelor ( ) și structurilor cristaline ( ). Clasificarea tuturor grupurilor cristalografice plane (bidimensionale) și spațiale (tridimensionale) a fost obținută independent de Fedorov (1885), Schoenflies (1891) și Barlow (1894). Principalele rezultate pentru grupurile cristalografice multidimensionale au fost obținute de Bieberbach [8] . $n=2$ $n=3$

Vezi și

Note

↑ Grupuri de imagini de fundal - de la Wolfram MathWorld . Consultat la 8 mai 2013. Arhivat din original pe 2 iunie 2013. (nedefinit)
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek și H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier și H. Wondratschek, Corecții ale grupurilor cristalografice ale spațiului cu patru dimensiuni de Brown și colab. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Arhivat la 18 ianuarie 2012 la Wayback Machine
↑ Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Cristalografie, ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1992, pagina 22.
↑ T. Janssen, JL Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams și T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), „Algoritmi și tabele cristalografice”, Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson, & S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.

Literatură

J. Wolf, Spații de curbură constantă. Traducere din engleză. Moscova: „Nauka”, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1982.
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Teoria simetriei cristalului, M. GEOS, 2000 (disponibil on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Grup cristalografic // Enciclopedie matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 106-108. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
Kovalev O.V. Reprezentări și prezentări ireductibile și induse ale grupurilor Fedorov. - M. : Nauka, 1986. - 368 p.

Link -uri

Grup spațial - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .