Izomorfism de categorie

Izomorfismul de categorie este o relație unu-la-unu între categorii care păstrează structura obiectelor și a morfismelor: categorii și sunt izomorfe dacă există functori și care sunt inversi unul față de celălalt, adică (functor de identitate pe ) și [1] . Cele două categorii izomorfe împărtășesc toate proprietățile care sunt definite numai în termeni de teoria categoriilor; pentru toate scopurile practice, ele sunt identice, diferă doar prin denumiri de obiect și morfism. $C$ $D$ $F\colon C\la D$ $G\colon D\la C$ $FG=1_{D}$ $D$ $GF=1_{C}$

Izomorfismul de categorie este o condiție foarte puternică care este rar satisfăcută; în acest sens, se folosește mai des conceptul de echivalență de categorie , pentru care nu se cere ca acesta să fie egal cu , ci doar izomorf în mod natural și, în mod similar, să fie izomorf în mod natural . $FG$ $1_{D}$ $1_{D}$ $GF$ $1_{C}$

Un functor creează un izomorfism de categorii dacă și numai dacă este bijectiv pe obiecte și pe mulțimea de morfisme [1] ; datorită acestui criteriu, se poate demonstra izomorfismul categoriilor fără a construi un functor invers . $F\colon C\la D$ $G$

Exemple

Pentru un grup finit , câmp și algebră de grup , categoria reprezentărilor -liniare ale grupului de grup este izomorfă cu categoria modulelor din stânga peste . Un izomorfism poate fi descris după cum urmează: dacă este dată o reprezentare a unui grup , unde este un spațiu vectorial peste , este grupul automorfismelor sale liniare și este un homomorfism de grupuri , se traduce în modulul din stânga după cum urmează: $G$ $k$ $kg$ $k$ $G$ $kg$ $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$ $V$ $k$ $\mathbf {GL} (V)$ $k$ $\rho$ $V$ $kg$

\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)

pentru oricare dintre și orice element al . În schimb, dacă se dă un modul din stânga , atunci este un spațiu vectorial, iar înmulțirea cu un element de grup duce la un automorfism -liniar al modulului (deoarece suntem inversați la ), care descrie un homomorfism de grup . $v$ $V$ $\sum a_{g},g\in kG$ $kg$ $M$ $M$ $k$ $g$ $G$ $k$ $M$ $g$ $kg$ $G\la \mathbf {GL} (M)$

Orice inel poate fi considerat ca o categorie pre-aditivă cu un singur obiect. Categoria de functori a tuturor functorilor aditivi din această categorie în categoria grupurilor abeliene este izomorfă cu categoria modulelor stângi peste un inel.

Automorfismul categoriei apare în teoria algebrelor booleene : categoria algebrelor booleene este izomorfă cu categoria inelelor booleene . Algebra booleană dată este tradusă într-un inel boolean folosind diferența simetrică ca adunare și operația logică de înmulțire ca înmulțire. În schimb, dacă este dat un inel boolean , atunci putem defini operația de unire ca și operația de intersecție ca înmulțire. Ambele definiții pot fi extinse la morfisme pentru a obține functori, iar acești functori sunt reciproc inversi unul față de celălalt. $B$ $\teren$ $R$ $a\lor b=a+b+ab$

Dacă este o categorie cu obiect inițial , atunci categoria de obiecte „de mai sus” ( ) este izomorfă cu . Dual , dacă este un obiect terminal în , categoria functorului ( ) este izomorfă . $C$ $s$ $s{\downarrow }C$ $C$ $t$ $C$ $C{\downarrow }t$ $C$

Note

↑ 1 2 McLane, 2004 , p. 25.

Literatură

McLane S. Capitolul 1. Categorii, functori şi transformări naturale // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .