Un meadru sau un meadru închis este o curbă închisă fără auto-intersecții care intersectează o linie dreaptă de mai multe ori. Intuitiv, un meadru poate fi gândit ca un drum care traversează un râu cu poduri în mai multe locuri.
Având în vedere o dreaptă L orientată pe planul R 2 , un meadru de ordin n este o curbă închisă fără autointersecții pe R 2 care traversează linia în 2n puncte pentru un n pozitiv . Linia dreaptă și curba formează împreună un sistem de meandre . Se spune că două meandre sunt echivalente dacă există un homeomorfism al întregului plan care mapează L cu el însuși și un meandre cu celălalt.
Un meadru de ordinul 1 traversează linia de două ori:
Numărul de meandre diferite de ordinul n se numește numărul de meandre M n . Primele cincisprezece numere meandre (secvența A005315 în OEIS ).
M1 = 1 _ M2 = 2 _ M3 = 8 _ M4 = 42 _ M5 = 262 M6 = 1828 M7 = 13820 M8 = 110954 M9 = 933458 M10 = 8152860 M11 = 73424650 M12 = 678390116 M13 = 6405031050 M14 = 61606881612 M15 = 602188541928Permutarea meandrelor de ordinul n este dată pe mulțimea {1, 2, …, 2 n } și este definită de sistemul meandre după cum urmează:
În diagrama din dreapta, permutarea meandrei de ordinul 4 este dată de permutarea (1 8 5 4 3 6 7 2). Aceasta este o permutare scrisă în notație ciclică și nu trebuie confundată cu notația liniară.
Dacă π este o permutare meandre, atunci π 2 constă din două cicluri , unul care conține toate elementele pare, celălalt conținând toate elementele impare. Permutările cu astfel de proprietăți se numesc permutări alternante (a nu se confunda cu alternarea în sens ascendent-descrescător ). Cu toate acestea, nu toate permutările intercalate sunt meandre, deoarece curbele pentru unele permutări nu pot fi trasate fără auto-intersecții. De exemplu, o permutare alternativă de ordinul 3 (1 4 3 6 5 2) nu este meandre.
Având în vedere o dreaptă L orientată fix pe planul R 2 , un meadru deschis de ordinul n este o curbă orientată care nu se intersectează pe R 2 care intersectează linia în n puncte pentru un număr întreg pozitiv n . Se spune că două meandre deschise sunt echivalente dacă sunt homeomorfe în plan.
Un meadru deschis de ordinul 1 traversează linia o dată:
Un meadru deschis de ordinul 2 traversează linia de două ori:
Numărul de meandre deschise diferite de ordinul n se numește numărul de meandre deschis m n . Primele cincisprezece numere de meandre deschise (secvența A005316 în OEIS ).
m1 = 1 _ m2 = 1 _ m 3 = 2 m4 = 3 _ m5 = 8 _ m6 = 14 _ m7 = 42 _ m8 = 81 _ m9 = 262 m10 = 538 m11 = 1828 m 12 = 3926 m 13 = 13820 m14 = 30694 m15 = 110954Având în vedere o rază R orientată în planul R 2 , o jumătate de meadru de ordinul n — este o curbă disjunctă în R 2 care intersectează raza în n puncte pentru un n pozitiv . Se spune că două semimendra sunt echivalente dacă sunt homeomorfe în plan.
O jumătate de meadru de ordinul doi intersectează raza de două ori:
Numărul de numere de semimeadru diferite de ordinul n se numește număr de semimeadru M n (de obicei notat prin subliniere, mai degrabă decât subliniere). Primele cincisprezece numere semi-meadru (secvența A000682 în OEIS ).
M1 = 1 _ M2 = 1 _ M3 = 2 _ M4 = 4 _ M5 = 10 _ M6 = 24 _ M7 = 66 _ M8 = 174 _ M9 = 504 M10 = 1406 M11 = 4210 M12 = 12198 M13 = 37378 M14 = 111278 M15 = 346846Există o injecție de la numere de meandre la numere de meandre deschise:
M n = m 2 n −1Orice număr de meandre poate fi limitat la jumătate de numere de meandre:
Mn ≤ Mn ≤ M2n _ _ _ _Pentru n > 1 numerele meandre sunt pare:
Mn ≡ 0 (mod 2)| Modele geometrice în natură | ||
|---|---|---|
| modele | ||
| Procesele | ||
| Cercetători |
| |
| Articole similare |
| |