Spirală aurie

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Spirala aurie sau spirala Fibonacci este o spirală logaritmică al cărei factor de creștere este φ 4 , unde φ  este raportul de aur . Coeficientul de creștere al unei spirale logaritmice arată de câte ori s-a schimbat raza polară a spiralei când este rotită printr-un unghi de 360 ​​° [1] . Această spirală și-a primit numele datorită conexiunii sale cu o succesiune de dreptunghiuri imbricate cu un raport de aspect egal cu φ , care sunt denumite în mod obișnuit aurii . O spirală aurie poate fi atât înscrisă într-un sistem de astfel de dreptunghiuri, cât și descrisă în jurul acesteia. Spirala aurie a câștigat popularitate datorită faptului că spirala, cunoscută de la începutul secolului al XVI-lea și folosită în artă [2] , construită după metoda Dürer [3] [4] , s-a dovedit a fi o bună aproximare pentru spirala aurie (vezi figura).

Formula

Ecuația pentru spirala aurie în sistemul de coordonate polar este aceeași ca și pentru alte spirale logaritmice , dar cu o valoare specială pentru factorul de creștere - φ 4 :

,

unde a  este o constantă reală pozitivă arbitrară și a  este raportul de aur .

Proprietatea principală a unei spirale logaritmice: unghiul dintre vectorul rază care emană de la pol și tangenta la spirală - μ - este constant, iar pentru spirala aurie este determinat de formula:

, unde .

Unde .

Aproximații ale spiralei de aur

Există mai multe spirale similare care sunt apropiate, dar nu exact la fel cu spirala aurie [5] , cu care sunt adesea confundate.

După cum am menționat deja mai sus, atunci când o spirală de aur este înscrisă într-o succesiune de dreptunghiuri de aur imbricate, aceasta este aproximată printr-o spirală construită după metoda Dürer. Dreptunghiul de aur poate fi împărțit într-un pătrat și un dreptunghi similar, care, la rândul său, poate fi împărțit în același mod, iar acest proces poate fi continuat de un număr arbitrar de ori. Dacă sferturile de cerc legate între ele sunt introduse în aceste pătrate, atunci se obține o spirală, prezentată în prima figură.

O altă aproximare este spirala Fibonacci , care este construită ca spirala de mai sus, cu excepția faptului că începeți cu un dreptunghi de două pătrate și apoi adăugați un pătrat de aceeași lungime pe latura mai mare a dreptunghiului. Pe măsură ce raportul dintre numerele Fibonacci adiacente se apropie de raportul de aur, spirala se apropie de spirala aurie din ce în ce mai mult pe măsură ce se adaugă pătrate (vezi a doua figură).

Spirale în natură

În natură, există aproximări ale spiralelor logaritmice cu un factor de creștere egal cu φ k . Deci coji de moluște Nautilus pompilius și amoniți fosilizați sunt bine descrise la k = 2, iar cochiliile unor melci la k = 1. [ 6 ] galaxii spirale , în ciuda afirmațiilor existente [8] , dacă sunt descrise printr-un logaritmic, atunci nu printr-o spirală aurie. În acest caz, descrierea de către ea este o manifestare a proximității aleatorii. O analiză recentă a spiralelor găsite în epiteliul corneean de șoarece a arătat că acolo apar atât spirale aurii, cât și alte spirale logaritmice. [9]

Vezi și

Note

  1. ↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică superioară. M.: Nauka, 1977, p. 884.
  2. ↑ Prohorov A. Spirala de Aur, Kvant, 1984, nr. 9.
  3. ↑ Arakelyan. G. Matematica și istoria secțiunii de aur, Moscova: Logos, 2014, p. cincizeci.
  4. ↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, în Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Reprint 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Trad. engleză: Manualul pictorului, Abaris Books, New York 1977).
  5. ↑ Madden, 1999 , p. 14–16.
  6. ↑ A.N. Kovalev, Once again about golden spirals // Academy of Trinitarianism, M., El No. 77-6567, publ .pdf Arhivat 13 octombrie 2017 la Wayback Machine
  7. ↑ Petukhov S. V. Genetica matricei, algebrele codului genetic, imunitatea la zgomot. - Moscova: Dinamica regulată și haotică, 2008. - P. 107.
  8. ↑ Gazale, 1999 , p. 3.
  9. ↑ Rhee, 2015 , p. 22–38.

Literatură

 ratia de aur
Cifre „de aur”.
Alte secțiuni
Alte