Gaz cuantic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 august 2021; verificările necesită 22 de modificări .

Un gaz cuantic este un gaz de particule sau cvasiparticule care se supune statisticilor cuantice.

Proprietățile unui gaz cuantic depind de gradul său de degenerare , care se caracterizează prin temperatura de degenerare. Temperatura de degenerare depinde de densitatea gazului, , este concentrația particulelor , este masa particulelor, este constanta Boltzmann . Cu condiția ca gazul să fie nedegenerat și distribuția energiei particulelor să fie descrisă de distribuția Boltzmann . În acest caz, gazul se încadrează în regiunea degenerării cuantice și este, în funcție de statisticile particulelor, fie un gaz Fermi degenerat ( statistica Fermi-Dirac ) fie un gaz Bose ( statistica Bose-Einstein ). $T_{0}$ $T_0 \sim \frac{N^{(2/3)}}{mk}$ $N$ $m$ $k$ $T \gg T_0$ $T \ll T_0$

Modelul cuantic al gazelor este utilizat pe scară largă pentru a rezolva probleme din fizica stării solide (gazul de electroni în metale), astrofizică (proprietățile piticelor albe și stelelor neutronice), fizica materiei condensate ( superfluiditate ).

Distingeți între gazul cuantic ideal și cel real.

Un gaz cuantic ideal

Condiția pentru idealitatea unui gaz cuantic este condiția neinteracțiunii dintre particulele din care constă. Din cauza absenței interacțiunii, putem presupune că umplerea uneia sau alteia stări cuantice a sistemului nu afectează umplerea altor stări. În cazul general, dacă există, de exemplu, o interacțiune Coulomb între particule , atunci pentru ca aproximarea gazului ideal să dea rezultate bune, acesta trebuie considerat slab. Acest lucru duce la condiția de rarefacție , unde este lungimea de împrăștiere a particulelor sau, care este aceeași, . Prin urmare, se presupune că la , unde este temperatura de degenerare, proprietățile unui gaz cuantic sunt în mare măsură independente de statisticile particulelor sale constitutive și pot fi descrise de statisticile Maxwell-Boltzmann . De asemenea, deoarece nu există nicio modalitate de a controla cu precizie numărul de particule din sistem, este logic să lucrăm în ceea ce privește marele ansamblu canonic . $Na^3 \ll 1$ $A$ $kT \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}$ $T \gg T_0$ $T_{0}$

Apoi, datorită independenței statelor, funcția de partiție a unui gaz ideal Bose - Fermi este dată de formula $\Sigma =\prod _{\alpha} \Sigma _{\alpha},$ $\Sigma_{\alpha} =(1 \pm e^{-(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)})^{\mp 1}$ $\varepsilon _{\alpha }$ $\mu$

Potențialul termodinamic mare al unui gaz cuantic ideal corespunzător acestei funcții de partiție este:

$\Omega =-kT\ln(\Sigma)=-AV\int \frac{d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\ pm 1},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}$ ,

unde este volumul sistemului, este constanta lui Planck și este degenerarea spinului . $V$ $h$ $g=2s+1$

Număr mediu de particule pe nivel: . $<N_{\alpha}>=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$

Se poate unifica și mai mult expresia potențialului termodinamic dacă se observă că integrandul în cazurile gazelor Fermi și Bose diferă doar în semn. În continuare, toți parametrii dimensionali ar trebui scoși de sub integrală. Atunci potențialul termodinamic se scrie astfel:

$\Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad \overline A=A\Gamma (5/ 2).$ ,

unde a fost introdusă funcția , ${G}_{k}(x) = \begin{cases} {F_{k}(x)}, Fermi-Dirac \\ \zeta _{k+1}(e^x), Bose-Einstein \end {cazuri}$

Cu denumiri:

Pentru un gaz Fermi, funcția Fermi-Dirac este: . $F_k(\eta )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int_0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\eta }+1}$
Pentru un gaz Bose, funcția generalizată - Riemann : . $\zeta$ $\zeta _k(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n^k}=\frac 1{\Gamma (k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x/a-1}$

Apoi, folosind o relație simplă și relațiile termodinamice ale lui Maxwell , se pot obține diferite caracteristici termodinamice într-o formă generală: $\partial_{\eta}G_k(\eta)=G_{k-1}(\eta)$

Concentraţie	$n=-\frac{1}{V}\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial \mu}\Biggl )_{T,V}$	$\overline A(kT)^{3/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})$	Entropie	$S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega}{\partial T}\Biggl )_{V,\mu }$	$\overline AVk^{5/2}\Bigg\{\frac 52T^{3/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac {\mu } kT^{1/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})\Bigg\}.$
Presiune	$p=-\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial V}\Biggl )_{T,\mu }$	$\overline A(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})$	Capacitate termica	$C_{V,N}=T\Biggr (\frac {\partial S }{\partial T}\Biggl )_{V,N}$	$\overline AVk^{5/2}T^{3/2}\Bigg\{\frac{15}4{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac 94\frac {{G}^{2}_{1/2}({\mu}/{(kT)})}{{G}_{-1/2}({\mu}/{(kT) )})}\Bigg\}.$

Aceste formule continuă să funcționeze atât la temperaturi scăzute, cât și la temperaturi ridicate. [ clarifica ]

Gaz degenerat

Un gaz degenerat este un gaz ale cărui proprietăți sunt afectate semnificativ de efectele mecanice cuantice care decurg din identitatea particulelor sale. Influența identității particulelor devine semnificativă atunci când distanțele medii dintre ele scad la distanțe proporționale cu lungimea de undă de Broglie asociată particulei, adică este îndeplinită condiția:

N^{-1/3}\sim r\sim \lambda

unde este concentrația volumică a particulelor ,

N

\lambda =h/{\left(mv\right))

este lungimea de undă de Broglie a particulelor de masă care se deplasează cu o viteză de .

m

v

Condițiile de degenerare sunt îndeplinite la o temperatură suficient de scăzută (pentru un gaz ideal ) și o concentrație mare de particule . $T$ $v\sim {\sqrt {T}}$ $N$

Degenerarea gazelor Fermi și Bose

Proprietățile gazelor Bose și Fermi sunt fundamental diferite: un număr arbitrar de bozoni poate fi într-o stare cuantică, în timp ce nu mai mult de un fermion poate fi într-o stare cuantică.

Tipul de degenerare depinde de statisticile pe care le respectă particulele. Dacă pentru un gaz Fermi, datorită acțiunii principiului Pauli, presiunea unui gaz degenerat este mai mare decât presiunea unui gaz ideal în aceleași condiții, atunci pentru un gaz Bose degenerat, presiunea este mai mică decât presiunea lui un gaz ideal datorat condensării Bose-Einstein .

Într-un gaz Fermi, cu degenerare completă (la ), toate nivelurile inferioare de energie sunt umplute până la un anumit maxim, numit nivel Fermi , iar toate cele ulterioare rămân goale. O creștere a temperaturii modifică doar puțin această distribuție a electronilor metalici pe niveluri: o mică fracțiune de electroni situată la niveluri apropiate de nivelul Fermi merge la niveluri goale cu energie mai mare, eliberând astfel nivelurile sub nivelul Fermi de la care s-a făcut tranziția. . $T=0K$

Când un gaz de bozoni degenerează din particule cu o masă diferită de zero (astfel de bosoni pot fi atomi și molecule ), o anumită fracțiune a particulelor sistemului trebuie să intre într-o stare cu impuls zero; acest fenomen se numește condensare Bose-Einstein . Cu cât temperatura este mai aproape de zero absolut, cu atât mai multe particule ar trebui să fie în această stare. Cu toate acestea, sistemele de astfel de particule, atunci când temperatura scade la valori foarte scăzute, trec într-o stare solidă sau lichidă (pentru heliu ), la care aproximarea gazului ideal este inaplicabilă.

Pentru un gaz cu bozoni de masă zero , care includ fotoni , temperatura de degenerare este infinită; prin urmare , gazul fotonic este întotdeauna degenerat, iar statisticile clasice nu i se pot aplica. Gazul fotonic este singurul gaz Bose ideal degenerat de particule stabile. Cu toate acestea, condensarea Bose-Einstein nu are loc în ea, deoarece nu există fotoni cu impuls zero (fotonii se mișcă întotdeauna cu viteza luminii ).

Un exemplu important de gaz Fermi la temperaturi suficient de scăzute este gazul de electroni din metale . Pentru acest gaz, temperatura de degenerare se dovedește a fi de ordinul a 10.000 K; prin urmare, aproximarea gazului electron degenerat funcționează bine în metale la temperatura camerei. Trebuie remarcat faptul că, în cazul semiconductorilor, acest model intră în modelul Maxwell-Boltzmann , datorită poziționării nivelului Fermi în interiorul benzii interzise.

Fenomenul de degenerare a gazelor Fermi joacă un rol important în evoluția stelelor : de exemplu, presiunea gazului degenerat de electroni echilibrează gravitația în piticele albe , iar presiunea gazului degenerat cu neutroni echilibrează gravitația în stelele neutronice .

Mai jos sunt principalele formule pentru ambele cazuri de degenerare.

Gaz Fermi degenerat

Pentru , integrandul din formula funcției își pierde continuitatea. Saltul funcției are loc la o energie egală cu - energia Fermi . Când temperatura este apropiată, dar diferită de zero, integrandul poate fi extins într-o serie (în ceea ce privește parametrul ), iar integrala ia forma: $T=0$ ${G}_{k}$ $\mu(T)|_{T=0}$ $kT$

\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1}=\int _{0} ^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon)+ (kT)^{2}\frac{\pi^2}{6}\phi '(\mu)+ O((kT)^{4} ).

Înlocuind această expresie în ecuațiile de stare și expresii pentru caracteristicile termodinamice, obținem ( ): $\alpha={\pi^2 \over 6}$

Concentraţie	$n\aproximativ A\Bigg(\mu ^{3/2}+\frac 34\alpha \frac{(kT)^{2}}{\sqrt{\mu }}\Bigg)$	Entropie	$S(T,V,\mu)\aproximativ 3\alpha \frac {AV}T\varepsilon_{F}^{1/2}(kT)^{2}$
Presiune	$p\aproximativ \varepsilon_{F}^{5/2}\Bigg(\frac25+2\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}\Bigg)$	Capacitate termica	$C_{V,N}\aprox 3\alpha AV\varepsilon _{F}^{1/2}k^{2}T.$

Rezolvând prima ecuație prin metoda iterației, găsim expresia potențialului chimic și a energiei Fermi:

\mu=\varepsilon _{F}\Bigg[1-\frac 12\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}+O\Bigg(\frac{k ^{4}T^{4}}{\varepsilon_{F}^{4}}\Bigg)\Bigg],\qquad \varepsilon _{F}=\Bigg({3n \over 2A}\Bigg)^ {2/3}.

Astfel, la o temperatură apropiată de zero, gazul ideal Fermi se află în starea fundamentală, particulele sale ocupă toate nivelurile de energie până la , iar toate nivelurile de mai sus sunt libere. $\varepsilon _{F}$ $\varepsilon _{F}$

Trebuie remarcat faptul că aproximarea gazului ideal nu descrie multe efecte importante, cum ar fi fenomenul de supraconductivitate, superfluiditate etc.

Gaz Bose degenerat

Odată cu o scădere a temperaturii sau o creștere a densității gazului Bose, parametrul , de aici potențialul chimic și se va transforma la zero la valori finite legate de relația . În acest caz, populația nivelului zero este formal egală cu infinitul, deci punctul se numește punctul de condensare Bose. Fenomenul de condensare Bose nu poate fi descris în termeni de aproximare a gazului Bose ideal, așa că ne limităm la a descrie comportamentul gazului Bose în vecinătatea punctului de condensare Bose. $a=e^{\mu/(kT)} \rightarrow 1$ $\mu \rightarrow 0$ $n_0, T_0$ $n_{0}(kT_{0})^{-3/2}/\overline A=\zeta _{3/2}(1)\aproximativ 2,6$ $(n_0, T_0)$

Asimptoticele funcției la is $\zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})=\frac 1{\Gamma(3/2)}\int _{0}^{\infty }\frac {dx x^{ 1/2}}{e^{x-\mu/(kT)}-1}$ $\mu\to0, T\to T_0$

\zeta _{3/2}(e^{\mu /(kT)})\aprox \frac {n_{0}}{\overline A(kT_{0})^{3/2}}+\frac {\pi}{\Gamma(3/2)}\sqrt {\frac{|\mu |}{kT))+O(\frac {\mu }{kT}),

de unde rezultă expresia pentru potenţialul chimic: unde sunt abaterile de la punctul de condensare Bose. $T=T_0$ $\mu \aprox {\frac {\Gamma ^{{2}}(3/2)}{\pi ^{{2}}{\overline A}^{2}(kT_{{0}})^{ {2)))){\Bigg (}\delta n-3n_{{0)){\frac {\delta T}{2T_{{0)))){\Bigg )}^{{2)),$ $\delta n, \quad \delta T$

Pentru a calcula entropia și capacitatea termică, avem nevoie și de asimptotice pentru funcțiile și , care pot fi obținute în mod similar cu cea anterioară și au forma: $\zeta_{1/2}(e^{\mu/(kT)})$ $\zeta_{5/2}(e^{\mu/(kT)})$

\zeta _{5/2}(e^{\mu /(kT)})\aprox \mbox{const} + O(\frac{\mu }{kT}),\quad \zeta _{1/2 }(e^{\mu /(kT)})\aproximativ \mbox{const} \sqrt {\frac {kT}{|\mu |}} +O(1)

Vezi și

Literatură

Landau L. D., Lifshitz E. M. Fizică statistică.
Cooney F. M. Fizică statistică.
M. Komarova, M. Nalimov. gaze cuantice. - Universitatea de Stat din Sankt Petersburg, 2005.
Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, PY Landshoff. Hadroni și plasma cuarc-gluon. - Cambridge University Press , 2002. - 415 p. — ISBN 9780511037276 .

Starile termodinamice ale materiei

Stări de fază

Starea de agregare Echilibrul de faze Regula fazei diagramă de fază Ecuația de stare
Solid	cristale Monocristal policristal Cristalit
Mezofază	Corpuri amorfe stare sticloasa cristal lichid Nematic Smectic colesteric Faza coloana Mezogen Membrană
Lichid	Fluid ideal Stare metastabilă lichid supraîncălzit lichid suprarăcit lichid întins Coltdown fluid supercritic
Gaz	Gaz ideal gaz real Aburi Abur saturat abur supraîncălzit abur suprasaturat
Plasma	electromagnetic Plasmă cuarc-gluon Glazma
Temperatura scazuta	condens bose Condens ferionic gaz cuantic gaz bose gaz Fermi gaz degenerat lichid cuantic bose lichid Fermi lichid solid superfluid Fenomene Superfluiditate Supraconductivitate
Alte	chestiune ciudată moleculă fotonică condens de sticla colorata

Tranziții de fază

Primul fel

Al doilea fel

în fenomene electrice	feroelectrice Antiferoelectric
în fenomenele magnetice	feromagneți Paramagneți Antiferomagneți

cuantic

punct lambda

Sisteme disperse

Geluri
- Aerogel
Soluții
sisteme coloide
- aspru
- Coloidal liber dispersat
Sol
Spray
- Fum
- Praf
- Ceaţă
- aburi
Suspensie
Emulsie

Vezi si