Dispariția celulelor

Dispariția unei celule (apariția unei celule) este o clasă binecunoscută de sarcini ( iluzii optice ) pentru rearanjarea figurilor care au semne de sofisme matematice : inițial, în starea lor a fost introdusă o eroare deghizată. Unele dintre aceste probleme sunt strâns legate de proprietățile șirului de numere Fibonacci .

Problema triunghiului

Dat un triunghi dreptunghic 13×5 celule, compus din 4 părți. După rearanjarea pieselor menținând vizual proporțiile inițiale, apare o celulă suplimentară, neocupată de nicio parte (figura 1 ).

Soluție

Zonele figurilor umbrite, desigur, sunt egale între ele (32 de celule), cu toate acestea, ceea ce este observat vizual ca 13 × 5 triunghiuri, de fapt, nu este și are zone diferite ( S 13 × 5 = 32,5 celule ). Adică, eroarea deghizată în starea problemei este că figura inițială este numită triunghi (de fapt, este un quad concav ). Acest lucru este clar vizibil în figurile 2 și 3 - „ ipotenuzele ” figurilor superioare și inferioare trec prin diferite puncte: (8.3) în partea de sus și (5.2) în partea de jos. Secretul constă în proprietățile triunghiurilor albastre și roșii. Acest lucru este ușor de verificat prin calcule.

Rapoartele lungimilor laturilor corespunzătoare ale triunghiurilor albastru și roșu nu sunt egale între ele (2/3 și 5/8), astfel încât aceste triunghiuri nu sunt similare , ceea ce înseamnă că au unghiuri diferite la vârfurile corespunzătoare. Să numim pseudotriunghiuri prima figură, care este un patrulater concav, iar a doua figură, care este un octogon concav. Dacă laturile inferioare ale acestor pseudo-triunghiuri sunt paralele, atunci ipotenuzele din ambele pseudo-triunghiuri de 13×5 sunt de fapt linii întrerupte (imaginea de sus creează o îndoire spre interior, în timp ce imaginea de jos creează o îndoire spre exterior). Dacă suprapunem cifrele superioare și inferioare 13 × 5 una pe cealaltă, atunci se formează un paralelogram între „hipotenuzele” lor , care conține zona „extra”. În Figura 3 , acest paralelogram este prezentat în proporțiile corecte.

Unghiul ascuțit din acest paralelogram este arcctg 46 [1] ≈ 0°1′18.2″. În acest unghi, acul minutelor de pe un ceas de lucru se mișcă în 12,45 s . Prin această valoare unghiul obtuz din paralelogramul luat în considerare diferă de cel desfășurat . Din punct de vedere vizual, o astfel de diferență nesemnificativă este imperceptibilă.

Potrivit lui Martin Gardner , această problemă a fost inventată de iluzionistul amator din New York Paul Currie în 1953. Cu toate acestea, principiul din spatele ei a fost cunoscut încă din anii 1860. Puteți vedea că lungimile laturilor figurilor din această problemă (2, 3, 5, 8, 13) sunt numere Fibonacci consecutive .

Piața Dispariției

Într-un alt puzzle similar, un pătrat mare este format din patru patrulatere identice [2] și un pătrat mic. Dacă patrulaterele sunt extinse, acestea vor umple zona ocupată de pătratul mic, deși aria pătratului mare nu se va schimba vizual. La următoarea inversare, pătratul mic va reapărea.

Soluție

Acest paradox se explică prin faptul că latura (și aria) noului pătrat mare este ușor diferită de latura (și aria) celui care era la început. Dacă luăm ca primă figură pătratul în mijlocul căruia nu există nici un romb mic, analiza ulterioară va fi considerabil simplificată.

Fie latura pătratului inițial , iar laturile patrulaterelor sale constitutive împart această latură ( ) în raport cu . Un expert în geometrie poate demonstra cu ușurință că patrulaterele astfel construite sunt egale între ele, au unghiuri drepte la vârfuri opuse (în centrul și la colțurile pătratului) și laturi egale adiacente în centrul pătratului (care adică nu sunt romboizi + există cercuri circumscrise pentru ei (sumele unghiurilor opuse sunt [3] )). De asemenea, devine clar că rombul din centrul celei de-a doua figuri este un pătrat. $\alfa$ $\alfa$ $\kappa \ \,(1/2<\kappa <1)$

Latura pătratului mic de pe a doua figură va fi egală cu . Unghiul dintre o pereche de laturi opuse ale oricăruia dintre patrulaterele constitutive (și, indiferent de pereche), fie notat cu . Valoarea sa exactă poate fi calculată [4] prin metoda coordonatelor, sau prin metode ale geometriei clasice. $\alpha (2\kappa -1)$ $\theta$

Dacă fiecare dintre patrulaterele care alcătuiesc primul pătrat este rotit printr-un unghi în jurul centrului cercului circumscris din jurul lui, atunci se va obține o a doua figură, cu o zonă pătrată neumplută în centru. La următoarea tură, primul pătrat se va forma din nou. Aria celui de-al doilea pătrat se dovedește a fi de două ori mai mare decât aria primului (sau, ceea ce este același, ori). În acest caz, diferența este aproape imperceptibilă. De exemplu, în figurile explicative, se folosește unghiul (respectiv, ). În acest caz, diferența dintre zonele pătratelor mari este . Deja o astfel de diferență este greu de observat, deși valoarea (și, în consecință, valoarea unghiului ) nu este deloc mică. $\pi$ $(4\kappa (\kappa -1)+2)$ $\sec ^{2}\theta$ $\kappa \aprox 1/2$ $\theta =10^{{\circ ))$ $\kappa =({\mathrm {tg}}\,\theta +1)/2\aproximativ 0,588\,2$ $\aproximativ 3{,}11\,\%$ $\kappa$ $\theta$

Astfel, putem concluziona că eroarea mascată în condiție constă în faptul că centrele de rotație ale patrulaterelor constitutive nu sunt acolo unde apare în timpul controlului vizual al imaginii (nu în punctele de intersecție ale diagonalelor acestora). Ele sunt situate la vârfurile unui pătrat rotit la un unghi față de primul pătrat, deși laturile sale sunt paralele cu laturile celui de-al doilea. $-\theta$

Vezi și

Dublarea paradoxului mingii

Note

↑ Cel mai mic unghi dintr-un triunghi dreptunghic cu raportul catetelor de 1/46.
↑ Figura arată că laturile corespunzătoare sunt egale. De aici rezultă că cifra medie este cel puțin un romb.
↑ sunt egale , deși pentru un patrulater convex aceasta este o remarcă nesemnificativă $\pi$
↑ , iar sub rădăcină se află raportul ariilor pătratelor mari (al doilea față de primul). $\theta ={\mathrm {arcsec}}\left({\sqrt {4(\kappa -1)\kappa +2}}\dreapta)$