Stresul mecanic

Stresul mecanic
$Q={\frac FS}$
Dimensiune	L −1 MT− 2
Unități
SI	Pa
GHS	g cm −1 s −2

În mecanica continuului , stresul mecanic este o mărime fizică care exprimă forțele interne pe care particulele învecinate dintr-un mediu continu le exercită unele asupra altora, iar deformarea este o măsură a modificării dimensiunilor geometrice ale mediului. De exemplu, atunci când o bară verticală solidă suportă o sarcină , fiecare particulă din bară împinge particulele aflate direct sub ea. Când un lichid este într-un recipient închis sub presiune , fiecare particulă se ciocnește cu toate particulele din jur. Pereții recipientului și suprafața care creează presiune (de exemplu, un piston) sunt presate împotriva lor (conform legii a treia a lui Newton) în conformitate cu forța de reacție. Aceste forțe macroscopice sunt de fapt rezultatul net al unui număr foarte mare de forțe intermoleculare și ciocniri între particule din aceste medii. Efortul mecanic, sau stresul de mai jos, este adesea notat cu litera greacă minusculă sigma σ .

Deformarea, adică deplasarea reciprocă a părților interne ale unui material, poate apărea din cauza diferitelor mecanisme, cum ar fi stresul, atunci când forțele externe sunt aplicate unui material în vrac (cum ar fi gravitația ) sau pe suprafața acestuia (cum ar fi forțele de contact, presiunea externă). sau frecare ). Orice deformare a unui material solid creează o solicitare elastică internă , similară cu forța de reacție a unui arc , care tinde să readucă materialul în starea sa inițială nedeformată, observată înainte de aplicarea forțelor externe. În lichide și gaze , doar deformațiile care modifică volumul creează o solicitare elastică constantă. Cu toate acestea, dacă tulpina se modifică treptat în timp, chiar și în fluide există de obicei un stres vâscos care împiedică această modificare. Tensiunile elastice și vâscoase sunt de obicei combinate sub denumirea de stres mecanic .

Tensiuni semnificative pot exista chiar dacă există o deformare mică sau deloc (o ipoteză comună în simulările debitului de apă). Tensiunea poate exista in absenta fortelor externe; o astfel de solicitare încorporată apare, de exemplu, în betonul precomprimat și sticla călită . Tensiunea poate fi observată într-un material fără aplicarea de forțe generale , cum ar fi din cauza schimbărilor de temperatură sau compoziție chimică sau de câmpuri electromagnetice externe (ca în materialele piezoelectrice și magnetostrictive ).

Relația dintre solicitarea mecanică, deformarea și rata de modificare a deformarii poate fi destul de complexă, deși o aproximare liniară este adesea adecvată în practică dacă mărimile lor sunt suficient de mici. Tensiunea care depășește anumite limite de rezistență a materialului va duce la deformare ireversibilă (de exemplu, curgere plastică , distrugere, cavitație ) sau chiar la o modificare a structurii sale cristaline și a compoziției chimice .

În unele ramuri ale ingineriei , termenul de stres este uneori folosit mai larg ca sinonim pentru „forță internă”. De exemplu, atunci când se analizează ferme , aceasta se poate referi la tensiunea totală sau forța de compresie care acționează asupra unei grinzi, mai degrabă decât la forța împărțită la aria secțiunii sale transversale .

Istorie

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au fost conștienți de prezența tensiunilor în interiorul materialelor. Până în secolul al XVII-lea, înțelegerea tensiunilor a fost în mare parte intuitivă sau empirică; și totuși a dat naștere unor tehnologii complexe precum arcul compozit și tehnologia de suflare a sticlei. [unu]

De-a lungul mai multor milenii, arhitecții și constructorii în special au învățat să combine grinzile din lemn modelate cu grijă și blocurile de piatră pentru a susține, transmite și distribui sarcina în cel mai eficient mod, folosind dispozitive ingenioase precum capiteluri , arcade , cupole , ferme și zburătoare . contraforturi ale catedralelor gotice .

Arhitecții antici și medievali au dezvoltat câteva metode geometrice și formule simple pentru a calcula dimensiunile necesare ale stâlpilor și grinzilor, dar o înțelegere științifică a stării de stres a corpurilor simple a devenit posibilă numai după ce principiile științifice necesare au fost inventate în secolele al XVII-lea și al XVIII-lea: Galileo . Conceptul lui Galilei de o metodă experimentală riguroasă , coordonatele și geometria analitică a lui René Descartes , precum și legile mișcării și echilibrului lui Newton și baza calculului infinitezimal . Cu aceste instrumente, Augustin Louis Cauchy a reușit să creeze primul model matematic riguros și general al tensiunii elastice într-un mediu omogen. Cauchy a observat că forța care acționează asupra unei suprafețe imaginare era o funcție liniară a vectorului său normal.

Înțelegerea tensiunii în fluide a început cu Newton, care a derivat o formulă diferențială pentru forțele de frecare (stresul de forfecare) în flux laminar paralel .

Prezentare generală

Definiție

Efortul este definit ca forța care acționează printr-o limită „mică” pe zona acelei granițe pentru toate orientările graniței. Ca o derivată a unei mărimi fizice fundamentale (forță) și a unei mărimi pur geometrice (arie), stresul este, de asemenea, o mărime fundamentală, cum ar fi viteza, cuplul sau energia, care poate fi cuantificată și analizată fără a se lua în considerare în mod explicit natura materialului sau cauzele sale fizice...

Urmând principiile de bază ale mecanicii continuumului, stresul este un concept macroscopic . Și anume, particulele care constituie corpul, considerate în definirea și analiza sa, trebuie să fie suficient de mici încât să poată fi considerate ca omogene ca compoziție și stare, dar totuși suficient de mari pentru a ignora efectele cuantice și mișcarea detaliată a moleculelor mediului. . Astfel, forța dintre două particule este de fapt media unui număr foarte mare de forțe atomice dintre moleculele lor; și se presupune că mărimile fizice precum masa, viteza și forțele care acționează prin volumul corpurilor tridimensionale, cum ar fi gravitația, sunt bine distribuite peste ele. :p.90–106 În funcție de context, se poate presupune, de asemenea, că particulele sunt suficient de mari pentru a permite media altor caracteristici structurale microscopice, cum ar fi granulele unei tije de metal sau fibrele unei bucăți de lemn .

Cantitativ, tensiunea este exprimată prin vectorul de stres Cauchy T , definit ca forța F între părțile adiacente ale materialului printr-o suprafață de separare imaginară S , împărțită la aria S deoarece această suprafață tinde spre zero reprezintă presiunea familiară . Într -un solid sau într- un flux de fluid vâscos , forța F poate să nu fie perpendiculară pe suprafața S ; prin urmare, tensiunea de suprafață ar trebui considerată ca o mărime vectorială și nu ca un scalar. Mai mult, direcția și mărimea depind de obicei de orientarea suprafeței S. Astfel, starea de efort a materialului trebuie descrisă de un tensor (de rangul doi) numit tensor de tensiuni (Cauchy) ; care este o funcție liniară care relaționează vectorul normal n de suprafața S la solicitarea T. În ceea ce privește orice sistem de coordonate ales, tensorul tensiunii Cauchy poate fi reprezentat ca o matrice simetrică 3 × 3 de numere reale.Chiar și în interiorul unui corp omogen , tensorul tensiunii se poate modifica în funcție de coordonate și timp; prin urmare, tensiunea dintr-un material este de obicei un câmp tensor variabil în timp .

Tensiunea normală și efortul de forfecare

În general, efortul T pe care o particulă P o aplică unei alte particule Q de-a lungul unei suprafețe învecinate S poate fi în orice direcție față de S. Vectorul T poate fi considerat ca suma a două componente: efortul normal (compresiv sau tracțiune) perpendicular pe suprafață și efortul de forfecare .paralel cu suprafața.

Dacă vectorul normal unitar n al suprafeței (direcționat de la Q la P ) se presupune a fi fix, atunci componenta normală poate fi exprimată printr-un singur număr, produsul scalar T · n . Acest număr va fi pozitiv dacă P „întinde” Q (stresul de tracțiune) și negativ dacă P „împinge” Q (stresul de compresiune). Componenta deplasării este atunci un vector T − ( T · n ) n .

Unități de măsură

Dimensiunea tensiunii este presiunea și, prin urmare, mărimea sa este măsurată de obicei în aceleași unități ca și presiunea: și anume pascali (Pa, adică newtoni pe metru pătrat ) în sistemul internațional sau lire pe inch pătrat (psi) în sistemul internațional. sistem imperial . Deoarece tensiunile mecanice din solide depășesc cu ușurință un milion de pascali, MPa (megapascal) este unitatea obișnuită de tensiune.

Cauze și consecințe

Stresul într-un corp elastic poate fi cauzat de o varietate de cauze fizice, inclusiv influențe externe și procese fizice interne. Unii dintre acești agenți (cum ar fi gravitația, schimbările de temperatură și faza termodinamică și câmpurile electromagnetice) acționează asupra majorității materialului, modificându-se continuu cu coordonatele și timpul. Alți agenți (de exemplu, sarcinile externe și frecarea, presiunea mediului și forțele de contact) pot crea tensiuni și forțe care sunt concentrate pe anumite suprafețe, linii sau puncte; și posibil și la intervale de timp foarte scurte (de exemplu, în impulsuri datorate coliziunilor și impacturilor). În substanța activă, particulele microscopice autopropulsate generează profile macroscopice de stres [2] . În cazul general, distribuția tensiunilor în corp este exprimată ca o funcție continuă pe bucăți de coordonate și timp.

În schimb, stresul se corelează în general cu diferite efecte asupra materialului, incluzând posibil modificări ale proprietăților fizice, cum ar fi birefringența , polarizarea și permeabilitatea . Aplicarea tensiunii datorate unui factor extern creează de obicei o oarecare încordare (deformare) în material, chiar dacă este prea mic pentru a fi detectat. Într-un material solid, o astfel de deformare, la rândul său, va provoca o solicitare elastică internă, similară cu forța de reacție a unui arc întins , tinde să restabilească starea inițială nedeformată a materialului. Materialele lichide (lichide, gaze și plasme ) prin definiție nu pot rezista decât deformațiilor care le pot modifica volumul. Cu toate acestea, dacă tulpina se modifică în timp, chiar și în lichide există de obicei un stres vâscos care împiedică această modificare. Astfel de tensiuni pot fi atât de forfecare, cât și normale. Natura moleculară a tensiunilor de forfecare în lichide este subliniată în articolul despre vâscozitate . Același lucru pentru solicitările vâscoase normale poate fi găsit în Sharma (2019). [3]

Relația dintre stres și efectele și cauzele sale, inclusiv deformarea și rata de modificare a deformarii, poate fi destul de complexă (deși în practică se folosește o aproximare liniară dacă cantitățile sunt suficient de mici). Tensiunea care depășește anumite limite de rezistență a materialului va duce la deformare ireversibilă (de exemplu, curgere plastică , distrugere, cavitație ) sau chiar la o modificare a structurii sale cristaline și a compoziției chimice .

Stres simplu

În unele situații, stresul din interiorul corpului poate fi descris în mod adecvat de un singur vector. Trei astfel de situații simple de solicitare care apar adesea în ingineria structurală sunt efortul normal uniaxial , efortul de forfecare simplu și efortul normal izotrop .

Efort normal uniaxial

Situația obișnuită cu o structură de stres simplă se observă într-o tijă dreaptă cu un material omogen și secțiune transversală, care este supusă tensiunii sub acțiunea forțelor direcționate opus de -a lungul axei sale. Dacă sistemul este în echilibru și nu se modifică în timp, iar greutatea tijei poate fi neglijată, atunci prin fiecare secțiune transversală a tijei, partea superioară trebuie să tragă partea inferioară cu aceeași forță, F , cu acțiune continuă pe întreaga suprafață a secțiunii transversale A. Prin urmare, solicitarea σ în întreaga tijă pe orice suprafață orizontală poate fi pur și simplu exprimată printr-un singur număr σ calculat din mărimea acestor forțe, F , și aria secțiunii transversale, A. $F$

σ = F A {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}

\sigma ={\frac {F}{A}}

Pe de altă parte, dacă vă imaginați că tija este tăiată de-a lungul lungimii, paralelă cu axa, atunci nu va exista nicio forță (și, prin urmare, nicio tensiune) între cele două jumătăți.

Acest tip de stres poate fi numit (simplu) stres normal sau stres uniaxial; în special (uniaxială, simplă) efort de tracțiune. Dacă sarcina pe bară este mai degrabă în compresie decât în tensiune, analiza este aceeași, cu excepția faptului că forța F și solicitarea își vor schimba semnul, iar efortul se numește efort de compresiune. $\sigma$

Această analiză presupune că solicitarea este distribuită uniform pe întreaga secțiune transversală. În practică, această ipoteză poate să nu fie adevărată, în funcție de modul în care tija este atașată la capete și de modul în care a fost realizată. În acest caz, valoarea = F / A va reprezenta doar tensiunea medie, numită tensiune de inginerie sau tensiune nominală . Cu toate acestea, dacă lungimea tijei L este de mai multe ori diametrul său D și nu are defecte grave sau solicitări încorporate, atunci se poate presupune că efortul este distribuit uniform pe orice secțiune transversală, distanța până la care este mai mult de câteva D ori mai mare decât distanța de la ambele capete. (Această observație este cunoscută sub numele de principiul lui Saint-Venant ). $\sigma$

Pe lângă tensiunea și compresia axială, stresul normal apare în multe alte situații. Dacă o tijă elastică cu o secțiune transversală uniformă și simetrică este îndoită într-unul dintre planurile de simetrie, tensiunea de încovoiere rezultată va fi totuși normală (perpendiculară pe secțiunea transversală), dar va varia de-a lungul secțiunii transversale: partea exterioară va fi sub tensiune de tracțiune, în timp ce partea interioară va fi în compresiune. O altă variantă a tensiunii normale este efortul cercului , care apare pe pereții unei țevi cilindrice sau a unui vas umplut cu lichid sub presiune.

Efort de forfecare simplu

Un alt tip simplu de solicitare apare atunci când un strat de material elastic de grosime uniformă, cum ar fi lipici sau cauciuc, este atașat ferm de două corpuri rigide care sunt trase în direcții opuse de forțe paralele cu acel strat; sau o bucată de tijă de metal moale care este tăiată cu lame de foarfecă. Fie F mărimea acestor forțe, iar M planul mediu al acestui strat. Ca și în cazul tensiunii normale, o parte a stratului de pe o parte a lui M trebuie să tragă cealaltă parte cu aceeași forță F. Presupunând că direcția forțelor este cunoscută, efortul asupra M poate fi exprimat ca un singur număr , care se calculează din mărimea acestor forţe F şi aria secţiunii transversale A . $\tau$

τ = F A {\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}

\tau ={\frac {F}{A}}

Totuși, spre deosebire de solicitarea normală, această efort de forfecare simplă este direcționată paralel cu secțiunea transversală în cauză, nu perpendicular pe aceasta. Pentru orice plan S care este perpendicular pe strat, forța internă totală în planul S și astfel stresul va fi zero.

Ca și în cazul unei bare încărcate axial, în practică efortul de forfecare nu poate fi distribuit uniform pe strat; deci, ca și înainte, raportul F / A va avea semnificația tensiunii medii ("nominale", "inginerești"). Cu toate acestea, în scopuri practice, această medie este adesea suficientă :p.292 . Tensiunea de forfecare este de asemenea observată atunci când o tijă cilindrică, cum ar fi un arbore , este supusă momentelor opuse la capete. În acest caz, forța de forfecare în fiecare secțiune transversală este paralelă cu secțiunea transversală, dar orientată tangențial față de axă și crește odată cu creșterea distanței față de axă. Sub acțiunea sarcinilor de încovoiere în planul mijlociu („peretele”) al grinzilor în I , apare o solicitare de forfecare semnificativă datorită faptului că peretele limitează plăcile de capăt („rafturi”).

Stresul izotrop

Un alt tip simplu de stres apare atunci când un corp material experimentează aceeași compresie sau tensiune în toate direcțiile. Aceasta se întâmplă, de exemplu, într-o parte dintr-un lichid sau gaz în repaus, închisă într-un recipient sau ca parte a unei mase mai mari de lichid; sau în interiorul unui cub de material elastic care este sub presiune uniformă sau întins pe toate cele șase fețe cu forțe egale perpendiculare pe fețe - cu condiția ca în ambele cazuri materialul să fie omogen, fără solicitări încorporate și ca influența gravitației și a altor forțele externe pot fi neglijate.

În aceste situații, solicitarea pe orice suprafață interioară imaginară este egală ca mărime și întotdeauna direcționată perpendicular pe suprafață, indiferent de orientarea acesteia. Acest tip de stres poate fi numit normal izotrop sau pur și simplu izotrop ; dacă se observă stres de compresiune, atunci se numește presiune hidrostatică sau pur și simplu presiune . Gazele, prin definiție, nu pot rezista solicitărilor de tracțiune, dar unele lichide pot rezista la valori surprinzător de mari ale tensiunii izotrope de tracțiune în anumite circumstanțe (vezi tubul Z).

Tensiuni cilindrice

Piesele simetrice axial , cum ar fi roțile, osiile, tuburile, discurile și barele sunt foarte frecvente în inginerie. Adesea, modelele de tensiuni care apar în astfel de părți au simetrie rotațională (axială) sau chiar cilindrică. Atunci când se analizează astfel de tensiuni cilindrice, simetria este utilizată pentru a reduce dimensiunea domeniului și/sau a tensorului tensiunii.

Vedere generală a tensorului tensiunii

Adesea, corpurile mecanice suferă mai mult de un tip de sarcină în același timp; aceasta se numește tensiune combinată . În condiții normale de efort și forfecare, mărimea tensiunii este maximă pentru suprafețele perpendiculare pe o anumită direcție și este zero pe orice suprafețe paralele. ca suma a două tensiuni normale sau efort de forfecare. În cazul cel mai general, numit efort triaxial , tensiunea este diferită de zero pe fiecare element de suprafață. $d,$ $d.$

Tensor de stres Cauchy

Tensiunile combinate nu pot fi descrise de un singur vector. Prin urmare, chiar dacă materialul este supus aceleiași solicitări pe tot volumul corpului, stresul pe orice suprafață imaginară va depinde de orientarea acestei suprafețe într-un mod non-trivial.

Cu toate acestea, Cauchy a observat că vectorul de stres dat pe suprafață va fi întotdeauna o funcție liniară a vectorului normal pe suprafață - un vector de unitate de lungime perpendicular pe acesta. Adică acolo unde funcția satisface relația $T$ $n,$ $T={\boldsymbol {\sigma }}(n),$ ${\boldsymbol {\sigma })$

{\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)

pentru orice vector și orice număr real Funcția numită acum tensor de stres (Cauchy) descrie complet starea de stres a unui corp tensionat uniform. (În general, orice relație liniară între două mărimi vectoriale fizice se numește tensor , care corespunde sensului original al lui Cauchy de a descrie „stresurile” dintr-un material.) Clasificat în calculul tensorului ca un tensor de rangul doi de tip (0,2) . $u,\v$ $\alpha ,\ \beta .$ ${\boldsymbol {\sigma }),$ ${\boldsymbol {\sigma })$

Ca orice mapare liniară între vectori, tensorul tensiunii poate fi reprezentat în orice sistem de coordonate carteziene ales printr-o matrice de numere reale 3 × 3. În funcție de numărul de coordonate sau de utilizarea matricei, acesta poate fi scris astfel: ${\displaystyle x_{1},\x_{2},\x_{3))$ $x,\y,\z$

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23 }\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad

\quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy} &\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}

Vectorul de stres dat pe suprafata cu vectorul normal cu coordonate este apoi reprezentat ca produs matriceal . Ca rezultat, obținem un vector covariant (vector-rând) (comparați cu tensorul de stres Cauchy ), adică. $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ $n$ $n_1,\ n_2,\ n_3$ $T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

{\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{ 32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}

Relația liniară dintre și, de asemenea, decurge din legile fundamentale ale conservării impulsului și ale echilibrului static al forțelor și, prin urmare, este exactă din punct de vedere matematic pentru orice material și orice situație de stres. Componentele tensorului tensiunii Cauchy în fiecare punct al corpului satisfac ecuațiile de echilibru (ecuațiile Cauchy ale mișcării la accelerație zero). Mai mult, din principiul conservării momentului unghiular rezultă că tensorul tensiunii este simetric , adică Acest lucru se reflectă în intrarea: $T$ $n$ $\sigma _{12}=\sigma _{21},$ $\sigma _{13}=\sigma _{31},$ $\sigma _{23}=\sigma _{32}.$

{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz }\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}

unde elementele se numesc tensiuni normale ortogonale (față de sistemul de coordonate ales) și tensiuni de forfecare ortogonale . $\sigma _{x},\\sigma _{y},\\sigma _{z)$ $\tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz)$

Transformarea coordonatelor

Tensorul de tensiuni Cauchy se supune legii de transformare a tensorului atunci când sistemul de coordonate se modifică. Pentru o reprezentare grafică a acestei legi de transformare, se folosește cercul de tensiuni al lui Mohr .

Pentru o matrice reală simetrică 3×3, tensorul tensiunii are trei vectori proprii reciproc ortogonali de lungime unitară și trei valori proprii reale , astfel încât , într-un sistem de coordonate cu axe , tensorul tensiunii este o matrice diagonală și are doar trei componente normale numite principale . stresuri . Dacă cele trei valori proprii sunt egale, atunci tensiunea este o compresie sau tensiune izotropă și este întotdeauna perpendiculară pe orice suprafață și nu există efort de forfecare, iar tensorul este o matrice diagonală în orice sistem de coordonate. ${\boldsymbol {\sigma })$ ${\displaystyle e_{1},\e_{2},\e_{3))$ $\lambda _{1},\\lambda _{2},\\lambda _{3)$ ${\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}.$ $e_{1},\e_{2},\e_{3},$ $\lambda _{1},\\lambda _{2},\\lambda _{3)$

Stresul ca câmp tensor

De obicei, stresul este distribuit inegal în volumul unui corp material și se poate modifica în timp. Prin urmare, tensorul tensiunii trebuie determinat pentru fiecare punct și fiecare moment de timp, luând în considerare o particulă infinitezimală a mediului care înconjoară acest punct și luând tensiunile medii din această particulă ca tensiuni în acest punct.

Stresul în plăci subțiri

Obiectele create de om sunt adesea realizate din piese standard realizate dintr-o varietate de materiale prin operațiuni care nu le schimbă natura esențial bidimensională, cum ar fi tăierea, găurirea, îndoirea lină și sudarea pe margini. Descrierea tensiunilor în astfel de corpuri poate fi simplificată prin modelarea acestor părți ca suprafețe bidimensionale, mai degrabă decât ca corpuri tridimensionale.

Din acest punct de vedere, se poate redefini o „particulă” ca o secțiune infinitezimală a suprafeței plăcii, astfel încât limita dintre particulele adiacente să devină un element de linie infinitezimal (contur); ambele sunt implicit extinse în a treia dimensiune, perpendicular pe placă. „Stresul” este apoi redefinit ca o măsură a forțelor interne dintre două „particule” adiacente, de-a lungul elementului lor comun, împărțită la lungimea acelui element. Unele componente ale tensorului tensiunii pot fi ignorate, dar deoarece particulele nu sunt infinitezimale în a treia dimensiune, nu se mai poate ignora cuplul pe care o particulă îl aplică particulelor învecinate. Acest cuplu este modelat ca un efort de încovoiere care tinde să modifice curbura plăcii. Cu toate acestea, este posibil ca aceste simplificări să nu se aplice sudurilor sau îndourilor și pliurilor ascuțite (unde raza de curbură este comparabilă cu grosimea tablei).

Tensiune în grinzi subțiri

Analiza tensiunilor este, de asemenea, foarte simplificată pentru tije subțiri, grinzi sau fire de compoziție și secțiune transversală uniforme (sau care variază ușor), care sunt supuse la îndoire și răsucire moderată. Pentru aceste corpuri, se pot lua în considerare doar secțiuni transversale perpendiculare pe axa tijei și se pot redefini „particulă” ca o bucată de sârmă cu o lungime infinitezimală între două astfel de secțiuni transversale. Tensiunea obișnuită se reduce așadar la un scalar (întinderea sau comprimarea tijei), dar trebuie să se țină seama și de efortul de încovoiere (care încearcă să modifice curbura tijei într-o direcție perpendiculară pe axă) și de efortul de torsiune (care încearcă să o rotească sau să o deruleze în jurul axei sale).

Alte descrieri de stres

Tensorul de tensiuni Cauchy este utilizat pentru a analiza tensiunile corpurilor materiale care suferă deformații mici, unde diferențele de distribuție a tensiunilor pot fi neglijate în majoritatea cazurilor. Pentru deformari mari sau deformari finite, sunt necesare alte metode de descriere a tensiunilor, cum ar fi primul și al doilea tensor de tensiuni Piola-Kirchhoff, tensorul de tensiuni Biot și tensorul de tensiuni Kirchhoff.

Solidele, lichidele și gazele au câmpuri de stres. Fluidele statice mențin stresul normal, dar curg sub forfecare . Fluidele vâscoase în mișcare pot rezista la forfecare (presiune dinamică). Solidele pot rezista atât la forfecare, cât și la tensiuni normale, materialele ductile cedându-se la forfecare și materialele casante cedându-se la solicitarea normală. Toate materialele au modificări dependente de temperatură în proprietățile legate de stres, în timp ce materialele non-newtoniene se modifică cu viteza.

Analiza stresului

Analiza tensiunilor este o ramură a fizicii aplicate care se ocupă cu determinarea distribuției forțelor interne în solide. Este o tehnică importantă în inginerie pentru studiul și proiectarea structurilor cum ar fi tuneluri, baraje, părți mecanice și cadre structurale sub sarcini date sau așteptate. Analiza stresului este, de asemenea, importantă în multe alte discipline; de exemplu, în geologie pentru a studia fenomene precum tectonica plăcilor , vulcanismul și avalanșele ; iar în biologie, pentru a înțelege anatomia ființelor vii.

Obiective și ipoteze

Analiza tensiunilor se ocupă în general de obiecte și structuri despre care se poate presupune că se află în echilibru static macroscopic . Conform legilor mișcării lui Newton , orice forță externă aplicată unui astfel de sistem trebuie echilibrată de forțele de reacție interne :p.97 care sunt aproape întotdeauna cauzate de forțele de contact de suprafață între particulele învecinate, adică tensiuni. Deoarece fiecare particulă trebuie să fie în echilibru, acest stres asociat cu forța de reacție se răspândește de obicei de la particulă la particulă, creând o distribuție a stresului în întregul corp.

O problemă tipică în analiza tensiunilor este determinarea acestor tensiuni interne având în vedere forțele externe care acționează asupra sistemului. Acestea din urmă pot fi atât forțe ale corpului (cum ar fi gravitația sau interacțiunea magnetică) care acționează pe întregul volum al materialului; :p.42–81 sau sarcini concentrate (cum ar fi frecarea dintre o osie și un rulment sau presiunea unei roți de tren pe o șină) care se presupune că acționează într-un domeniu bidimensional sau de-a lungul unei linii sau într-un punct .

De obicei, analiza tensiunilor nu ia în considerare cauzele fizice ale forțelor sau natura exactă a materialelor. În schimb, se presupune că tensiunile sunt legate de deformarea (și, în problemele non-staționare, rata de deformare) a materialului prin relații materiale cunoscute.

Metode

Analiza tensiunilor se poate face experimental, prin aplicarea sarcinilor unei piese reale sau unui model la scară și măsurarea tensiunilor rezultate folosind oricare dintre mai multe metode disponibile. Această abordare este adesea folosită pentru certificarea și monitorizarea siguranței structurilor mari. Cu toate acestea, cea mai mare parte a analizei de stres se face matematic, mai ales în timpul proiectării. Pentru sarcina principală de analiză a tensiunilor, ecuațiile de mișcare Euler pentru corpurile solide (care sunt o consecință a legilor lui Newton pentru conservarea momentului și a momentului unghiular ) și principiul tensiunii Euler-Cauchy, împreună cu relațiile materiale corespunzătoare, ar trebui să fie întocmit. Astfel, se obține un sistem de ecuații diferențiale parțiale , incluzând câmpul tensor al tensiunii și câmpul tensor al deformarii ca funcții necunoscute de găsit. Forțele externe ale corpului apar ca un termen independent („partea dreaptă”) în ecuațiile diferențiale, iar forțele concentrate intră în ecuații ca condiții la limită. Astfel, sarcina principală a analizei tensiunii este o problemă a valorii la limită .

Calculul tensiunilor pentru structuri elastice se bazează pe teoria elasticității și teoria deformațiilor infinitezimale. Atunci când sarcinile aplicate provoacă deformare permanentă, trebuie utilizate relații materiale mai complexe, care pot lua în considerare procese fizice importante ( curgere plastică , defecțiune, tranziție de fază etc.).

Cu toate acestea, structurile de inginerie sunt de obicei proiectate astfel încât tensiunile maxime așteptate să fie în intervalul elasticității liniare (o generalizare a legii lui Hooke pentru continuum); adică deformaţiile cauzate de solicitările interne trebuie să fie liniar legate de acestea. În acest caz, ecuațiile diferențiale care determină tensorul tensiunii sunt liniare, iar problema este mult simplificată. În primul rând, tensiunea în orice punct va fi, de asemenea, o funcție liniară a sarcinii. La tensiuni suficient de scăzute, chiar și sistemele neliniare pot fi de obicei considerate liniare.

Analiza tensiunilor este simplificată atunci când dimensiunile fizice și distribuția sarcinii permit ca structura să fie considerată unidimensională sau bidimensională. De exemplu, atunci când se calculează fermele, se poate presupune că câmpul de efort este uniform și uniaxial pentru fiecare element. Apoi ecuațiile diferențiale sunt reduse la un sistem finit de ecuații (de obicei liniare) cu un număr finit de necunoscute. Alte abordări pot reduce problema 3D la una 2D și/sau înlocui tensorii generali de tensiune și deformare cu modele mai simple folosind simetria problemei, cum ar fi tensiunea/compresia uniaxiale, forfecarea simplă etc.

Cu toate acestea, pentru cazurile 2D sau 3D este necesar să se rezolve un sistem de ecuații cu diferențe parțiale. Soluțiile analitice sau închise ale ecuațiilor diferențiale pot fi obținute atunci când geometria care definește relațiile și condițiile la limită este suficient de simplă. În caz contrar, de obicei trebuie să recurgem la metode numerice precum metoda elementului finit, metoda diferențelor finite și metoda elementului de limită .

Fundamente teoretice

Mecanica continuumului se ocupă de corpuri deformabile, nu de corpuri absolut rigide. În mecanica continuurilor se iau în considerare doar tensiunile care decurg din aplicarea forțelor externe și deformarea ulterioară a corpului; cu alte cuvinte, sunt luate în considerare modificările relative de deformare, nu valorile lor absolute. Se spune că un corp este lipsit de stres dacă numai forțele sunt acele forțe interatomice (de natură ionică, metalică sau van der Waals) necesare pentru a menține corpul împreună și a-și menține forma în absența tuturor influențelor externe, inclusiv a atracției gravitaționale. [4] [5 ] . De asemenea, sunt excluse solicitările care apar în timpul fabricării unei anumite forme a corpului în timpul prelucrării.

Urmând dinamica clasică Newtoniană și Euler, mișcarea unui corp material este cauzată de acțiunea forțelor aplicate extern, care se presupune că sunt de două tipuri: forțe de suprafață și forțe ale corpului [6] .

Forțele de suprafață sau forțele de contact pot acționa fie pe suprafața limită a corpului ca rezultat al contactului mecanic cu alte corpuri, fie pe suprafețele interne imaginare care conectează părți ale corpului, ca rezultat al interacțiunii mecanice dintre părțile sale de pe ambele părți ale acestuia. suprafata (principiul tensiunii Euler-Cauchy) . Când forțele de contact externe acționează asupra unui corp, forțele de contact interne sunt transferate de la un punct la altul în interiorul corpului pentru a-și echilibra acțiunea, în conformitate cu cea de-a doua lege a mișcării a lui Newton a conservării momentului și a momentului unghiular. Aceste legi sunt numite ecuații de mișcare Euler pentru medii continue. Forțele de contact interne sunt legate de deformarea corpului prin ecuații constitutive. Acest articol oferă o descriere matematică a forțelor de contact interne și a relației acestora cu mișcarea corpului, indiferent de compoziția sa materială [7] .

Stresul poate fi considerat ca o măsură a intensității forțelor de contact interne care acționează între particulele corpului prin suprafețe interne imaginare [8] . Cu alte cuvinte, stresul este o măsură a forței medii aplicate pe unitatea de suprafață a suprafeței pe care acţionează aceste forţe interne. Intensitatea forțelor de contact este invers proporțională cu aria de contact. De exemplu, dacă o forță aplicată pe o suprafață mică este comparată cu o sarcină distribuită de aceeași mărime rezultată aplicată pe o zonă mai mare, efectele sau intensitățile celor două forțe se dovedesc a fi local diferite, deoarece tensiunile în mediu nu sunt aceeași.

Forțele corpului apar din cauza surselor din afara corpului [9] , care acționează asupra volumului (sau masei) acestuia. Aceasta înseamnă că forțele interne se manifestă numai prin forțe de contact [10] . Aceste forțe apar din cauza prezenței corpului în diferite câmpuri de forță (de exemplu, un câmp gravitațional). Deoarece se presupune că masa unui corp solid este distribuită continuu, orice forță care provine din masă este, de asemenea, distribuită continuu. Astfel, se presupune că forțele corpului sunt continue pe volumul corpului [11] .

Densitatea forțelor interne în fiecare punct al corpului deformabil nu este neapărat uniformă, adică există o distribuție a tensiunilor. Această modificare a forțelor interne este guvernată de legile conservării momentului liniar și unghiular, care sunt de obicei aplicate unei particule masive, dar sunt extinse în mecanica continuului la un corp cu o masă distribuită continuu. Dacă corpul este reprezentat ca o colecție de particule discrete, fiecare dintre ele respectând legile mișcării lui Newton, atunci ecuațiile lui Euler sunt derivate din legile lui Newton. Cu toate acestea, ecuațiile lui Euler pot fi considerate ca axiome care descriu legile mișcării corpurilor extinse, indiferent de structura oricărei particule [12] .

Principiul stresului Euler-Cauchy

Principiul stresului Euler-Cauchy afirmă că „în fiecare secțiune transversală desenată mental în interiorul corpului, există o interacțiune de forțe de aceeași natură ca și sarcinile distribuite pe suprafață” [13] , iar această interacțiune este reprezentată de un câmp vectorial. T ( n ) , numit vector de stres definit pe suprafața S și dependent continuu de vectorul unitar al suprafeței n [11] [14] .

Pentru a explica acest principiu, luăm în considerare o suprafață imaginară S care trece printr-un punct interior al corpului P, împărțind corpul continuu în două segmente, așa cum se arată în Fig. 2.1a sau 2.1b (puteți folosi fie o diagramă cu plan de tăiere, fie o diagramă cu un volum arbitrar în interiorul mediului închis în interiorul suprafeței S ). Forțele de suprafață exterioare F și forțele corpului b acţionează asupra corpului . Forțele de contact interne transmise de la un segment al corpului la altul prin planul care le separă, datorită impactului unei părți a mediului pe cealaltă, creează o distribuție a forței pe o zonă mică Δ S cu un vector unitar normal n , prezentat pe planul de tăiere S. Distribuția forței este egală cu forța de contact ΔF și stresul cuplat ΔM asociat cu aceasta , așa cum se arată în figurile 2.1a și 2.1b. Principiul tensiunii Cauchy afirmă [4] că pe măsură ce Δ S ajunge la zero, raportul Δ F /Δ S devine d F / d S , iar vectorul de stres de moment Δ M dispare. În unele domenii ale mecanicii continue, se presupune că stresul momentului nu dispare; cu toate acestea, ramurile clasice ale mecanicii continue se adresează materialelor nepolare care nu iau în considerare tensiunile de cuplu. Vectorul rezultat d F /d S este definit ca vectorul de stres dat de T ( n ) = T i ( n ) e i punctului P asociat cu planul cu vectorul normal n :

T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i)} {\Delta S}}={dF_{ i}\peste dS}.

Această ecuație înseamnă că vectorul de stres depinde de poziția sa în corp și de orientarea planului pe care acționează.

În funcție de orientarea planului în cauză, vectorul de stres nu trebuie să fie perpendicular pe acel plan, adică paralel cu n , și poate fi descompus în două componente (figura 2.1c):

o componentă normală planului, numită stres normal

\mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }}=\lim _{\Delta S\la 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}} ={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS)),

unde d F n este componenta normală a forței d F față de platforma diferențială d S

iar celălalt, paralel cu acest plan, se numește efort de forfecare .

\mathbf {\tau} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }} {\Delta S}}={\frac {dF_{\ mathrm {s} }}{dS}},

unde d F s este componenta tangențială a forței d F la diferența de arie d S . Efortul de forfecare poate fi descompus în continuare în doi vectori reciproc perpendiculari.

postulatul lui Cauchy

Conform postulatului lui Cauchy , vectorul de stres T ( n ) rămâne același pentru toate suprafețele care trec prin punctul P și având același vector normal n în punctul P [10] [15] , adică având o tangentă comună în punctul P. Aceasta înseamnă că vectorul de stres este doar o funcție a vectorului normal n și nu depinde de curbura suprafețelor interne.

Lema principală a lui Cauchy

Postulatul lui Cauchy implică lema fundamentală Cauchy [5] [9] [10] , cunoscută și sub denumirea de teorema de reciprocitate Cauchy [16] , care afirmă că vectorii de stres care acționează pe laturile opuse ale aceleiași suprafețe sunt egali ca mărime și opuși ca direcție. Lema fundamentală a lui Cauchy este echivalentă cu cea de-a treia lege a acțiunii și reacției a lui Newton și este exprimată ca

-\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.\,\!

Teorema tensiunii lui Cauchy - tensorul tensiunii

Starea de stres într-un punct al corpului este determinată de toți vectorii de stres T ( n ) asociați tuturor planurilor (un număr infinit) care trec prin acest punct [8] . Cu toate acestea, conform teoremei principale a lui Cauchy [5] , cunoscută și sub numele de teorema tensiunii Cauchy [9] , din vectorii de stres cunoscuți pe trei plane reciproc perpendiculare, puteți găsi vectorul de stres pe orice alt plan care trece prin acest punct folosind coordonatele ecuația de transformare.

Teorema tensiunii lui Cauchy afirmă că există un câmp tensor de rangul doi σ ( x , t), numit tensor al tensiunii Cauchy , independent de n , astfel încât T depinde liniar de n :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^ {(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!

Această ecuație implică faptul că vectorul de stres T ( n ) în orice punct P al mediului asociat unui plan cu un vector unitar normal n poate fi exprimat în funcție de vectorii de stres pe planuri perpendiculare pe cele trei axe de coordonate, adică prin componentele σ ij ale tensorului tensiunii σ .

Pentru a demonstra această expresie, considerăm un tetraedru cu trei fețe orientate în planurile de coordonate și cu o zonă infinitezimală d A orientată într-o direcție arbitrară dată de vectorul unitar normal n (Figura 2.2). Un tetraedru se formează prin tăierea unui element infinitezimal de-a lungul unui plan arbitrar cu normala n . Vectorul de stres pe acest plan este notat cu T ( n ) . Vectorii de stres care acționează pe fața tetraedrului sunt notați cu T ( e 1 ) , T ( e 2 ) și T ( e 3 ) și prin definiție sunt componente σ ij ale tensorului de stres σ . Acest tetraedru este uneori numit tetraedrul Cauchy . Echilibrul de forțe, adică prima lege a mișcării a lui Euler (a doua lege a mișcării a lui Newton), dă:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}= \rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,\,\!

unde partea dreaptă este produsul dintre masa conținută în tetraedru și accelerația acestuia: ρ este densitatea, a este accelerația, h este înălțimea tetraedrului, dacă luăm ca bază planul n . Aria fețelor tetraedrului perpendicular pe axele poate fi găsită prin proiectarea d A pe fiecare față (folosind produsul punctual):

dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,\,\!

dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,\,\!

dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,\,\!

și apoi înlocuind în ecuație pentru a anula d A :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})} n_{1}-\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac { h}{3}}\dreapta)\mathbf {a} .\,\!

Pentru a considera cazul limită în care tetraedrul se micșorează până la un punct, h trebuie să tindă spre 0 (în mod intuitiv, planul cu normala n se mișcă de-a lungul vectorului n spre partea O ). Ca rezultat, partea dreaptă a ecuației tinde spre 0, deci

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})} n_{1}+\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.\,\!

Se consideră un element (Figura 2.3) cu plane perpendiculare pe axele de coordonate ale sistemului de coordonate carteziene. Vectorii de efort asociați cu fiecare dintre planurile acestui element, adică T ( e 1 ) , T ( e 2 ) și T ( e 3 ) pot fi descompuși într-o parte normală și două componente de forfecare, adică componente în direcția cele trei axe de coordonate. Pentru un caz special al unei suprafețe cu un vector unitar normal orientat în direcția axei x 1 , notăm efortul normal ca σ 11 , iar cele două eforturi de forfecare ca σ 12 și σ 13 (al doilea indice indică coordonatele paralele axă):

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}.

Folosind o intrare de index:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j} =\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.

Cele nouă componente σ ij ale vectorilor de stres sunt componentele tensorului rangului al doilea în sistemul de coordonate carteziene, numit tensor de stres Cauchy , care determină complet starea de stres într-un punct și este dat de matrice.

{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrice}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\ mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrice}}\right] =\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{ 23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrice}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{ xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _ {zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{ xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end {matrice}}\dreapta],

unde σ 11 , σ 22 , și σ 33 sunt tensiuni normale, σ 12 , σ 13 , σ 21 , σ 23 , σ 31 și σ 32 sunt tensiuni de forfecare (tensiuni tangenţiale). Primul indice i indică faptul că stresul acționează într-un plan perpendicular pe axa x i , iar al doilea indice j indică direcția în care acționează stresul. Componenta vectorului de stres este pozitivă dacă acţionează în direcţia pozitivă a axelor de coordonate şi dacă planul în care acţionează are un vector normal spre exterior îndreptat în direcţia pozitivă a coordonatelor.

Astfel, folosind componentele tensorului tensiunii, putem scrie:

{\begin{aliniat}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+ \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\& =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e } _{j}\right)n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}},

sau, care este același:

T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.

Alternativ sub formă de matrice:

\left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf { n} )}\end{matrice}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{ \begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\ sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrice}}\right].

Notația Voigt pentru reprezentarea tensorii de stres Cauchy este utilizată pentru comoditate în prezența simetriei tensorilor de stres, pentru a exprima stresul ca formă vectorială cu șase dimensiuni:

{\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{ 5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}.\,\!

Notația lui Voigt este utilizată pe scară largă pentru a reprezenta relațiile stres-deformare în mecanica solidă și pentru a îmbunătăți eficiența computațională în software-ul de mecanică structurală.

Regula de transformare a tensorii tensoarelor

Se poate arăta că tensorul de stres este un tensor contravariant de rangul doi. La trecerea de la sistemul de coordonate x i la sistemul de coordonate x i ', componentele σ ij din sistemul original sunt transformate în componente σ ij ' în noul sistem în conformitate cu regula de transformare a tensorului (Figura 2.4):

\sigma _{ij}^{'}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\ mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T},

unde A este o matrice de rotație cu componente a ij . În formă de matrice, aceasta este scrisă ca

\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}^{'}&\sigma _{12}^{'}&\sigma _{13}^{'}\\\sigma _{ 21}^{'}&\sigma _{22}^{'}&\sigma _{23}^{'}\\\sigma _{31}^{'}&\sigma _{32}^{' }&\sigma _{33}^{'}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21 }&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}& \sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32} &\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_ {32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrice}}\right].

Extinderea operației matricei și simplificarea termenilor folosind simetria tensorii tensoarelor dă:

\sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\ sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23} ,

\sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\ sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23} ,

\sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\ sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23} ,

{\begin{aligned}\sigma _{12}'=&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13 }a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23} +a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{23}'=&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33} +a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{13}'=&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33} +a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}

Cercul Mohr pentru tensiuni este o reprezentare grafică a acestei transformări.

Tensiuni normale și forfecare

Valoarea componentei normale a tensiunii σ n a oricărui vector de stres T ( n ) care acționează pe un plan arbitrar cu un vector unitar normal n într-un punct dat, exprimată folosind tensorul tensiunii σ ij componente σ , este produsul scalar al tensiunii vector și vectorul unitar normal:

\sigma _{\mathrm {n} }=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} =T_{i}^{(\mathbf {n} ) }n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.

Mărimea componentei tensiunii de forfecare τ n care acționează într-un plan acoperit de doi vectori T ( n ) și n poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora :

{\begin{aliniat}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n})}\right)^{2}-\sigma _ {\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}- \sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}

Unde $\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n } )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_ {j}n_{k}.$

Ecuații de echilibru și simetrie tensorială a tensiunilor

Când corpul este în echilibru, componentele tensoarelor tensoarelor din fiecare punct al corpului satisfac ecuațiile de echilibru:

\sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!

De exemplu, pentru un fluid hidrostatic în condiții de echilibru, tensorul tensiunii ia forma:

{\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}}),\

unde este presiunea hidrostatică și denotă simbolul Kronecker. $p$ ${\delta _{ij}}\$

În același timp, echilibrul necesită ca suma momentelor în jurul unui punct arbitrar să fie egală cu zero, ceea ce duce la concluzia că tensorul tensiunii trebuie să fie simetric, adică

\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!

Totuși, în teoriile momentelor, adică în prezența momentelor pe unitatea de volum, tensorul tensiunii nu este simetric. Acest lucru este valabil și atunci când numărul Knudsen este aproape de 1 sau pentru medii, cum ar fi un fluid non-newtonian, care poate duce la un fluid neinvariant la rotație, cum ar fi un polimer. $K_{n}\rightarrow 1\,\!$

Tensiuni principale și invarianți ai tensiunii

În fiecare punct al unui corp tensionat, există cel puțin trei plane, numite planuri principale , cu vectori normali , numiți direcții principale , unde vectorul de stres corespunzător este perpendicular pe plan, adică paralel cu sau în aceeași direcție cu vector normal și unde nu există solicitări de forfecare normale . Cele trei tensiuni normale acestor plane principale se numesc tensiuni principale . $\mathbf {n} \,\!$ $\mathbf {n} \,\!$ $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$

Componentele tensorului tensiunii depind de orientarea sistemului de coordonate în punctul considerat. Totuși, tensorul tensiunii în sine este o mărime fizică și, ca atare, este independent de sistemul de coordonate ales pentru a o reprezenta. Fiecare tensor este asociat cu anumite invarianți, care, de asemenea, nu depind de sistemul de coordonate ales. De exemplu, un vector este un tensor simplu de primul rang. În trei dimensiuni, are trei componente. Valoarea acestor componente va depinde de sistemul de coordonate ales pentru a reprezenta vectorul, dar mărimea vectorului este o mărime fizică (scalară) și independentă de sistemul de coordonate cartezian. În mod similar, fiecare tensor de rangul doi (cum ar fi tensorii de tensiune și deformare) are asociate trei cantități invariante independente. Un set de astfel de invarianți este tensiunile principale ale tensorului de stres, care sunt valori proprii ale matricei tensorii de stres. Vectorii lor de direcție sunt direcții principale sau vectori proprii. $\sigma _{ij}\,\!$

Vectorul de stres paralel cu vectorul normal unitar : $\mathbf {n} \,\!$

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} \,\!

unde este constanta de proporționalitate, care în acest caz particular corespunde valorilor vectorilor tensiunilor normale sau tensiunilor principale. $\lambda \,\!$ $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$

Având în vedere că și , putem scrie: $T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}\,\!$ $n_{i}=\delta _{ij}n_{j}\,\!$

{\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\ sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\ \\end{aliniat}}\,\!

Este un sistem omogen, adică un sistem de trei ecuații liniare cu necunoscute egale cu zero. Pentru a obține o soluție netrivială (nenulă) pentru determinanți, matricea compusă din coeficienți trebuie să fie egală cu zero, adică sistemul trebuie să fie singular. În acest fel: $n_{j}\,\!$ $n_{j}\,\!$

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33 }-\lambda \\\end{vmatrix}}=0\,\!

Scrierea determinantului conduce la ecuația caracteristică :

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0\,\!

Unde

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}\\I_{2 }&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{ vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11 }&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{ 31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right )\\I_{3}&=\det(\sigma _{ij})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\ sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{ 31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}\,\!

Ecuația caracteristică are trei rădăcini reale , datorită simetriei tensorului tensiunii. , și sunt tensiunile principale în funcție de valorile proprii . Tensiunile principale sunt unice pentru un anumit tensor de tensiuni. Prin urmare, din ecuația caracteristică, coeficienții , și , numiți primul, al doilea și, respectiv, al treilea invariant ai tensorului tensiunii, au întotdeauna aceeași valoare indiferent de orientarea sistemului de coordonate. $\lambda _{i}\,\!$ $\sigma _{1}=max\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{3}=min\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}\,\!$ $\lambda _{i}\,\!$ $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

Pentru fiecare valoare proprie, există o soluție netrivială a sistemului de ecuații . Aceste solutii au semnificatia de directii principale sau vectori proprii care definesc planul in care actioneaza tensiunile principale. Tensiunile principale și direcțiile principale caracterizează tensiunea într-un punct și sunt independente de orientare. $n_{j}\,\!$ $\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0\,\!$

Într-un sistem de coordonate cu axe orientate de-a lungul direcțiilor principale, ceea ce înseamnă că tensiunile normale sunt tensiuni principale, tensorul tensiunii este reprezentat de o matrice diagonală de forma:

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

Invarianții tensorilor de stres , , și pot fi exprimați în termeni de tensiuni principale. În special, primul și al treilea invariant sunt urma și determinantul matricei tensorii de stres: $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\ sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2 }\sigma _{3}\\\end{aliniat}}\,\!

Datorită simplității sale, sistemul de coordonate asociat tensiunilor principale este adesea util atunci când se consideră starea unui mediu elastic într-un anumit punct. Tensiunile principale sunt adesea folosite în următoarea ecuație pentru a evalua tensiunile în direcțiile x și y sau tensiunile axiale și de încovoiere dintr-o piesă [17] . Tensiunile normale principale sunt apoi utilizate pentru a calcula tensiunile von Mises și în cele din urmă factorul de siguranță și factorul de siguranță.

\sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\ frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Folosind doar părți ale expresiei sub rădăcina pătrată, puteți obține forța de forfecare maximă (pentru plus) și minimă (pentru minus). Acesta este scris ca:

\tau _{max},\tau _{min}=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right )^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Tensiuni de forfecare maxime si minime

Tensiunea de forfecare maximă sau efortul de forfecare principal maxim este egal cu jumătate din diferența dintre cele mai mari și cele mai mici solicitări principale și acționează într-un plan care traversează unghiul dintre direcțiile celei mai mari și mai mici dintre tensiunile principale, adică forfecarea maximă. tensiunea este orientată la un unghi θ față de planurile principale ale tensiunii. Efortul maxim de forfecare este exprimat ca $45^{\circ }$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\mathrm {max} }-\sigma _{\mathrm {min} }\right |\,\!

Presupunând atunci: $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\,\!$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|\,\!

Componenta normală a tensiunii care acționează pe planul tensiunii maxime de forfecare nu este egală cu zero și este egală cu

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)\,\!$

Tensorul deviator al tensiunii

Tensorul de stres poate fi reprezentat ca doi tensori de stres: $\sigma _{ij}\,\!$

tensorul mediu de stres hidrostatic sau tensorul mediu normal de stres , care este asociat cu o modificare a volumului unui corp solicitat; precum și $\pi \delta _{ij}\,\!$
componentă deviator, numită tensor deviator al tensiunii , care este legată de distorsiunea primului. $s_{ij}\,\!$

Într-o formulare matematică

\sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,

unde este stresul mediu definit ca $\pi\,\!$

\pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3} }={\tfrac {1}{3}}I_{1}.\,

Presiunea ( ) este de obicei definită ca treimea negativă a urmei tensorului tensiunii minus orice efort care este contribuit de divergența vitezei, de exemplu. $p$

p=\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k)){\partial x_{k))}-\pi ,

unde este constanta de proporționalitate, este operatorul nabla , este coordonata carteziană k , este viteza și este componenta k a vitezei în coordonate carteziene. $\lambda$ $\nabla$ $x_k$ ${\vec {u}}$ $Regatul Unit}$ ${\vec {u}}$

Tensorul de stres deviatoric poate fi obținut prin scăderea tensorului de stres hidrostatic din tensorul de stres Cauchy:

{\begin{aligned}\ s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk)}{3)}\delta _{ij},\,\\\ stânga[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\\ \end{matrice}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\ sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrice}}\right]-\left[{ \begin{matrice}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \\\end{matrice}}\right]\\&=\left[{\begin{matrice}\sigma _{11}- \pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}& \sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \\\end{matrice}}\right].\\\end{aligned}}

Invarianții tensorilor deviatori ai tensiunii

Deoarece acesta este un tensor de rangul doi, tensorul deviator al tensiunii are, de asemenea, un set de invarianți care pot fi obținuți folosind aceeași procedură pe care am folosit-o pentru a calcula invarianții tensorilor tensiunii. Se poate arăta că direcțiile principale ale tensorului deviator al tensiunii coincid cu direcțiile principale ale tensorului tensiunii . Astfel, ecuația sa caracteristică are forma $s_{ij}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$

\left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{ 3}=0,\,

unde , și sunt primul, al doilea și, respectiv, al treilea invariant al tensorului deviator al tensiunii. Valorile lor sunt aceleași (fixe), indiferent de orientarea sistemului de coordonate selectat. Acești invarianți ai tensorului deviator al tensiunii sunt exprimați ca funcții ale componentelor sau ale valorilor sale principale , și , sau în mod similar, ca funcții sau ale valorilor sale principale , și . Intr-adevar $J_{1}\,\!$ $J_{2}\,\!$ $J_{3}\,\!$ $s_{ij}\,\!$ $s_{1}\,\!$ $s_{2}\,\!$ $s_{3}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\sigma _{1}\,\!$ $\sigma _{2}\,\!$ $\sigma _{3}\,\!$

{\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\,\\J_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ ji}\\&={\tfrac {1}{2}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})\\&={\ tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2} +(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{ 31}^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2} -\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{3}}I_ {1}^{2}-I_{2},\,\\J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\tfrac {1}{3}}s_{ij}s_ {jk}s_{ki}\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\tfrac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\tfrac { 1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}.\,\end{aligned}}

Deoarece , tensorul deviator al tensiunii corespunde stării de forfecare pură. $s_{kk}=0\,\!$

O cantitate numită stres echivalent sau stres von Mises este folosită în mod obișnuit în mecanica solidă. Este definit ca

\sigma _{\mathrm {e} }={\sqrt {3~J_{2)}}={\sqrt ({\tfrac {1}{2))~\left[(\sigma _{ 1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1}) ^{2}\dreapta]}}\,.

Tensiuni octaedrice

Considerând direcțiile principale drept axe de coordonate, un plan al cărui vector normal formează unghiuri egale cu fiecare dintre axele principale (adică are cosinusuri de direcție egale cu ) se numește plan octaedral . Există în total opt planuri octaedrice (Fig. 6). Componentele normale și de forfecare ale tensorului tensiunii de pe aceste plane se numesc tensiuni normale octaedrice și , respectiv, tensiuni de forfecare octaedrice . $|1/{\sqrt {3}}|\,\!$ $\sigma _{\mathrm {oct} }\,\!$ $\tau _{\mathrm {oct} }\,\!$

Deoarece tensorul tensiunii în punctul O (Fig. 6) din axele principale este egal cu

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

atunci vectorul de stres pe planul octaedric este dat de:

{\begin{aliniat}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _ {3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1} +\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}\,\!

Componenta normală a vectorului de stres în punctul O, asociată cu planul octaedric, este egală cu

{\begin{aliniat}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3 }\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{ 1}\end{aliniat}}\,\!

care se dovedește a fi egală cu solicitarea normală medie sau solicitarea hidrostatică. Această valoare este aceeași pentru toate cele opt plane octaedrice. Efortul de forfecare în planul octaedric este atunci egal cu

{\begin{aliniat}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{ \mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2} \right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _ {2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1 }{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aliniat} }\,\!

Modalități alternative de reprezentare a tensiunilor

Alte modalități utile de reprezentare a tensiunii includ primul și al doilea tensor de stres Piola-Kirchhoff, tensorul de stres Biot și tensorul de stres Kirchhoff.

Tensorul de stres Piola-Kirchhoff

În cazul deformațiilor finite , tensorii de tensiuni Piola-Kirchhoff exprimă tensiunea în raport cu o anumită configurație de referință. Acest lucru este în contrast cu tensorul de tensiuni Cauchy, care exprimă tensiunea relativă la configurația curentă. Pentru deformații și rotații infinitezimale, tensorii Cauchy și tensorul Piola-Kirchhoff sunt identici.

În timp ce tensorul de tensiuni Cauchy relaționează tensiunile din configurația curentă, gradientul de deformare și tensorii de deformare sunt descriși prin compararea mișcării unui corp cu o configurație de referință; astfel, nu toți tensorii care descriu starea materialului sunt în configurația de referință sau curentă. Descrierea tensiunilor, deformațiilor și deformațiilor într-o configurație de referință sau curentă ar simplifica definirea modelelor constitutive (de exemplu, tensorul de tensiuni Cauchy este o variantă de rotație pură, în timp ce tensorul de deformare este invariant; astfel, apar probleme în definirea unei tensiuni constitutive). model care relaționează un tensor în schimbare în termeni de a fi invariant sub rotație pură; deoarece, prin definiție, modelele constitutive trebuie să fie invariante în rotații pure). Primul tensor de tensiune Piola-Kirchhoff, una dintre posibilele soluții la această problemă. Acesta definește o familie de tensori care descriu configurația unui corp în starea sa curentă sau de referință. ${\boldsymbol {\sigma })$ ${\boldsymbol {P}}$

Primul tensor al tensiunii Piola-Kirchhoff raportează forțele din configurația curentă ("spațială") cu zonele din configurația de referință ("material"). ${\boldsymbol {P}}$

{\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~

unde este gradientul de deformare și este determinantul Jacobi . ${\boldsymbol {F}}$ $J=\det {\boldsymbol {F}}$

În ceea ce privește componentele în raport cu o bază ortonormală, primul tensor al tensiunii Piola-Kirchhoff este dat de

P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L)}{\partial x_{k}}}~\,\!

Deoarece leagă diferite sisteme de coordonate, primul tensor de stres Piola-Kirchhoff este un tensor în două puncte. În general, este simetric. Primul tensor al tensiunii Piola-Kirchhoff este o generalizare tridimensională a conceptului de stres ingineresc unidimensional.

Dacă mediul se rotește fără a modifica starea de stres (rotație rigidă), atunci componentele tensorului 1 al tensiunii Piola-Kirchhoff se vor schimba în funcție de orientarea mediului.

Al doilea tensor de stres Piola-Kirchhoff

În timp ce primul tensor de efort Piola-Kirchhoff raportează forțele din configurația curentă cu regiunile din configurația de referință, al 2-lea tensor de efort Piola-Kirchhoff raportează forțele din configurația de referință cu regiunile din configurația de referință. Forța din configurația de referință este calculată printr-o mapare care păstrează relația relativă dintre direcția forței și normala zonei din configurația de referință. ${\bold symbol {S}}$

{\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~ .

În notarea indexului cu privire la baza ortonormală

S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I)} {\partial x_{k))}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{m))}~\sigma _{km}\!\,\!

Acesta este un tensor simetric cu un punct.

Dacă mediul se rotește fără a modifica starea de solicitare (rotație rigidă), atunci componentele tensorului al 2-lea de tensiuni Piola-Kirchhoff rămân constante, indiferent de orientarea materialului.

Link -uri

↑ Gordon, JE Structures sau, De ce lucrurile nu cad. — 2. Da Capo Press. - Cambridge, MA : Da Capo Press, 2003. - ISBN 0306812835 .
↑ Marchetti, M.C. (2013). „Hidrodinamica materiei active moi”. Recenzii despre fizica modernă . 85 (3): 1143-1189. DOI : 10.1103/RevModPhys.85.1143 .
^ Sharma, B și Kumar, R „Estimarea vâscozității în vrac a gazelor diluate folosind o abordare a dinamicii moleculare neechilibrate”, Physical Review E ,100, 013309 (2019)
↑ 12 Mases _
↑ 1 2 3 4 Atanackovic
↑ Smith & Truesdell, 1993 , p. 97
↑ Macel
↑ 1 2 3 Chen & Han, 2007
↑ 123 Irgens _ _
↑ 1 2 3 Liu
↑ 12 Chadwick _
↑ Lubliner
↑ Truesdell & Topin, 1960
↑ Fung
↑ Basar
↑ Hjelmstad
↑ Hamrock
↑ Wu
↑ Chatterjee
↑ Jaeger
↑ Ameen, 2005
↑ Prager

Literatură

Amin, Mohammed. Elasticitatea computațională: teoria elasticității și metodele elementelor finite și limită . - Alpha Science Int'l Ltd., 2005. - P. 33–66. — ISBN 1-84265-201-X .
Atanackovic, Teodor M. Teoria elasticității pentru oameni de știință și ingineri . - Springer, 2000. - P. 1-46. — ISBN 0-8176-4072-X .
Bere, Ferdinand Pierre. Mecanica Materialelor . - McGraw-Hill Professional, 1992. - ISBN 0-07-112939-1 .
Brady, BHG Rock Mechanics for Underground Mining . - Al treilea. - Kluwer Academic Publisher, 1993. - P. 17–29. - ISBN 0-412-47550-2 .
Chadwick, Peter. Mecanica continuumului: teorie concisă și probleme . - 2. - Dover Publications, 1999. - P. 90-106. — ISBN 0-486-40180-4 .
Chakrabarty, J. Teoria plasticității . - 3. - Butterworth-Heinemann, 2006. - P. 17–32. - ISBN 0-7506-6638-2 .
Chatterjee, Rabindranath. Teoria matematică a mecanicii continuumului . - Alpha Science Int'l Ltd., 1999. - P. 111-157. — ISBN 81-7319-244-8 .
Chen, Wai-Fah. Plasticitate pentru ingineri structurali / Wai-Fah Chen, Da-Jian Han. - Editura J. Ross, 2007. - P. 46-71. — ISBN 1-932159-75-4 .
Chou, Pei Chi. Elasticitate: abordări tensorale, diadice și de inginerie . - Dover Publications, 1992. - P. 1–33. - ISBN 0-486-66958-0 .
Davis, R. O. Elasticitate și geomecanică . - Cambridge University Press, 1996. - P. 16-26. - ISBN 0-521-49827-9 .
Dieter, G.E. (3 ed.). (1989). Metalurgie mecanică . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8 .
Fung, Yuan-cheng. Mecanica solidă clasică și computațională . — World Scientific, 2001. — P. 66–96. - ISBN 981-02-4124-0 .
Hamrock, Bernard. Fundamentele elementelor mașinii . - McGraw-Hill, 2005. - P. 58–59. — ISBN 0-07-297682-9 .
Hjelmstad, Keith D. Fundamentele mecanicii structurale . - 2. - Springer, 2005. - P. 103-130. — ISBN 0-387-23330-X .
Holtz, Robert D. O introducere în ingineria geotehnică . - Prentice-Hall, 1981. - ISBN 0-13-484394-0 .
Irgens, Fridtjov. Mecanica continuumului . — Springer, 2008. — P. 42–81. — ISBN 3-540-74297-2 .
Jaeger, John Conrad. Fundamentele mecanicii rocilor . - Al patrulea. - Wiley-Blackwell, 2007. - P. 9–41. — ISBN 0-632-05759-9 .
Jones, Robert Millard. Teoria deformării plasticității . - Bull Ridge Corporation, 2008. - P. 95–112. - ISBN 0-9787223-1-0 .
Jumikis, Alfreds R. Mecanica teoretică a solului: cu aplicații practice la mecanica solului și ingineria fundațiilor . - Van Nostrand Reinhold Co., 1969. - ISBN 0-442-04199-3 .
Landau, LD și EMLifshitz. (1959). Teoria Elasticității .
Dragoste, A.E.H. (4 ed.). (1944). Tratat de Teoria Matematică a Elasticității . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9 .
Liu, I-Shih. Mecanica continuumului . - Springer, 2002. - P. 41-50. — ISBN 3-540-43019-9 .
Lubliner, Iacob. Teoria plasticității (ediție revizuită) . - Dover Publications, 2008. - ISBN 0-486-46290-0 . Arhivatla 31 martie 2010 laWayback Machine
Mase, George E. Mecanica continuului . - McGraw-Hill, 1970. - P. 44-76. — ISBN 0-07-040663-4 .
Mase, G. Thomas. Mecanica continuă pentru ingineri . - Al doilea. - CRC Press, 1999. - P. 47-102. — ISBN 0-8493-1855-6 .
Marsden, JE Fundamentele matematice ale elasticității . - Dover Publications, 1994. - P. 132-142. — ISBN 0-486-67865-2 .
Parry, Richard Hawley Grey. Cercuri Mohr, căi de stres și geotehnică . - 2. - Taylor & Francis, 2004. - P. 1–30. - ISBN 0-415-27297-1 .
Prager, William. Introducere în mecanica continue . - Dover Publications, 2004. - P. 43-61. — ISBN 0-486-43809-0 .
Rees, David. Plasticitatea de bază a ingineriei - O introducere în aplicațiile de inginerie și producție . — Butterworth-Heinemann, 2006. — P. 1–32. — ISBN 0-7506-8025-3 .
Smith, Donald Ray. O introducere în mecanica continuumului - după Truesdell și Noll . - Springer, 1993. - ISBN 0-7923-2454-4 .
Timoshenko , Stephen P. Teoria elasticității. - Al treilea. - McGraw-Hill International Editions, 1970. - ISBN 0-07-085805-5 .
Timoshenko, Stephen P. Istoria rezistenței materialelor: cu o scurtă prezentare a istoriei teoriei elasticității și a teoriei structurilor. - Dover Publications, 1983. - ISBN 0-486-61187-6 .
Wu, Han-Chin. Mecanica continuumului și plasticitatea . — CRC Press, 2005. — P. 45–78. — ISBN 1-58488-363-4 .
C. Truesdell și R.A. Topin. Teorii clasice ale câmpului // Enciclopedia fizicii. - Berlin : Springer-Verlag, 1960. - Vol. III/I.