Sistem rapid-lent

Un sistem rapid-lent în matematică este un sistem dinamic în care există procese care au loc pe diferite scări de timp. Variabilele de fază ale unui astfel de sistem sunt împărțite în două clase: variabile „rapide” și „lente”. Rata de schimbare a variabilelor „rapide” în aproape toate punctele spațiului fazelor este mult mai mare decât rata de schimbare a variabilelor „lente”. Traiectoriile unor astfel de sisteme constau din secțiuni alternante de „derivare” lentă și „rupturi” rapide. Sistemele rapid-lent descriu diverse fenomene fizice și de altă natură în care acumularea evolutivă treptată a micilor modificări în timp duce la o tranziție bruscă a sistemului la un nou regim dinamic. [unu]

Termeni înrudiți: sistem singular perturbat , oscilații de relaxare , bifurcații dinamice .

Definiție formală și concepte de bază

Luați în considerare familia sistemelor de ecuații diferențiale obișnuite

${\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),\end {cazuri}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)$

Dacă f și g depind ușor de argumentele lor și este un parametru mic , atunci familia scrisă în acest fel definește un sistem rapid-lent. Variabila x se numește variabilă rapidă, y se numește variabilă lentă. Teoria sistemelor rapid-lent studiază comportamentul asimptotic al sistemelor de acest tip pentru . $\varepsilon$ $\varepsilon\la 0$

O curbă lentă este o mulțime de zerouri ale unei funcții f: . Când sistemul este numit „rapid”: variabila y este un parametru fix. Curba lentă constă din punctele fixe ale sistemului rapid și este astfel varietatea sa invariantă . Pentru mic , un sistem rapid-lent este o mică perturbare a unuia rapid: în afara oricărei vecinătăți fixe , rata de modificare a variabilei depășește în mod arbitrar rata de modificare a variabilei . Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că în afara vecinătății curbei lente, traiectoriile sistemului sunt practic paralele cu axa mișcării rapide . (În ilustrații, este reprezentat în mod tradițional vertical, vezi figură.) $M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\)$ $\varepsilon=0$ $\varepsilon \neq 0$ $M$ $X$ $y$ $X$

Pentru o secțiune a unei curbe lente care este mică într-o zonă mică și este proiectată în mod unic de-a lungul direcției de mișcare rapidă (adică nu are pliuri sau alte caracteristici de proiectare), sistemul păstrează o varietate invariantă , care este aproape de curba lentă . Această varietate invariabilă se numește curba lentă adevărată . Existența sa poate fi dedusă din teorema lui Fenichel sau din teoria varietăților centrale . Este specificat într-un mod neunic, dar toate aceste varietăți invariante sunt exponențial apropiate (adică distanța dintre ele este estimată ca ). $\varepsilon$ $O(\varepsilon )$ $M$ $O(\exp -C/|\varepsilon |)$

Proiecția câmpului vectorial al sistemului rapid de-a lungul direcției mișcării rapide pe curba lentă se numește câmp lent , iar ecuația dată de acest câmp și definită pe curba lentă se numește ecuație lentă . Dinamica sistemului perturbat (at ) pe curba lentă adevărată este aproximată prin ecuația lentă cu o precizie de . $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

Sistem mixt

Pentru analiza sistemelor rapid-lent, este adesea util să se ia în considerare așa-numitul sistem mixt . Presupunem că pe curba lentă dinamica este dată de ecuația lentă, iar în afara curbei lente, de sistemul rapid. „Traiectoria” unui astfel de sistem (așa-numita „traiectorie singulară”) este o curbă netedă pe bucăți, constând din arce alternante ale părții stabile a curbei lente și pauze rapide.

În sistemele rapid-lent pe plan (adică atunci când variabilele rapide și lente sunt unidimensionale), în anumite condiții de non-degenerare, traiectorii singulare ale sistemului mixt permit să se „simuleze” comportamentul rapid-lent. sistem lent pentru mic : traiectoria „reala” trece în vecinătatea singularului . Dinamica sa constă în faze alternante de „derire” lentă în apropierea secțiunilor stabile ale curbei lente și „rupturi” rapide de-a lungul traiectoriilor mișcării rapide. $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

În cursul mișcării „lente”, traiectoria parcurge o distanță fixă într-un timp de ordinul , în timp ce este atrasă exponențial de curba lentă adevărată corespunzătoare (și de alte traiectorii). $O(1/\varepsilon )$

Cicluri de relaxare

Luați în considerare următorul sistem rapid-lent asociat cu oscilatorul Van der Pol :

${\begin{cases}{\dot {x}}&=-y+xx^{3};\\{\dot {y}}&=\varepsilon x.\end{cases}}$

Curba sa lentă este o parabolă cubică . (Vezi fig.) Considerând un sistem mixt, este ușor de construit așa-numitul „ciclu singular” care trece prin punctele , , , . Rețineți că ciclul se datorează faptului că câmpul lent este îndreptat spre dreapta în partea de sus a graficului și spre stânga în jos; în plus, pe partea instabilă a curbei lente, sistemul lent are un punct fix. ${\displaystyle y=xx^{3))$ $G_{1}$ $F_{2}$ $G_{2}$ $F_{1}$

În apropierea acestui ciclu singular, sistemul rapid-lent are un ciclu limită „real” stabil. Într-adevăr, curba lentă adevărată din apropierea segmentului continuă în timp direct dincolo de punctul de blocare , se defectează, ajunge în vecinătatea părții inferioare a curbei lente, apoi se deplasează spre stânga în apropierea curbei lente adevărate corespunzătoare segmentului , suferă o se blochează în sus și cade din nou în vecinătatea arcului . Datorită efectului convergenței exponențiale a traiectoriilor atunci când se deplasează în apropierea secțiunilor stabile ale unei curbe lente (a se vedea sfârșitul secțiunii precedente), harta Poincaré de la transversală la ea însăși (vezi Fig.) este o hartă de contracție și, prin urmare, are o punct fix . Aceasta înseamnă că sistemul are un ciclu limită. Se spune că un astfel de sistem experimentează oscilații de relaxare . $\varepsilon >0$ $F_{1}G_{1}$ $G_{1}$ $F_{2}G_{2}$ $F_{1}G_{1}$ $J$

Prezentare istorică

Vibrații de relaxare

Oscilațiile de relaxare au fost descoperite pentru prima dată în ingineria radio . Pentru a descrie oscilațiile într-un circuit care include două rezistențe , o capacitate , o inductanță și o tetrodă , B. Van der Pol a propus la sfârșitul anilor 20 ai secolului XX [2] o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi ( Van der Pol). ecuația ) , în funcție de parametru, pe care îl vom nota cu . Parametrul specificat a fost exprimat prin parametrii elementelor de contur. La oscilații mici în circuit, acestea erau aproape de armonice, dar cu o creștere, caracterul lor s-a schimbat, iar la valori mari ale parametrului, secțiunile de două tipuri au început să se distingă în dinamica procesului oscilator: „lent. ” se schimbă și „sări” rapide de la o stare la alta. Van der Pol a sugerat ca astfel de oscilații să fie numite oscilații de relaxare și a înaintat ipoteza că, pentru , soluțiile corespunzătoare devin discontinue. (În acest sens, oscilațiile de relaxare sunt adesea numite și discontinue .) $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu \to +\infty$

Efecte similare au fost observate și în alte sisteme fizice. În special, în timpul analizei diferitelor circuite multivibratoare, A. A. Andronov și A. A. Witt au descoperit [1] că anumiți parametri „paraziți” (cum ar fi rezistența sau auto-inductanța unui conductor), în mod tradițional, sunt aruncați din cauza micimii lor relative la construirea unui model . , poate afecta în mod semnificativ comportamentul sistemului: de exemplu, participă la formarea feedback-ului pozitiv și, astfel, joacă un rol cheie în apariția auto-oscilațiilor . Astfel, respingerea lor a dus la un model inadecvat. Inițial, influența parametrilor mici a fost luată în considerare prin introducerea „postulatului săriturii” propus de L. I. Mandelstam , conform căruia, din considerente fizice, s-a declarat că, ajungând într-o anumită stare, sistemul trece „instantaneu” în alta. stat. Justificarea matematică a „postulatului săriturii” a fost obținută de N. A. Zheleztsov și L. V. Rodygin [3] [4] , și a necesitat luarea în considerare a ecuațiilor în care parametrul mic „parazit” era un coeficient la cea mai mare derivată, iar includerea lui a crescut ordinea ecuației — sau, cu alte cuvinte, dimensiunea spațiului de fază al sistemului corespunzător. Astfel, începând cu anii 1940, diverși cercetători au început să ia în considerare sisteme de formă

\left\{{\begin{matrix}\varepsilon x'&=&f(x,y,\varepsilon),\\y'&=&g(x,y,\varepsilon).\end{matrix} }\dreapta.

(*)

sau, după schimbarea la o altă scală de timp : $t=\tau /\varepsilon$

{\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon),\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),\ sfârșit{cazuri}}

((**))

unde și poate fi, în general, coordonate multidimensionale și este un parametru mic. Ecuația van der Pol clasică este redusă la un sistem de formă similară folosind transformarea Liénard (în acest caz ). Astfel de sisteme în terminologia modernă sunt numite „rapid-lent”: coordonate - rapid, - lent. De interes este comportamentul asimptotic al soluțiilor pentru . $X$ $y$ $\varepsilon$ $\varepsilon \sim 1/\mu$ $X$ $y$ $\varepsilon\la 0$

Sisteme rapide și lente

Portretele de fază ale sistemelor (*) și (**) la fix coincid, dar comportamentul limitator la este diferit: limita (*) se numește sistem lent (specifică mișcarea în „timp lent” ), iar limita ( **) se numește rapid . Tractoriile sistemului rapid se află în planuri , iar mulțimea de zerouri a funcției , numită suprafață lentă , constă în întregime din puncte singulare (fixe) ale sistemului rapid (care, prin urmare, nu sunt izolate). În schimb, traiectoriile unui sistem lent se află în întregime pe suprafața lentă. $\varepsilon \neq 0$ $\varepsilon \to 0$ $\tau$ $y={\mathrm {c} onst}$ $M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\)$ $f$

Luarea în considerare a acestor sisteme de limitare a făcut posibilă explicarea apariției „salturilor instantanee”. Sistemul lent corespunde modelului, în construcția căruia s-au aruncat parametrii mici „paraziți”. Descrie în mod adecvat comportamentul unui sistem real pentru mici , dar numai atâta timp cât mișcarea are loc în apropierea segmentelor lente de suprafață, care constau din puncte singulare stabile ale sistemului rapid. Cu toate acestea, traiectoria unui sistem lent poate ajunge la un moment dat la limita regiunii de atragere. În acest moment, traiectoria sistemului real poate experimenta o stagnare : părăsiți vecinătatea suprafeței lente și treceți de la mișcare lentă la mișcare rapidă, care este stabilită de sistemul rapid. Acesta este „saritul” observat (pe o scară de timp lentă se produce „instantaneu”, adică traiectoria are o discontinuitate; pe o scară de timp rapidă, într-un timp de ordinul lui ), care nu se poate explica prin neglijarea micilor. parametrii. În acest caz, traiectoria, în urma dinamicii rapide, poate cădea din nou pe o secțiune stabilă a suprafeței lente, după care mișcarea rapidă va fi din nou înlocuită cu mișcarea lentă etc. $\varepsilon$ $\varepsilon \neq 0$ $\tau$ $O(1)$

Astfel, a devenit posibil să se descrie comportamentul soluțiilor sistemelor rapid-lent, luând în considerare în ele faze alternative de mișcare lentă de-a lungul secțiunilor stabile ale suprafeței lente, determinate de sistemul lent, și blocaje de-a lungul traiectoriilor sistemului rapid. Dacă coordonatele rapide și lente sunt unidimensionale (adică sunt luate în considerare sistemele rapid-lent pe plan), această descriere este satisfăcută de traiectoria tipică a unui sistem tipic. Traiectoria închisă care trece prin secțiunile de mișcări rapide și lente este un ciclu de relaxare responsabil de apariția oscilațiilor de relaxare.

Cercetările ulterioare în acest domeniu au fost direcționate în principal spre găsirea asimptoticelor în raport cu diverși parametri ai traiectoriilor adevărate ale sistemului la (de exemplu, perioada oscilațiilor de relaxare). Dificultăți semnificative au fost cauzate de analiza dinamicii în vecinătatea punctelor de avarie, unde are loc trecerea de la mișcare rapidă la mișcare lentă. Această problemă a fost rezolvată de L. S. Pontryagin și E. F. Mișcenko la sfârșitul anilor 1950 [5] [6] . Rezultate importante au fost obținute de A. N. Tikhonov, A. B. Vasil'eva, L. Flatto, N. Levinson și alții [7] [8] . Primii termeni ai seriei asimptotice pentru perioada oscilațiilor de relaxare din ecuația Van der Pol au fost calculați mai întâi de A. A. Dorodnitsyn [9] . O serie de asimptotice pentru cazul general al unui sistem rapid-lent pe un plan au fost obținute de J. Haag în anii 40 [10] [11] . Metodele dezvoltate de Pontryagin și Mișcenko au făcut posibilă obținerea de asimptotice complete pentru soluțiile sistemelor tipice rapid-lent pe plan, care au fost descrise în monografia de E. F. Mishchenko și N. Kh. Rozov [12] , care a devenit un clasic . $\varepsilon$ $\varepsilon\la 0$

Strângerea flambajului și rațelor

Cu toate acestea, s-a dovedit că această simplă descriere calitativă nu epuizează toate tipurile posibile de traiectorii ale sistemelor rapid-lent. Deci, în anii 70, Pontryagin a descoperit fenomenul de întârziere a pierderii stabilității : s-a dovedit că, în sistemele analitice rapid-lent cu o coordonată rapidă bidimensională, după depășirea limitei de stabilitate, traiectoria poate rămâne mult timp aproape partea deja instabilă a suprafeței lente (care trece de-a lungul ei separată de distanța zero) și abia apoi suferă o defecțiune și trece la mișcare rapidă. Pe un exemplu specific, acest efect a fost studiat în lucrarea lui M. A. Shishkova [13] în 1973, realizată sub îndrumarea lui Pontryagin; cazul general a fost analizat de A. I. Neishtadt [14] în 1985.

Un efect similar a fost descoperit de studenții lui J. Riba (E. Benois, J. Callot, F. Diene, M. Diene) [15] [16] la începutul anilor 80 în sistemele rapid-lent, cu unul rapid și unul lent. variabil. Ei au studiat nașterea unui ciclu limită de relaxare în sistemul Van der Pol cu un parametru suplimentar. S-a dovedit că atunci când la un fix acest parametru trece un interval exponențial îngust (în ) (adică un interval de lungime de ordin ), ciclul limită născut dintr-un punct singular ca urmare a bifurcării Andronov-Hopf trece prin mai multe etape de evoluţie înainte de a lua forma unui ciclu clasic de relaxare. În acest caz, după cum sa dovedit, pentru valorile intermediare ale parametrului, ciclurile limită corespunzătoare trec în apropierea unor arce ale părții instabile a curbei lente. Astfel de traiectorii au fost numite „rățe” ( canard franceză , acum se folosește și rața engleză engleză ) - parțial datorită efectului contraintuitiv, care la început a fost perceput ca o „răță de ziar”, parțial datorită formei sale, care seamănă vag cu o rață zburătoare. [7] [17] . Soluțiile de bătătură au fost găsite în diferite modele chimice, biologice și alte modele. [optsprezece] $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\exp(-C/\varepsilon )$

Inițial, soluțiile de rață au fost studiate prin metode de analiză non-standard , dar în curând au putut să le aplice metodele deja clasice ale seriei asimptotice (W. Ekkauz [19] , E. F. Mishchenko, A. Yu. Kolesov, Yu. S. Kolesov, N. Kh Rozov [20] [21] ), iar mai târziu - teoria geometrică a sistemelor perturbate singular (dezvoltată de N. Fenichel [22] ) folosind metoda exploziei (F. Dumortier și R. Roussari [ 23] , M. Krupa și P. Smolyan [24] ). S-a dovedit că soluțiile de rață sunt un fenomen „rar” în sistemele aeronave. În special, atragerea ciclurilor de bătătură, care pot fi detectate în cursul unui experiment numeric , apar numai în prezența unui parametru suplimentar, iar setul de valori „bătături” ale acestui parametru pentru o valoare fixă este exponențial restrâns în . $\varepsilon$ $\varepsilon$

În 2001, Yu. S. Ilyashenko și J. Guckenheimer au descoperit [25] un comportament fundamental nou pentru sistemele rapid-lent pe un tor bidimensional. S-a demonstrat că pentru o anumită familie de sisteme, în absența parametrilor suplimentari , pentru o valoare arbitrar mică de , sistemul poate avea un ciclu de rață stabil. Ulterior, I. V. Shchurov a arătat [26] că un fenomen similar este observat și într-un mod tipic - într-un set deschis de sisteme rapid-lent. $\varepsilon$

Literatură

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teoria bifurcațiilor // Sisteme dinamice-5. Rezultatele științei și tehnologiei. Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
DV Anosov Despre dezvoltarea teoriei sistemelor dinamice în ultimul sfert de secol , capitolul Teoria perturbaţiilor singulare .

Note

↑ 1 2 Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Teoria vibrațiilor. — ediția a II-a. - 1959. - S. 727-855. — 914 p.
↑ van der Pol, B. , On relaxation-oscillations, The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. şi J. of Sci., 2 :7 (1927), 978-992
↑ Zheleztsov N. A., Rodygin L. V. Despre teoria unui multivibrator simetric. — Dokl. AN SSSR, 81 :3 (1951), 391-392.
↑ N. A. Zheleztsov , Despre teoria vibrațiilor discontinue în sistemele de ordinul doi. Izv. institutii de invatamant superior. Radiophysics 1 :1 (1958), 67-78.
↑ L. S. Pontryagin , Comportamentul asimptotic al soluțiilor sistemelor de ecuații diferențiale cu un parametru mic la derivate superioare, Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat. 21 :5 (1957), 605-626
↑ E. F. Mishchenko, L. S. Pontryagin , Derivarea unor estimări asimptotice pentru soluții de ecuații diferențiale cu un parametru mic la derivate, Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat. 23 :5 (1959), 643-660
↑ 1 2 V. I. Arnold, V. S. Afraimovici, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Sisteme dinamice - 5. VINITI, Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. 5 , 1986.
↑ vezi lucrările citate în V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Sisteme dinamice - 5. VINITI, Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. 5 , 1986 și E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Ecuații diferențiale cu un parametru mic și oscilații de relaxare, Moscova, Nauka, 1975.
↑ A. A. Dorodnitsyn , Soluția asimptotică a ecuației Van der Pol, Prikl. matematica. i Mekhan., 11 :3 (1947), 313-328
↑ Haag J. Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Cina. 60 (1943).
↑ Haag J. Exemple concrets d'etude asymptotique d'oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Cina. 61 (1944).
↑ E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Ecuații diferențiale cu un parametru mic și oscilații de relaxare, Moscova, Nauka, 1975.
↑ M. A. Shishkova, Considerarea unui sistem de ecuații diferențiale cu un parametru mic la derivate superioare, Dokl. AN SSSR, 1973, 209 :3, 576-579.
↑ Neishtadt A. I. Studiu asimptotic al pierderii stabilității echilibrului cu o pereche de valori proprii care trec încet prin axa imaginară. Succes mat. Nauk, 1985, 40 :5, 190-191
↑ E. Benoit, J.F. Callot, F. Diener, M. Diener . Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 31-32 (1981), 37-119.
↑ M. Diener , The canard unchained or how fast/slow dynamical systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38-48.
↑ Martin Wechselberger , Canards Arhivat la 9 februarie 2019 la Wayback Machine , Scholarpedia, 2(4):1356 (2007),
↑ (Vezi, de exemplu , J. Moehlis , Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nonlinear Sci. 12 :4, 319-345 și lucrările citate acolo.
↑ W. Eckhaus , Relaxation oscillations include a standard chase on French ducks, în Asymptotic Analysis II, Springer Lecture Notes Math. 985 (1983), 449-494.
↑ A. Yu. Kolesov, E. F. Mișcenko. Fenomenul de tragere al lui Pontryagin și ciclurile stabile ale sistemelor de relaxare multidimensionale cu o variabilă lentă. Mathematical Collection, 181 :5 (1990), 579-588.
↑ Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodic motions and bifurcation processes in singularly perturbed systems. Moscova, „Literatura fizico-matematică”, 1995
↑ N. Fenichel , Teoria perturbației geometrice singulare pentru ecuații diferențiale ordinare, J. of Diff. Eq., 31 (1979), pp. 53-98.
↑ F. Dumortier și R. Roussarie , Cicluri Canard și varietăți centrale, Mem. amer. Matematică. Soc. 121 :577 (1996).
↑ M. Krupa, P. Szmolyan , Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points —- fold and canard points in two dimensions, SIAM J. Math. Anal., 33 :2, 286-314.
↑ J. Guckenheimer, Yu. S. Ilyashenko , Rața și diavolul: Canards pe scară, Moscova Math. J. , 1 :1, (2001), 27-47.
↑ IV Schurov, Rațe pe torus: existență și unicitate (link indisponibil) , Journal of dynamical and control systems , 16 :2 (2010), 267-300.