Triunghi de aur (geometrie)

Triunghiul de aur [1]  este un triunghi isoscel în care cele două laturi laterale (egale) sunt în raport de aur cu baza:

Triunghiurile de aur pot fi găsite în dezvoltarea unora dintre stelările dodecaedrului și icosaedrului .

De asemenea, același triunghi se găsește la vârfurile pentagramei . Unghiul de vârf este

Din faptul că suma unghiurilor unui triunghi este 180°, obținem că unghiurile de la bază sunt 72° [1] . Un triunghi de aur poate fi găsit și într-un decagon dacă două vârfuri adiacente sunt conectate la centru. Triunghiul rezultat va fi auriu, deoarece: 180(10-2)/10=144° este unghiul interior al decagonului, iar împărțirea acestuia la segmentul care leagă vârful de centru va da jumătate, 144/2=72 [ 1] .

Triunghiul de Aur este de asemenea remarcabil pentru raportul său unic de unghi 2:2:1 [2] .

Spirala logaritmică

O secvență de triunghiuri de aur poate fi înscrisă într-o spirală logaritmică . (Pornind de la un triunghi mare) împărțim unghiul de la bază la jumătate, obținem următorul punct [3] . Procesul de împărțire poate continua la nesfârșit, creând un număr infinit de triunghiuri de aur. O spirală logaritmică poate fi trasată prin vârfurile rezultate. Această spirală este cunoscută și sub denumirea de spirală conformă . Termenul a fost propus de Rene Descartes : „Dacă tragi o linie de la pol până la orice punct al curbei, aceasta va intersecta întotdeauna curba la același unghi” [4] .

Gnomon de aur

Strâns legat de triunghiul de aur este gnomonul de aur , un triunghi isoscel obtuz în care raportul dintre lungimea laturilor egale (scurte) și lungimea celei de-a treia laturi (bază) este inversul raportului de aur. Gnomonul de aur este un triunghi unic cu un raport unghiular de 1:1:3. Unghiurile sale ascuțite sunt de 36°, aceeași valoare ca unghiul de la vârful triunghiului de aur.

Distanța AX și CX sunt egale cu φ, ceea ce poate fi văzut în figură. „Triunghiul de aur are un raport bază-latură egal cu raportul de aur φ, în timp ce un gnomon de aur are un raport latură-bază egal cu același raport de aur” [5] .

Triunghiul de aur poate fi tăiat într-un triunghi de aur și un gnomon de aur. Același lucru este valabil și pentru gnomonul de aur. Gnomonul de aur și triunghiul de aur cu laturile lor egale (latura gnomonului este egală cu latura triunghiului) sunt, de asemenea, triunghiuri Robinson obtuze și acute [2] .

Aceste triunghiuri isoscele pot fi folosite pentru a obține plăci Penrose . Plăcile Penrose sunt formate din zmee și săgeți. „Șarpele” este un deltoid , format din două triunghiuri de aur, iar „dartul” este un deltoid, format din doi gnomoni de aur.

Vezi și

• ratia de aur
• dreptunghi auriu
• romb de aur
• Triunghiul Kepler
• Lăuta lui Pitagora
• mozaic Penrose
• Pentagramă

Note

1. ↑ 1 2 3 Elam, 2001 .
2. ↑ 1 2 Tilings Encyclopedia Arhivat 24 mai 2009 la Wayback Machine
3. ↑ Huntley, 1970 .
4. ↑ Livio, 2002 .
5. ↑ Loeb, 1992 .

Literatură

• Kimberly Elam. Geometria Designului . - New York: Princeton Architectural Press, 2001. - ISBN 1-56898-249-6 .
• H. H. Huntley. Proporția divină: un studiu asupra frumuseții matematice. - New York: Dover Publications Inc, 1970. - ISBN 0-486-22254-3 .
• Mario Livio. Raportul de aur: Povestea lui Phi, cel mai uimitor număr din lume. - Broadway Books, 2002. - ISBN 0-7679-0815-5 .
• Arthur Loeb. Concepte și imagini: Matematică vizuală. - Boston: Birkhäuser Boston, 1992. - ISBN 0-8176-3620-X .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Triunghiul de aur  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Golden gnomon  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• Triunghiuri Robinson la Tilings Encyclopedia