Probabilitate logică - o relație logică între două propoziții, gradul de confirmare a ipotezei H de dovezile E.
Conceptul de probabilitate logică este una dintre interpretările conceptului de probabilitate împreună cu probabilitatea de frecvență și probabilitatea subiectivă [1] . Formal, probabilitatea logică este o funcție a propozițiilor oricărei limbi. Propoziţiilor analitice (tautologiilor) li se atribuie o singură valoare a acestei funcţii; contradicții - zero; propoziții sintetice - orice număr real din intervalul (0, 1) [2] [3] [4] [5] [6] [7] . Valorile specifice ale probabilității logice pentru fiecare dintre argumentele sale sintetice H depind de o altă propoziție E , care poate fi interpretată ca o descriere a cunoștințelor unui subiect [7] [8] [9] [10] [11] . Din acest motiv, probabilitatea logică se numește probabilitate epistemologică (dependentă de cunoaștere). Într-un fel, poate fi interpretat și ca un fel de probabilitate subiectivă. Cu toate acestea, valorile probabilității logice sunt determinate în mod unic de un anumit sistem de cunoaștere și, în acest sens, au un caracter obiectiv [2] . În literatura științifică, se obișnuiește să se facă distincția între probabilitățile logice și cele subiective [1] .
Deoarece propozițiile limbajului descriu unele evenimente sau stări, probabilitatea logică poate fi considerată și în funcție de aceste evenimente sau stări [12] [13] [14] .
Conceptul de probabilitate logică a apărut și s-a dezvoltat în lucrările lui Keynes , Johnson și Jeffrey [2] [3] [4] [5] [6] . Cel mai sistematic studiu al acestui concept a fost realizat de Carnap [7] [8] [9] [10] [11] . Formularea lui a probabilității logice a început cu construirea unui limbaj formal. În 1950, el a considerat o clasă de limbaje foarte simple, constând dintr-un număr finit de predicate uni -loc independente din punct de vedere logic , numite proprietăți și un număr numărabil de constante. Pentru a obține propoziții mai complexe, s-au folosit conjunctive logice . Mai mult, Carnap a compilat descrieri ale tuturor stărilor posibile ale universului .
Luați în considerare următorul exemplu, luat din [1] . Fie că limbajul formal conține trei constante individuale a , b , c și un predicat F . Pentru certitudine, să presupunem că constantele denotă persoane specifice: Alice, Bob și Caesar, iar proprietatea corespunde predicatului: „ a fi tânăr ”. Există opt descrieri posibile de stare pentru acest caz, care sunt prezentate în tabel. unu.
tabelul 1
N | Descrieri de stat | Probabilități 1 | Probabilități 2 |
unu | |||
2 | |||
3 | |||
patru | |||
5 | |||
6 | |||
7 | |||
opt |
Simbolul „ ” indică conectivul logic „ȘI”, iar simbolul „ ” indică conjunctivul logic „NU”. Prima propoziție poate fi citită după cum urmează: „Alice, Bob și Cezar sunt toți tineri”, a doua – „Alice și Bob sunt tineri, dar Cezar nu este”, a treia „Alice și Cezar sunt tineri, dar Bob nu este” , etc.
Carnap a notat probabilitatea logică absolută a unei propoziții A cu simbolul m ( A ). Valoarea sa este definită ca suma probabilităților stărilor în care propoziția A este adevărată. Să presupunem că subiectul nu are cunoștințe reale și a priori crede că toate stările universului sunt la fel de probabile. Apoi, valorile probabilităților logice absolute ale fiecărei stări sunt egale cu 1/8 (a se vedea tabelul 1). Prin urmare, probabilitățile propozițiilor atomice sunt 1/2, probabilitatea conjuncției a două propoziții atomice este 1/4, iar probabilitatea disjuncției a două propoziții atomice este 3/4.
Carnap definește funcția de confirmare c ( H , E ) a propoziției H cu propoziția E astfel:
.
Din punctul de vedere al teoriei convenționale a probabilității, funcția de confirmare este o probabilitate condiționată . Când descrierile stărilor universului sunt la fel de probabile, ca și în acest caz, nu putem folosi experiența dobândită pentru a prezice evenimente viitoare. De exemplu, funcția de confirmare a ipotezei „Cezar este tânăr” în absența oricărei dovezi, în prezența dovezilor „Alice este tânără” și în prezența dovezilor „Alice este tânără și Bob este tânăr” are aceeași valoare. egal cu 1/2.
Carnap era interesat de problema inferenței inductive. El credea că logica inductivă este logică probabilistă , iar noi dovezi în favoarea ipotezei ar trebui să mărească gradul de confirmare a acesteia [11] . În încercarea de a reconcilia modelul său cu rezultatele așteptate, a apelat la descrierile structurale , care pot fi obținute dacă toate constantele din limbaj sunt considerate indistinguibile (interschimbabile) [7] . În exemplul nostru, avem patru descrieri structurale.
unu). "trei tineri"
2). „doi tineri și un bătrân”,
3). unul tânăr și doi bătrâni
patru). „Trei bătrâni”
Prima descriere structurală corespunde stării 1 (vezi Tabelul 1); al doilea - stările 2, 3 și 5; al treilea - stările 4, 6, 7; a patra este starea 8. Fiecărei descrieri structurale i se atribuie aceeași valoare a probabilității (egale cu 1/4 în exemplul nostru). Deoarece a doua descriere structurală corespunde la trei descrieri ale stărilor 2, 3 și 5, atunci probabilitățile acestor stări vor fi de trei ori mai mici decât valoarea probabilității descrierii structurale (adică 1/12). Stările 4, 6 și 7 vor avea, de asemenea, aceleași valori de probabilitate. Acum avem o nouă distribuție a probabilității de stare în care probabilitățile diferă (vezi ultima coloană a tabelului 1).
În acest caz, Carnap folosește notație specială pentru funcțiile logice m* și c* . Valorile lor numerice pentru diferite propoziții ale limbii diferă în general de valorile funcțiilor m și c . Acum vine oportunitatea de a învăța prin experiență. Să presupunem că mergem pe stradă. Valoarea funcției de confirmare c* a ipotezei „vom întâlni un tânăr” în lipsa oricărei dovezi este 1/2. După ce am văzut o fată tânără (Alice), aceasta se va ridica la o valoare de 2/3. Iar după o nouă întâlnire cu un tânăr (Bob), aceasta crește la o valoare de 3/4. Observațiile noastre pot sugera că o universitate este situată undeva în apropiere și studenții se grăbesc la cursuri. De aceea întâlnim doar tineri.
Trebuie remarcat faptul că valorile probabilității logice depind de dovezi (adică de propunere) și nu de faptele din lumea reală. Ipoteza „Cezar va fi tânăr” în raport cu dovezile „Alice a fost tânără și Bob a fost și tânăr” are o probabilitate de 3/4, indiferent dacă i-am văzut pe Alice și Bob în viața reală sau doar i-am imaginat.
Să trecem la un alt exemplu. Să presupunem că o persoană a văzut o dată o cioară neagră și se așteaptă ca următoarea cioară pe care o vede să fie neagră. Dacă acest lucru este confirmat, atunci așteptările lui de a întâlni din nou o cioară neagră vor fi mai mari decât înainte. Totuși, asta nu înseamnă că situația nu se poate schimba (la urma urmei, există corbi albi). Europenii sunt obișnuiți să vadă lebede albe și au fost incredibil de surprinși (și fascinați) când a fost descoperită o lebădă neagră în Australia.
Să presupunem că întâlnim o fată tânără, Alice, și apoi un Bob în vârstă (posibil un profesor la ipotetica noastră universitate). Care este probabilitatea ca în viitor să-l întâlnim pe tânărul Cezar? În termeni formali, trebuie să găsim valoarea funcției de confirmare c* pentru acest caz. Va fi egal cu 1/2. Destul de rezultatul așteptat. În mod curios, odată cu noua distribuție de probabilitate a stărilor universului, propozițiile atomice încep să depindă unele de altele. Totuși, aceasta nu mai este o dependență logică, ci o dependență fizică. Modificările în distribuția probabilității stărilor duc la achiziționarea de noi informații (modificări ale cunoștințelor subiectului). În cazul nostru, aceasta este ideea de interschimbabilitate a constantelor individuale. Un alt exemplu: propozițiile „plouă” și „pământul este ud” sunt logic independente. Cu toate acestea, fizic depind unul de celălalt, acest lucru poate fi verificat empiric.
Conform lui Carnap [7] , probabilitățile logice sunt împărțite în două clase: deductive și inductive. Funcțiile m și c sunt deductive . Un exemplu de probabilități inductive sunt funcțiile m* și c* . Acestea din urmă sunt de o importanță deosebită, deoarece pot fi folosite pentru a construi logica inferenței inductive) [11] [12] [13] [14] [15] .
Cu mult înainte de Carnap, Laplace a dezvoltat o formulă pentru calcularea probabilității predictive (inductive). Luați în considerare o secvență de rezultate aleatorii ale unui experiment, fiecare luând una dintre cele două valori posibile: fie 1, fie 0 (una înseamnă succes și zero înseamnă eșec). Fie E propoziția „ au fost k succese în n încercări ” și H propoziția „propoziția următoare va reuși”. Atunci probabilitatea ca următoarea încercare să reușească este:
,
Aceasta este celebra regulă a secvenței Laplace .
Să revenim la exemplul nostru. Succesul experimentului constă în faptul că, deplasându-ne pe stradă, întâlnim un tânăr, iar eșecul constă în faptul că întâlnim o persoană în vârstă. Până acum nu am întâlnit pe nimeni și . Prin urmare . După întâlnirea cu Alice ( ), care este o fată tânără ( ), probabilitatea predictivă crește . Și după întâlnirea cu Bob ( ), care are și o vârstă fragedă ( ), crește și mai mult .
Carnap a mers mai departe decât Laplace. El și-a generalizat formula la cazul rezultatelor ( ) de diferite tipuri. Să presupunem că, în urma încercărilor, una dintre ele s-a încheiat cu un rezultat de tipul --lea. Atunci probabilitatea ca următoarea încercare să se încheie cu un rezultat de tipul --lea este [7] [14] :
Ulterior, Carnap a obținut o formulă și mai generală.
Carnap timpuriu și-a expus teoria mai mult ca un filozof decât ca un matematician [14] . Mai târziu, stilul lucrării sale s-a schimbat, a început să folosească axiome și dovezi formale [11] . Abordarea modernă a definiției probabilității inductive este următoarea. Probabilitatea inductivă este considerată sub forma , unde propozițiile și sunt incluse în unele algebre de propoziții, și este o propoziție fixă, numită „evidență de fond” [15] .
În exemplul nostru, propozițiile de algebră sunt propoziții atomice și negațiile lor, precum și propoziții moleculare alcătuite din acești atomi folosind conjunctive logice. Dovada de fundal este afirmația că toate descrierile structurale au aceleași probabilități. Să presupunem că algebra conține propozițiile , și . Următoarele cinci axiome garantează că îndeplinește legile probabilității.
Axioma 1. .
Axioma 2. .
Axioma 3. .
Axioma 4. .
Axioma 5. Dacă și , atunci .
Aici simbolul „ ” înseamnă echivalență logică. La aceste cinci axiome ar trebui adăugate încă patru axiome lui Carnap [10] .
Axioma 6. (Regularități) .
Axioma 7. (Simetrii) nu se schimbă atunci când constantele individuale sunt rearanjate.
Axioma 8. (Relevanța curentă ( ing. relevanță instanțială )) , unde dovezile conțin toate informațiile care sunt conținute în , plus noi confirmări ale ipotezei .
Axioma 9. (Postulatul de suficiență) Probabilitatea inductivă este o funcție a și .
Pe baza acestor axiome, Carnap a demonstrat următoarea teoremă [10] . Dacă există rezultate diferite ale testului, atunci există constante reale pozitive ,…, , astfel încât
unde .
Mai târziu s-a dovedit că cu mult înainte de Carnap acest rezultat fusese obținut de Johnson [3] [4] , dar din cauza morții sale timpurii nu era cunoscut comunității științifice generale [14] . Formula rezultată poate fi reprezentată astfel:
Expresiile dintre paranteze drepte au o interpretare evidentă. Prima este frecvența empirică, iar a doua este probabilitatea a priori a celui de -al -lea tip de rezultat, obținută pe baza analizei spațiului stărilor posibile. Expresiile din paranteze sunt ponderi relative care reprezintă observații empirice și informații a priori în termeni de probabilitate logică. Pentru fix , cu cât este mai mare , cu atât este mai mare rolul jucat de informații a priori (și invers). Pentru mici , când eșantionul de observații nu este suficient de reprezentativ, este logic să se acorde preferință probabilității anterioare; cu un număr mare de observaţii, dimpotrivă, cu o frecvenţă empirică. La , valoarea probabilității inductive tinde asimptotic la valoarea frecvenței unu (indiferent de valoarea finită ).
Fie ca obiectul de observație să fie un corb și toate s-au dovedit a fi negre ( ). Pe baza acestei experiențe, se poate emite ipoteza că corbii sunt negri în general. Care este probabilitatea unei astfel de afirmații? Teoria Johnson-Carnap dă un răspuns paradoxal la această întrebare - este egal cu zero [1] [14] [15] .
Sandy Zabell a rezolvat acest paradox înlocuind postulatul suficienței cu un nou postulat [13] . Să notăm numărul de rezultate de diferite tipuri observate într-o serie de experimente. Noul postulat este formulat astfel: pentru toți , probabilitatea predictivă este o funcție a și , cu excepția cazurilor când și . Ca rezultat, Zabell a obținut următoarele formule pentru probabilitatea inductivă [13] :
pentru ,
pentru și .
pentru , și .
unde ,
,
.
Aici , sunt probabilitățile a priori și sunt probabilitățile a posteriori ca rezultatul celui de-al -lea tip în acest experiment să fie întotdeauna observat.
Conform definiției clasice, probabilitatea este raportul dintre numărul de rezultate selectate ale unui experiment și numărul tuturor rezultatelor imaginabile ale acestuia. Se presupune că toate sunt la fel de posibile. După cum se știe [1] , critica la adresa deficiențelor acestei definiții a condus la apariția conceptului de probabilitate de frecvență. Teoriile logice ne readuc la ideea că probabilitatea poate fi determinată a priori prin examinarea spațiului posibilităților, deși acum posibilitățile pot fi date cu ponderi inegale.
Probabilitatea logică este legată de dovezile disponibile și nu depinde de fapte necunoscute despre lume, în timp ce probabilitatea de frecvență este un fapt despre lume și nu este legată de dovezile disponibile [16] . Cu toate acestea, diferența dintre aceste probabilități este destul de subtilă. De exemplu, dacă se știe că atunci când aruncați un zar, valoarea probabilității de frecvență a căderii unui șase este q \u003d 0,18, atunci probabilitatea logică a ipotezei „se va cădea șase” în raport cu dovezile „a zarul este aruncat cu un q dat ” este 0,18.
Există o opinie [1] [14] [15] că, dacă cunoașterea subiectului poate fi reprezentată ca o propoziție complexă ( dovada totală ), atunci probabilitatea logică poate servi ca o justificare rezonabilă pentru probabilitatea subiectivă. Cu toate acestea, în [16] se argumentează că probabilitatea subiectivă este un amestec de misticism, pragmatism și aroganță, în care există doar o mică probabilitate inductivă.