Matricea Cartan

În matematică , termenul matrice Cartan are trei semnificații. Toate sunt numite după matematicianul francez Elie Cartan . De fapt, matricele lui Cartan în contextul algebrelor Lie au fost explorate pentru prima dată de Wilhelm Killing , în timp ce forma Killing se datorează lui Cartan.

Lie algebre

Matricea Cartan generalizată este o matrice pătrată cu intrări întregi astfel încât $A=(a_{ij})$

Elemente diagonale a ii = 2.
Elemente în afara diagonalei . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ dacă și numai dacă . $a_{ji}=0$
A poate fi scris ca DS unde D este o matrice diagonală și S este simetrică .

De exemplu, matricea Cartan pentru G2 poate fi descompusă după cum urmează :

\left [ \begin{smallmatrix} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{smallmatrix}\right ] = \left [ \begin{smallmatrix} 3&0\\ 0&1 \ end{smallmatrix}\right ] \left [ \begin{smallmatrix} 2/3&-1\\ -1&\;2 \end{smallmatrix}\right ].

A treia condiție nu este independentă și este o consecință a primei și a patra condiții.

Putem alege întotdeauna D cu elemente diagonale pozitive. În acest caz, dacă S în expansiune este definită pozitivă , atunci A se spune că este o matrice Cartan .

Matricea Cartan a unei algebre simple Lie este o matrice ale cărei elemente sunt produse scalare

a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\peste (r_i,r_i)}

(uneori numite numere întregi Cartan ), unde r i este sistemul rădăcină algebrică . Elementele sunt numere întregi datorită uneia dintre proprietățile sistemului radicular . Prima condiție rezultă din definiție, a doua din faptul că for este o rădăcină, care este o combinație liniară de rădăcini simple r i și r j cu un coeficient pozitiv pentru r j , iar apoi coeficientul pentru r i trebuie să fie non -negativ. A treia condiție este adevărată datorită simetriei relației de ortogonalitate . Și, în sfârșit, să și . Deoarece rădăcinile simple sunt liniar independente, atunci S este matricea lor Gram (cu un factor de 2) și, prin urmare, este definită pozitivă. $i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i$ $D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}$ $S_{ij}=2(r_i,r_j)$

Și invers, dacă este dată o matrice Cartan generalizată, se poate găsi algebra Lie corespunzătoare (vezi detalii în articolul Kac-Moody Algebra ).

Clasificare

O matrice A de dimensiune este descompunabilă dacă există o submulțime nevidă astfel încât pentru toate și . A este de necompus dacă această condiție nu este îndeplinită. $n\ ori n$ $eu \subset \{1,\dots,n\}$ $a_{ij}=0$ $i\în eu$ $j \notin I$

Fie A o matrice Cartan generalizată indecompunabilă. Spunem că A este de tip finit dacă toate minorele sale principale sunt pozitive, că A este de tip afin dacă toate minorele sale principale proprii sunt pozitive și determinantul lui A este 0 și că A este de tip nedeterminat în caz contrar.

Matricele indecompuse de tip finit clasifică grupuri simple de Lie de dimensiune finită (de tip ), în timp ce matricele indecompuse de tip afin clasifică algebrele de Lie afine (peste unele câmpuri închise algebric cu caracteristica 0). $A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$

Determinanții matricilor Cartan pentru algebre simple Lie

Determinanții matricelor Cartan ale algebrelor Lie simple sunt dați în tabel.

$Un}$	$B_{n}$ , $n\geq 2$	$C_{n}$ , $n\geq 2$	$D_{n}$ , $n\geq 4$	$E_{n}$ , $n=6,7,8$	$F_{4}$	$G_{2}$
n +1	2	2	patru	9- n	unu	unu

O altă proprietate a acestui determinant este că este egal cu indicele sistemului radicular asociat, adică este egal cu , unde se notează rețeaua de greutate și respectiv rețeaua rădăcină. $|P/Q|$ $P, Q$

Reprezentări ale algebrelor cu dimensiuni finite

În teoria reprezentărilor modulare și în teoria mai generală a reprezentărilor algebrelor asociative finite -dimensionale care nu sunt semisimple , matricea Cartan este definită luând în considerare un set (finit) de module principale indecompuse și scrierea seriilor de compoziție pentru ele în termeni de module prime , obținând o matrice de numere întregi care conține numărul de apariții ale modulului prim.

Matrice Cartan în teoria M

În teoria M , se poate reprezenta geometria ca o limită a două cicluri care se intersectează la un număr finit de puncte, deoarece aria celor două cicluri tinde spre zero. În limită, apare un grup de simetrie locală . Matricea indicilor de intersecție ai bazei în două cicluri este, ipotetic, matricea Cartan a algebrei Lie a acestui grup de simetrie locală [1] .

Acest lucru poate fi explicat după cum urmează: în teoria M, există solitoni , care sunt suprafețe bidimensionale numite membrane sau 2-brane . 2-branele au tensiune și, prin urmare, tind să se micșoreze, dar pot fi înfășurate în două cicluri pentru a preveni prăbușirea membranelor la zero.

Este posibil să se efectueze o compactare unei dimensiuni, în care sunt situate toate cele două cicluri și punctele lor de intersecție și să se ia limita la care dimensiunea se prăbușește la zero, obținând astfel o reducere a acestei dimensiuni. Apoi obținem teoria corzilor de tip IIA ca limită a teoriei M cu 2-brane înfășurate în două cicluri, acum reprezentate ca șiruri deschise întinse între D-branele . Există un grup de simetrie locală U(1) pentru fiecare D-brană, similar cu gradele de libertate de mișcare fără reorientare. Limita în care două cicluri au zona zero este limita în care aceste D-brane sunt una peste alta.

Un șir deschis întins între două D-brane reprezintă un generator de algebră Lie, iar comutatorul a două astfel de generatoare este al treilea generator reprezentat de un șir deschis, care poate fi obținut prin lipirea marginilor celor două șiruri deschise. Conexiunile ulterioare între diferite șiruri deschise depind de modul în care 2-branele se pot intersecta în teoria M originală, adică de numărul de intersecții cu două cicluri. Astfel, algebra Lie depinde în întregime de aceste numere de intersecție. Legătura cu matricea Cartan este sugerată deoarece descrie comutatoarele simple de rădăcină care sunt asociate cu cele două cicluri în baza aleasă.

Rețineți că generatoarele din subalgebra Cartan sunt reprezentate de șiruri deschise care sunt întinse între o brană D și aceeași brană.

Vezi și

Note

↑ Ashoke Sen. O notă despre simetriile îmbunătățite ale ecartamentului în teoria M și a corzilor // Journal of High Energy Physics. - Editura IOP, 1997. - T. 1997 , nr. 9 . - doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 .

Literatură

William Fulton, Joe Harris. Teoria reprezentării: un prim curs. - Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - P. 334. - ( Graduate Textes in Mathematics ). - ISBN 0-387-97495-4 .
James E. Humphreys. Introducere în algebrele Lie și teoria reprezentării. - Springer-Verlag, 1972. - T. 9. - S. 55-56. — ( Texte de absolvire în matematică ). — ISBN 0-387-90052-7 .
Victor G. Kac. Algebre de minciună cu dimensiuni infinite. — al 3-lea. - 1990. - ISBN 978-0-521-46693-6 .
Mihail Hazewinkel. Enciclopedia de matematică. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Cartan matrix (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .