Notația Leibniz

Notația Leibniz este o notație matematică dezvoltată de Leibniz pentru analiza infinitezimale și utilizată pe scară largă în analiza matematică (împreună cu o serie de alte notații ). Simbolurile principale sunt și pentru reprezentarea unui increment infinitezimal și respectiv a unei funcții a unei variabile , precum și pentru incremente finite și, respectiv [1] . $dx$ $dy$ $X$ $y$ $X$ ${\Delta }x$ ${\Delta }y$ $X$ $y$

Derivata cu privire la , care mai târziu a ajuns să fie considerată o limită : $y$ $X$

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x) )-f(x)}{\Delta x))

a fost, potrivit lui Leibniz, raportul dintre un increment infinitezimal și un increment infinitezimal : $y$ $X$

{\frac {dy}{dx}}=f'(x)

unde partea dreaptă este notația pentru derivata funcției în raport cu notația Lagrange . Creșterile infinitezimale se numesc diferențiale . Legat de acest concept este conceptul de integrală , în care incrementele infinitezimale sunt însumate (de exemplu, pentru a calcula lungimea, aria sau volumul ca sumă de bucăți minuscule). Pentru a scrie integralele, Leibniz a propus o notație strâns legată care folosește aceleași diferențe. Această notație a avut o mare importanță în dezvoltarea matematicii europene continentale. $f$ $X$

Conceptul lui Leibniz de infinitezimal a rămas neriguros pentru o lungă perioadă de timp, dar de-a lungul timpului a fost completat de formulări riguroase dezvoltate de Weierstrass și alți matematicieni ai secolului al XIX-lea. În consecință, notația fracțională a lui Leibniz a ajuns să fie văzută nu ca o simplă diviziune, ci a fost definită prin trecerea la limită . În secolul al XX-lea, au fost propuse alte câteva formalisme pentru a da rigoare notației infinitezimale, inclusiv analiza non-standard , spațiul tangent , utilizarea lui „O” mare.[ specificați ] .

Derivatele și integralele analizei matematice pot fi privite din punctul de vedere al teoriei moderne a formelor diferențiale , în care derivata este într-adevăr raportul a două diferențiale, iar integrala se comportă exact în conformitate cu notația Leibniz. Cu toate acestea, acest lucru necesită ca derivata și integrala să fie definite într-un sens diferit, reflectând astfel consistența și eficiența de calcul a notației Leibniz.

Istorie

În secolul al XVII-lea, matematicienii Newton și Leibniz au început independent să dezvolte calculul, operând cu cantități infinitezimale . În timp ce Newton a lucrat cu fluxiuni , Leibniz și-a bazat abordarea pe generalizarea sumelor și diferențelor [2] . Leibniz a fost primul care a folosit simbolul . Acest simbol este derivat din cuvântul latin summa ("sumă"), pe care savantul l-a scris ca ſumma folosind litera alungită s , care era adesea folosită în Germania la acea vreme. Considerând diferențierea ca operație inversă însumării [3] , Leibniz a folosit simbolul - prima literă a cuvântului latin diferencial („ diferență ”) [2] . $\textstyle \int$ $d$

Leibniz a fost hotărât în privința notării, petrecând ani de zile experimentând, ajustând, sacrificând și căzând de acord cu alți matematicieni [4] . Notația pe care a folosit-o pentru diferența variabilă s-a schimbat treptat de la , la notația finală [5] . Semnul său integral a apărut pentru prima dată în articolul „De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum” (Despre geometria ascunsă și analiza indivizibilului și infinitului), publicat în revista Acta Eruditorum în iunie 1686 [6] [7] , dar a fost folosit în manuscrise private de cel puțin din 1675 [8] [9] [10] Leibniz a folosit pentru prima dată denumirea în articolul „ Nova Methodus pro Maximis et Minimis ”, publicat și în revista Acta Eruditorum în 1684 [11] . Deși expresia a apărut într-un manuscris privat din 1675 [12] [13] , ea nu a fost folosită sub această formă în lucrările publicate menționate. În tipărire, Leibniz a folosit expresii pentru diferențiere în formă și [11] . $y$ $\omega$ $l$ ${\tfrac {y}{d)}$ $dy$ $dx$ ${\tfrac {dy}{dx)}$ $dyaddx$ $dy:dx$

Matematicienii englezi au folosit notația cu puncte a lui Newton până în 1803, când Robert Woodhouse a publicat o descriere a notației continentale. Mai târziu Cambridge University Analytical Society a promovat adaptarea notației lui Leibniz.

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, adepții lui Weierstrass au încetat să ia literalmente notația lui Leibniz pentru derivate și integrale. Matematicienii au considerat că conceptul de infinitezimale conținea o contradicție logică. Unii matematicieni din secolul al XIX-lea (Weierstrass și alții) au formulat metode riguroase din punct de vedere matematic pentru a trata derivatele și integralele fără a folosi infinitezimale. Formalizarea matematică a lui Weierstrass a folosit conceptul de limită , așa cum se arată mai sus. În același timp, Cauchy a folosit atât infinitezimale, cât și limite (vezi Cours d'Analyse ). Momentan, notația lui Leibniz continuă să fie folosită în mod activ, dar nu trebuie luată la propriu. Notația Leibniz este adesea mai simplă decât notațiile alternative: de exemplu, atunci când se utilizează tehnica separării variabilelor la rezolvarea ecuațiilor diferențiale. De asemenea, notația lui Leibniz este în armonie cu analiza dimensională . De exemplu, să fie deplasarea, care se măsoară în metri, și să fie timpul, măsurat în secunde. Creșterile de cantități au dimensiunile corespunzătoare, adică are dimensiunea lungimii și dimensiunea timpului. Derivata va determina viteza cu dimensiunea m/s . În mod similar, integrala va determina deplasarea măsurată în metri. $Sf)$ $t$ $ds$ $dt$ $v(t)=ds/dt$ ${\textstyle s=\int v(t)\,dt}$

Notație Leibniz pentru diferențiere

Fie variabila dependentă o funcție a variabilei independente : . Atunci derivata funcției în notația Leibniz pentru diferențiere poate fi scrisă ca: $y$ $f$ $X$ $y=f(x)$ $f$

{\frac {dy}{dx)}\quad

sau sau .

\quad {\frac {d}{dx}}y\quad

\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}

Expresia Leibniz, scrisă ca , este una dintre notațiile general acceptate pentru derivată. Alternativele sunt notația Lagrange cu primă $dy/dx$

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)

și o notație în notație newtoniană care necesită plasarea unui punct peste variabila dependentă (în acest caz ): $y$

{\frac {dy}{dt}}={\punct {y}}

Notația newtoniană este adesea folosită pentru a scrie derivate în funcție de timp (similar cu viteza ). Notația „ trăsă ” a lui Lagrange este mai concisă și permite să scrieți derivata unei funcții într-un anumit punct. De exemplu, intrarea denotă prima derivată a funcției în punctul . Cu toate acestea, denumirea Leibniz are avantajele sale, permițându-i să rămână populară după mulți ani. $f'(x_{0})$ $f(x)$ $x = x_0$

În interpretarea modernă, expresia ar trebui considerată nu ca un raport direct dintre două cantități infinitezimale și (cum și-a imaginat Leibniz), ci ca o singură expresie, care este o abreviere pentru redistribuire: ${\tfrac {dy}{dx)}$ $dy$ $dx$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x)}

semnul folosit aici este , care denotă o diferență finită, mai degrabă decât , care denotă un infinitezimal așa cum a fost interpretat de Leibniz. ${\Delta }$ $d$

O expresie poate fi înțeleasă și ca acțiunea unui operator diferențial (din nou, un singur simbol) asupra unei variabile , care este tratată ca o funcție a variabilei independente . Acest operator este, de asemenea, scris ca în notația Euler . Leibniz nu a folosit această formă, ci a aplicat simbolul destul de aproape de conceptul modern. ${\tfrac {d}{dx)}$ $y$ $X$ $D$ $d$

Deși notația Leibniz nu implică nicio diviziune reală, notația coeficient este utilă în multe situații. Deoarece operatorul derivat se comportă în mod similar cu operația de împărțire în multe cazuri, notația Leibniz face mai ușor de înțeles și reținut unele rezultate legate de derivate [14] . Deci, s-a menționat deja mai devreme că dimensiunile mărimilor în timpul diferențierii se comportă ca în diviziunea obișnuită, un alt exemplu ilustrativ este regula diferențierii unei funcții complexe , care în notația Leibniz este evidentă și ia o formă apropiată de o tautologie:

{\frac {dy}{dt}}\,=\,{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

Notația Leibniz are o durată de viață atât de lungă, deoarece ajunge la miezul aplicațiilor geometrice și mecanice ale analizei [15] .

Notația Leibniz pentru derivate de ordin superior

Dacă , atunci derivata --a a funcției în notația Leibniz este dată de expresia [16] $y=f(x)$ $n$ $f$

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n)))

Această notație pentru derivata a doua se obține utilizând -o ca operator după cum urmează [16] : ${\tfrac {d}{dx)}$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \dreapta)

A treia derivată, care poate fi scrisă ca:

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

poate fi obtinut de la:

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y }{dx^{2))}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\dreapta)\dreapta)

În mod similar, derivatele de ordin superior pot fi obținute din instrucțiuni. Deși, cu definiții alese cu grijă, expresia poate fi interpretată ca un coeficient de două diferențiale , acest lucru nu ar trebui făcut pentru forme diferențiale de ordin superior [17] . ${\tfrac {dy}{dx)}$

Această denumire nu a fost folosită de Leibniz. În lucrările tipărite nu a folosit nici notație în mai multe etape, nici exponenți numerici (până în 1695). De exemplu, pentru a scrie , Leibniz ar putea folosi notația acceptată la acel moment . Pătratul diferenţialului, care apare, de exemplu, în formula lungimii curbei , a fost scris ca . În plus, Leibniz și-a folosit notația în sensul în care acum sunt utilizați operatori, adică putea scrie derivata a doua ca , iar a treia ca . În 1695, Leibniz a început să scrie pentru și pentru și respectiv, dar Lopital , într-o carte despre calcul scrisă în aceeași perioadă, a folosit forma originală a notației lui Leibniz [18] . $x^{3}$ $xxx$ $dxdx$ $d$ $ddy$ $dddy$ $d^{2}\cdot {x}$ $d^{3}\cdot {x}$ $ddx$ $dddx$

Utilizare în diverse formule

Unul dintre motivele pentru care notația lui Leibniz a rezistat atât de mult în calcul este că facilitează reamintirea diferitelor formule folosite pentru diferențiere și integrare. De exemplu, formula de diferențiere a unei funcții complexe . Fie funcția diferențiabilă față de și fie funcția diferențiabilă față de . Compoziția funcțiilor este diferențiabilă în raport cu și derivata sa poate fi exprimată în notația Leibniz ca [19] $g(x)$ $X$ $y=f(u)$ $u=g(x)$ $y(x)=f(g(x))$ $X$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

Formula poate fi generalizată pentru a lucra cu o compoziție de mai multe funcții conexe definite într-un mod adecvat $u_{1},u_{2},\dots,u_{n)$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}

Formula pentru modificarea variabilei în integrală poate fi reprezentată prin expresia [20] :

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

unde este considerată ca o funcție a unei noi variabile , funcția din stânga este exprimată în termeni de , iar din dreapta în termeni de . $X$ $u$ $y$ $X$ $u$

Fie , unde este o funcție diferențiabilă inversabilă , atunci derivata funcției inverse (dacă există) poate fi exprimată ca [21] $y=f(x)$ $f$

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right))),

unde se adaugă paranteze pentru a sublinia faptul că derivata nu este un coeficient, dar expresia trebuie considerată ca un întreg. Cu toate acestea, la rezolvarea unor tipuri de ecuații diferențiale, este permis să se opereze cu diferențiale și separat . Luați în considerare unul dintre cele mai simple tipuri de ecuații diferențiale [22] ${\textstyle {\frac {dy}{dx)}}$ $dy$ $dx$

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

unde și sunt funcții continue ale argumentelor lor. Rezolvarea (implicit) a unei astfel de ecuații poate fi obținută examinând ecuația în forma sa diferențială . $M$ $N$

M(x)\,dx+N(y)\,dy=0

După integrare, obținem

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

Această tehnică de rezolvare a ecuațiilor diferențiale se numește metoda de separare a variabilelor .

În fiecare dintre exemple, notația lui Leibniz pentru derivată se manifestă ca un coeficient, în ciuda faptului că în interpretarea modernă expresia nu este tratată ca o adevărată diviziune. ${\textstyle {\frac {dy}{dx)}}$

Rațiune modernă pentru infinitezimale

În anii 1960, pornind de la lucrările timpurii ale lui Edwin Hewitt și Jerzy Los Abraham Robinson a propus o justificare matematică pentru infinitezimalele Leibniz care era acceptabilă pentru standardele de rigoare de astăzi și a dezvoltat o analiză non-standard pe baza acestor idei. Abordarea a câștigat o oarecare popularitate, Jerome Keisler pe baza ei a scris un manual pentru primul curs „Începuturile analizei: abordarea infinită mică”, dar metodele lui Robinson nu au fost utilizate pe scară largă.

Din punctul de vedere al teoriei moderne a infinitezimalelor , este un increment infinitezimal , este incrementul corespunzător , iar derivata este partea standard a raportului infinitezimal: ${\Delta }x$ $X$ ${\Delta }y$ $y$

f'(x)={\rm {st)}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x)}{\Bigg ))

Atunci echivalăm , , deci prin definiție este o relație cu . $dx=\Delta x$ $dy=f'(x)dx$ $f'(x)$ $dy$ $dx$

La fel, deși majoritatea matematicienilor înțeleg integrala:

\int f(x)\,dx

ca limită:

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x

unde este un interval care conține , Leibniz l-a văzut ca suma (simbolul integral notat însumarea pentru acesta) a unui număr infinit de mărimi infinitezimale . Din punctul de vedere al analizei non-standard, este corect să considerăm integrala ca parte standard a unei astfel de sume infinite. ${\Delta }x$ $x_{i}$ $f(x)dx$

În schimb, pentru acuratețea conceptului, este necesar să se extindă mulțimea numerelor reale la mulțimea numerelor hiperreale .

Alte denumiri Leibniz

Leibniz a experimentat cu multe notații diferite în diferite domenii ale matematicii. El a simțit că notația bună a jucat un rol fundamental în studiul matematicii. Într-o scrisoare către Lopital în 1693, el scrie [23] :

Unul dintre secretele analizei este caracterizarea, adică arta folosirii cu măiestrie a simbolurilor disponibile, și vezi, domnule, că în spatele micilor bariere [pentru determinanți] Vieta și Descartes nu vedeau toate secretele.

El și-a perfecționat criteriul de notare bună de-a lungul timpului și a înțeles sensul „utilizarii unui simbolism care poate fi scris într-un șir ca o simplă literă fără a fi nevoie să lărgi lățimea liniilor pentru a scrie caractere cu părți spațioase”. [24] De exemplu, în lucrările sale timpurii, el a folosit adesea o bară pentru a grupa caracterele, dar mai târziu a sugerat să folosească o pereche de paranteze pentru aceasta, facilitând astfel munca tipografilor, care acum nu mai au nevoie să extindă spațiul dintre linii pe un pagină, iar paginile au început să pară mai atractive [25] .

Multe dintre cele 200 de simboluri noi introduse de Leibniz sunt încă în uz astăzi [26] . Pe lângă diferențiale și semnul integral ( ), el a introdus și două puncte ( ) pentru împărțire, un punct ( ) pentru înmulțire, semne geometrice de similitudine ( ) și congruență ( ), utilizarea semnului egal al Recordului ( ) pentru proporții (în loc de notația lui Ottred ), și un dublu sufix pentru determinanți [23] . $dx$ $dy$ $\textstyle \int$ $\colon$ $\cdot$ $\sim$ $\cong$ $=$ $\colon \colon$

Vezi și

Note

↑ Stewart, 2008 .
↑ 1 2 Katz, 1993 , p. 524.
↑ Katz, 1993 , p. 529.
↑ Mazur, 2014 , p. 166.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 203 nota de subsol 4.
↑ Swetz, 2015 .
↑ Stillwell, 1989 , p. 110.
↑ Leibniz, 2005 , p. 73–74, 80.
↑ Leibniz, 2008 , p. 288-295, 321-331.
↑ Aldrich, John. Primele utilizări ale simbolurilor calculului . Consultat la 20 aprilie 2017. Arhivat din original la 1 mai 2015. (nedefinit)
↑ 1 2 Cajori, 1993 , p. Vol. II 204.
↑ Leibniz, 2008 , p. 321–331, 328.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 186.
↑ Jordan, Smith, 2002 , p. 58.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 262.
↑ 1 2 Briggs, Cochran, 2010 , p. 141.
↑ Swokowski, 1983 , p. 135.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 204-205.
↑ Briggs, Cochran, 2010 , p. 176.
↑ Swokowski, 1983 , p. 257.
↑ Swokowski, 1983 , p. 369.
↑ Swokowski, 1983 , p. 895.
↑ 1 2 Cajori, 1993 , p. Vol. II 185.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 184.
↑ Mazur, 2014 , p. 167-168.
↑ Mazur, 2014 , p. 167.

Literatură

Florian Cajori. O istorie a notațiilor matematice . - New York: Dover, 1993. - ISBN 0-486-67766-4 .
Joseph Mazur. Simboluri iluminatoare / O scurtă istorie a notației matematice și a puterilor sale ascunse. - Princeton University Press, 2014. - ISBN 978-0-691-17337-5 .
James Stewart. Calcul: Transcendentale timpurii . — al 6-lea. — Brooks/Cole , 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8 .
Victor J. Katz O istorie a matematicii / O introducere . - Addison Wesley Longman, 1993. - ISBN 978-0-321-01618-8 .
Frank J. Swetz. Comoara matematică: lucrările lui Leibniz despre calcul — Calcul integral . - Mathematical Association of America , 2015. - (Convergence).
John Stillwell . Matematica și istoria ei . — Springer, 1989.
Leibniz GW Manuscrisele matematice timpurii ale lui Leibniz / tradus de JM Child. - Dover, 2005. - P. 73–74, 80. - ISBN 978-0-486-44596-0 .
Leibniz GW Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: // Mathematische Schriften, . - Berlin: Akademie Verlag, 2008. - V. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676. Paginile 288-295 Arhivat la 9 octombrie 2021 la Wayback Machine („Analyseos tetragonisticae pars secunda”, 29 octombrie 1675) 321-331 Arhivat la 3 octombrie 2016 la Wayback Machine („Methodi tangentium inversae exempla ”, 11 noiembrie 13671) -331 esp. 328 Arhivat la 3 octombrie 2016 la Wayback Machine („Methodi tangentium inversae exempla”, 11 noiembrie 1675).
Jordan DW, Smith P. Tehnici matematice: o introducere pentru științe inginerie, fizică și matematică. - Oxford University Press, 2002. - P. 58.
William Briggs, Lyle Cochran. Calcul/Transcendentale timpurii/variabilă unică . - Addison-Wesley, 2010. - ISBN 978-0-321-66414-3 .
Earl W. Swokowski. Calcul cu geometrie analitică . — Alternant. — Prindle, Weber și Schmidt, 1983. — ISBN 0-87150-341-7 .