Inelul lui Krull

Inelul Krull este un inel comutativ cu proprietăți de descompunere relativ bune . Ele au fost investigate pentru prima dată de Wolfgang Krull în 1931 [1] . Inelele Krull sunt o generalizare multidimensională a inelelor Dedekind : un inel Dedekind este exact un inel Krull de dimensiunea de cel mult 1.

În acest articol, cuvântul „ring” înseamnă „un inel comutativ cu unitate”.

Definiție

Fie un domeniu al integrității și să fie mulțimea tuturor idealurilor prime de înălțime 1, adică idealurile prime care nu conțin alte idealuri prime diferite de zero. este un inel Krull dacă și numai dacă: $A$ $P$ $A$ $A$

$A_{\mathfrak {p)}$ este un inel de evaluare discret pentru toți , ${\mathfrak {p}}\în P$
$A$ este egală cu intersecția acestor inele de evaluare discrete (considerate ca subinele ale câmpului coeficient ). $A$
Orice element diferit de zero este conținut în cel mult un număr finit de idealuri prime de înălțime 1. $A$

Proprietăți

Un inel Krull este factorial dacă și numai dacă fiecare ideal prim al înălțimii 1 este principal [2] .

Să fie un inel Zariski (de exemplu, un inel local Noetherian ). Dacă finalizarea este un inel Krull, atunci este și un inel Krull. [3] $A$ $\widehat {A}$ $A$

Exemple

Orice inel Noetherian închis integral este un inel Krull. În special, inelele Dedekind sunt inele Krull. În schimb, toate inelele Krull sunt închise integral, deci pentru un inel noetherian proprietatea „a fi un inel Krull” este echivalentă cu proprietatea „a fi închis integral”.
Dacă este un inel Krull, atunci inelul polinoamelor și inelul seriei de puteri formale sunt inele Krull. $A$ $A[x]$ $A[[x]]$
Un inel polinomial cu infinit de variabile peste un inel factorial este un exemplu de inel Krull care nu este noetherian. În general, toate inelele factoriale sunt inele Krull. $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ $R$
Fie un domeniu noetherian cu un câmp de coeficienti și o extensie finită a lui . Apoi întreaga închidere este un inel Krull (un caz special al teoremei Mori-Nagata) [4] . $A$ $K$ $L$ $K$ $A$ $L$

Grupul clasei divizor

Toate idealurile divizoarelor unui inel Krull se descompun (unic) într-un produs de idealuri prime de înălțime 1, astfel încât grupul poate fi privit ca un grup de combinații liniare formale (cu coeficienți întregi) de idealuri prime de înălțime 1. Divizorii principali se formează un subgrup , factorul peste acest grup se numește grupul clasei divizor . Acest grup este banal dacă și numai dacă inelul este factorial. $D(A)$ $D(A)$ $A$

Divizorul Cartier este un divizor principal local. Divizorii Cartier formează un subgrup al grupului de divizori . Toți divizorii principali sunt divizori Cartier, iar factorul divizorilor Cartier în raport cu aceștia este grupul Picard de snopi inversați pe . $D(A)$ $Spec(A)$

Exemplu: într-un inel , grupul clasei divizor are ordinul 2 (generat de un divizor ), în timp ce grupul Picard este banal. $k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ $y=z$

Note

↑ Krull, Wolfgang (1931), Allgemeine Bewertungstheorie Arhivat 06.01.2013 . J. Reine Angew. Matematică. 167:160-196
↑ Krull ring - articol din Encyclopedia of Mathematics . V. I. Danilov
↑ Bourbaki, capitolul 7, nr . 10, Propunerea 16.
↑ Închiderea integrală a idealurilor, inelelor și modulelor, volumul 13

Literatură

Bourbaki N. Algebră comutativă. - M: Mir, 1971.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Krull ring , Enciclopedia matematicii, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hideyuki Matsumura , Teoria inelului comutativ. Tradus din japoneză de M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. - ISBN 0-521-25916-9 .
Samuel, Pierre. Prelegeri despre domenii unice de factorizare . Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research (1964). Preluat: 29 iulie 2013.