Interpolare

Pentru funcție, consultați: Interpolant .

Interpolare , interpolare ( din lat. inter-polis - „ netezit, actualizat, actualizat; transformat ”) - în matematică computațională , găsirea unor valori intermediare necunoscute ale unei funcții, dintr-un set discret existent al valorilor sale cunoscute, într-un anumit fel . Termenul „interpolare” a fost folosit pentru prima dată de John Vallis în tratatul său The Arithmetic of the Infinite (1656).

În analiza funcțională, interpolarea operatorilor liniari este o secțiune care consideră spațiile Banach ca elemente ale unei anumite categorii [1] .

Mulți dintre cei care se ocupă de calcule științifice și de inginerie trebuie adesea să opereze pe seturi de valori obținute prin experiență sau prin eșantionare aleatorie . De regulă, pe baza acestor seturi, este necesar să se construiască o funcție , pe care alte valori obținute să poată cădea cu mare precizie. O astfel de sarcină se numește aproximare . Interpolarea este un tip de aproximare în care curba funcției construite trece exact prin punctele de date disponibile.

Există și o problemă apropiată de interpolare, care constă în aproximarea unei funcții complexe cu o altă funcție, mai simplă. Dacă o anumită funcție este prea complexă pentru calcule productive, puteți încerca să calculați valoarea ei în mai multe puncte și să construiți, adică să interpolați, o funcție mai simplă din acestea. Desigur, utilizarea unei funcții simplificate nu vă permite să obțineți aceleași rezultate exacte pe care le-ar da funcția originală. Dar, în unele clase de probleme, câștigul în simplitate și viteza de calcul poate depăși eroarea rezultată în rezultate.

De asemenea, ar trebui să menționăm un tip complet diferit de interpolare matematică, cunoscut sub numele de „interpolare operator”. Lucrările clasice despre interpolarea operatorilor includ teorema Riesz-Thorin și teorema Marcinkiewicz , care stau la baza multor alte lucrări.

Definiții

Luați în considerare un sistem de puncte necoincidente ( ) dintr-o zonă . Fie cunoscute valorile funcției numai în aceste puncte: $x_{i}$ $i\în {0,1,\dots ,N}$ $D$ $f$

y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.

Problema interpolării este de a găsi o astfel de funcție dintr-o clasă dată de funcții care $F$

F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.

Punctele sunt numite noduri de interpolare , iar totalitatea lor este numită grilă de interpolare . $x_{i}$
Perechile sunt numite puncte de date sau puncte de bază . $(x_{i}, y_{i})$
Diferența dintre valorile „adiacente” este pasul grilei de interpolare . Poate fi atât variabilă, cât și constantă. $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1)$
Funcție - funcție de interpolare sau interpolant . $F(x)$

Exemplu

1. Să presupunem că avem o funcție de tabel, ca cea descrisă mai jos, care, pentru mai multe valori , determină valorile corespunzătoare : $X$ $f$

$X$	$f(x)$
0	0
unu	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
patru	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolarea ne ajută să aflăm ce valoare poate avea o astfel de funcție într-un alt punct decât punctele specificate (de exemplu, la x = 2,5).

Până în prezent, există multe metode diferite de interpolare. Alegerea celui mai potrivit algoritm depinde de răspunsurile la întrebări: cât de precisă este metoda aleasă, care este costul utilizării acesteia, cât de netedă este funcția de interpolare, câte puncte de date necesită etc.

2. Găsiți o valoare intermediară (prin interpolare liniară ).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

$?=15,5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19,2-15,5)}{1}}=16,1993$

Metode de interpolare

Interpolarea celui mai apropiat vecin

Cea mai simplă metodă de interpolare este interpolarea celui mai apropiat vecin .

Interpolare prin polinoame

În practică, interpolarea prin polinoame este folosită cel mai des . Acest lucru se datorează în primul rând faptului că polinoamele sunt ușor de calculat, este ușor să le găsiți analitic derivatele, iar mulțimea de polinoame este densă în spațiul funcțiilor continue ( teorema lui Weierstrass ).

Interpolare liniară
Formula de interpolare a lui Newton
Metoda diferențelor finite
IMN-1 și IMN-2
Polinomul Lagrange (polinomul de interpolare)
Schema lui Aitken
funcția spline
spline cubică

Interpolare inversă (calculul x dat y)

polinomul Lagrange
Interpolare inversă prin formula lui Newton
Interpolare Gauss inversă

Interpolarea unei funcții a mai multor variabile

Alte metode de interpolare

Interpolare rațională
Interpolare trigonometrică

Concepte înrudite

Extrapolare - metode de găsire a punctelor în afara unui interval dat (extensie de curbă)
Retropolare - metode de găsire, prin valori cunoscute ale unei variabile, a valorilor necunoscute ale acesteia la începutul unei serii de timp .
Aproximare - metode de construire a curbelor aproximative

Vezi și

Note

↑ Berg, 1980 , p. 6-7.

Literatură

J. Berg, J. Löfström. spații de interpolare. Introducere. — M .: Mir, 1980. — 264 p.
Ibragimov II Metode de interpolare a funcțiilor și unele dintre aplicațiile acestora. - M . : Şcoala superioară , 1971. - 520 p.
Walsh JL Interpolare și aproximare prin funcții raționale în domeniul complex. -M .:Literatură străină, 1961. - 508 p.
Tribel H. Teoria interpolării, spații funcționale, operatori diferențiali. - M . : Mir , 1980. - 664 p.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare Britannica (online) Treccani
În cataloagele bibliografice	BNF : 11978011w J9U : 987007558186905171 LCCN : sh85067492