Spațiu topologic finit

Un spațiu topologic finit este un spațiu topologic în care există doar un număr finit de puncte.

Chiar dacă topologia se ocupă în principal de spații infinite, spațiile topologice finite sunt adesea folosite ca exemple și contraexemple . William Thurston a numit spațiile topologice finite „un subiect excentric care duce la înțelegerea multor întrebări”. [unu]

Modalități de definire a topologiei

Topologia pe o mulțime finită poate fi definită folosind o ordine parțială

x\leq y\iff x\in {\overline {\{y\})}

unde denota inchiderea multimii . ${\overline {S)}$ $S$

În schimb, având în vedere orice ordine parțială pe o mulțime finită, se poate construi o topologie unică definită de această proprietate.

Pentru a determina o ordine parțială, este convenabil să folosiți un grafic direcționat, în care vârfurile sunt puncte în spațiu, iar existența unui drum ascendent de la până la corespunde relației . $X$ $y$ $x\leq y$

Exemple

Colon legat .
Un pseudocerc este un spațiu de patru puncte definit printr-o ordine parțială $a\leq b,c\leq b,c\leq d,a\leq d$ .
- Homotopie slabă echivalentă cu un cerc.
  - În special, grupul său fundamental este izomorf cu . $\mathbb {Z}$

Proprietăți

O proprietate specială a spațiilor topologice este aceea că și mulțimile închise definesc o topologie. Această nouă topologie poate fi obținută prin inversarea ordinii parțiale sau, ceea ce este același lucru, inversând orientarea tuturor marginilor graficului corespunzător.

Fiecare spațiu topologic finit este compact .

Spațiul finit T 1 -T 1 este discret.
- În special, orice spațiu finit Hausdorff este discret.

Orice spațiu topologic finit conectat este conectat la cale .

Pentru orice complex simplial abstract finit, există un spațiu topologic finit echivalent homotopic cu acesta. [2]
- Reversul este de asemenea adevărat: pentru orice spațiu topologic finit, există un complex simplial finit slab homotopic echivalent cu acesta.

Tabelul de mai jos prezintă numărul de topologii diferite dintr-o mulțime C de n elemente. De asemenea, afișează numărul de topologii neechivalente (adică non- homeomorfe ). Nu există o formulă simplă pentru calcularea acestor numere; în Encyclopedia of Integer Sequences , listele merg în prezent până la . $n=18$

Numărul de topologii pe o mulțime de n puncte

H	Diverse topologii	Diverse topologii T 0	Topologii neechivalente	Topologii T 0 neechivalente
0	unu	unu	unu	unu
unu	unu	unu	unu	unu
2	patru	3	3	2
3	29	19	9	5
patru	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
opt	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
zece	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Numărul tuturor T 0 -topologiilor pe o mulțime de n puncte și numărul tuturor topologiilor sunt legate prin formula $T_{0}(n)$ $T_{0}(n)$ $T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)$

unde denotă numărul Stirling de al doilea fel .

S(n,k)

Vezi și

Link -uri

↑ Thurston, William P.Despre dovezi și progrese în matematică (neopr.) . - 1994. - T. 30. - S. 161-177. - doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00502-6 .
↑ P. Alexandroff. „Diskrete Räume.” Math. sat. 2 (1937), S. 501–519.

Stong, Robert E. Spații topologice finite // Transactions of the American Mathematical Society . - 1966. - Vol. 123 . - P. 325-340 . - doi : 10.2307/1994660 .

Citează jurnalulnumele de familieStongNumeRobert E.Anul publicării1966TitluSpații topologice finiteURLhttp://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/stong2.pdfJurnalTranzacțiile Societății Americane de MatematicăVolum123Pagini325–340DOI10.2307/1994660DOMNUL0195042

Grupuri de omologie singulară și grupuri de homotopie ale spațiilor topologice finite, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volumul 33, Numărul 3 (1966), 465-474.
Barmac, Jonathan. Topologia algebrică a spațiilor topologice finite și aplicații . — Springer, 2011. - ISBN 978-3-642-22002-9 .
Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. Metode topologice în chimie (nedefinită) . - Wiley, 1989. - ISBN 978-0-471-83817-3 .