Funcție diferențiabilă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 4 februarie 2021; verificările necesită 2 modificări .

O funcție diferențiabilă (la un punct) este o funcție care are o diferențială (la un punct dat). O funcție diferențiabilă pe o mulțime este o funcție diferențiabilă în fiecare punct al mulțimii date. Diferențiabilitatea este unul dintre conceptele fundamentale din matematică și are un număr semnificativ de aplicații atât în matematică în sine, cât și în alte științe ale naturii.

Creșterea unei funcții diferențiabile într-un punct dat poate fi reprezentată ca o funcție liniară a creșterii argumentului până la valori de un ordin mai mare de micime. Aceasta înseamnă că pentru vecinătăți suficient de mici ale unui punct dat, funcția poate fi înlocuită cu una liniară (rata de modificare a funcției poate fi considerată neschimbată). Partea liniară a incrementului unei funcții se numește diferența sa (la un punct dat).

O condiție necesară, dar nu suficientă pentru diferențiere este continuitatea funcției . În cazul unei funcții a unei variabile reale, diferențiabilitatea este echivalentă cu existența unei derivate . În cazul unei funcții de mai multe variabile reale, o condiție necesară (dar nu suficientă) pentru diferențiere este existența derivatelor parțiale față de toate variabilele. Pentru ca o funcție a mai multor variabile să fie diferențiabilă într-un punct, este suficient ca derivatele parțiale să existe într-o anumită vecinătate a punctului în cauză și să fie continue în punctul dat. [unu]

În cazul unei funcții a unei variabile complexe, diferențiabilitatea într-un punct este adesea numită monogeneitate și diferă semnificativ de conceptul de diferențiere în cazul real. Rolul cheie în acest sens este jucat de așa-numita condiție Cauchy-Riemann . O funcție care este monogenă într-o vecinătate a unui punct se numește holomorfă în acel punct. [2] [3]

În analiza funcțională , există o generalizare a conceptului de diferențiere în cazul mapărilor spațiilor infinit-dimensionale - derivate ale lui Gateau și Fréchet .

O generalizare a conceptului de funcție diferențiabilă este conceptul de funcții subdiferențiabile , supradiferențiabile și cvasidiferențiabile .

Funcții cu o singură variabilă

O funcție a unei variabile este diferențiabilă într-un punct din domeniul său dacă există o constantă astfel încât $f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ $x_{0}$ $M$ $A$

f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}),\\quad x\to x_{0},

în timp ce numărul este inevitabil egal cu derivata $A$

a=f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{ 0}}}.

O funcție a unei variabile este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă are o derivată finită în acel punct. $x_{0}$

Graficul unei funcții este o curbă într-un plan , în timp ce graficul unei funcții liniare $y=f(x)$ $Oxy$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

livrează o tangentă la această curbă trasată în punctul . $x_{0}$

De exemplu, o funcție este definită și diferențiabilă în orice punct real, deoarece poate fi reprezentată ca $f(x) = x^2$

f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2)

În același timp, derivata sa este , iar ecuația dreptei tangente trasate în punct are forma: . $f'(x_{0})=2x_{0}$ $x_{0}$ $y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})$

Funcțiile elementare pot fi continue la un moment dat, dar nu pot fi diferențiate. De exemplu, o funcție este continuă pe toată axa reală, dar derivata ei experimentează un salt atunci când trece printr-un punct în care această funcție nu este diferențiabilă. În acest moment, este imposibil să desenați o tangentă la graficul funcției. Funcția este, de asemenea, continuă pe toată axa reală, iar graficul său are tangente în toate punctele, cu toate acestea, tangenta desenată în punct este o linie verticală și, prin urmare, derivata funcției este infinit de mare în punctul , iar funcția în sine este nu pot fi diferențiate în acest moment. $f(x)=|x|$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$

Graficele funcțiilor elementare învață că o funcție arbitrară este diferențiabilă peste tot, cu excepția valorilor excepționale și izolate ale argumentului. Prima încercare de demonstrare analitică a acestei afirmații se datorează lui Ampère [4] , și de aceea se numește conjectura Ampère. Această afirmație, totuși, nu este adevărată în clasa funcțiilor reprezentabile analitic, de exemplu, funcția Dirichlet nu este nici măcar continuă în niciun punct [5] . De asemenea, este imposibil să se considere o funcție continuă arbitrară diferențiabilă, de exemplu, funcția Weierstrass este definită și continuă pe toată axa reală, dar nu este diferențiabilă în niciunul dintre punctele sale [6] . În special, aceasta înseamnă că este imposibil să trasezi o linie tangentă la graficul său în orice punct. Cu toate acestea, conjectura lui Ampere poate fi considerată ca o formulare nestrictă a următoarei teoreme a lui Lebesgue : orice funcție monotonă are peste tot o anumită derivată finită, cu excepția, poate, a unui set de valori de măsura zero. [7] $f(x)$ $X$

Funcțiile mai multor variabile

O funcție de variabile este diferențiabilă într-un punct din domeniul său dacă există constante astfel încât pentru orice punct $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R}$ $x=(x^{1},\ldots,x^{n})$ $x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})$ $M$ $a=(a^{1},\ldots,a^{n})$ $x=(x^{1},\ldots,x^{n})\in M$

f(x)=f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+ o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},

unde . $\|x-x_{0}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}$

În această intrare, funcția

$A(x-x_{0})=\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})$

este diferența funcției în punctul , iar numerele sunt derivatele parțiale ale funcției în punctul , i.e. $f(x)$ $x_{0}$ $a^{1},\ldots,a^{n)$ $f(x)$ $x_{0}$

a^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i)}}(x_{0})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f (x_{0}+el_{i})-f(x_{0})}{h}},

unde este un vector, ale cărui toate componentele, cu excepția celui --lea, sunt egale cu zero, iar --a componentă este egală cu 1. $e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ $i$ $i$

Fiecare funcție care este diferențiabilă într-un punct are toate derivatele parțiale în acel punct, dar nu orice funcție care are toate derivatele parțiale este diferențiabilă. Mai mult, existența derivatelor parțiale la un moment dat nici măcar nu garantează continuitatea funcției la acel moment. Ca un astfel de exemplu, putem considera o funcție a două variabile egale cu for și for . La origine, există ambele derivate parțiale (egale cu zero), dar funcția nu este continuă. $f(x,y)$ $0$ $xy=0$ $unu$ $xy\neq 0$

Această împrejurare ar putea deveni un obstacol serios în calea întregului calcul diferențial al funcțiilor mai multor variabile, dacă nu ar fi clar că continuitatea derivatelor parțiale într-un punct este suficientă pentru ca funcția să fie diferențiabilă în acest punct. [unu]

Exemple de tipuri de puncte în care funcția este nediferențiabilă

Funcția va fi nediferențiabilă în punctul , de exemplu, în următoarele cazuri: $f(x)$ $x_{0}$

Un punct este un punct de discontinuitate , de exemplu, funcția signum este nediferențiabilă la zero. $x_{0}$

Funcția are un punct de colț la , de exemplu, funcția este nediferențiabilă la zero. $x_{0}$ $|x|$

Funcția are o tangentă verticală, adică , de exemplu, este nediferențiabilă la zero. $\lim _{x\to x_{0}}f^{'}\left(x\right)=\pm \infty$ ${\sqrt[ {3}]{x}}$

Funcția se accentuează la , de exemplu, este nediferențiabilă la zero. $x_{0}$ $x^{\frac {2}{3}}$

Cu toate acestea, aceste cazuri nu epuizează toate situațiile în care funcția este nediferențiabilă. Deci, de exemplu, funcția nu aparține niciunui dintre aceste cazuri, dar este totuși nediferențiabilă la zero. $x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Afișează

Se spune că o mapare este diferențiabilă într-un punct din domeniul său de definiție dacă există o mapare liniară în funcție de punct, astfel încât $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m)$ $x_{0}$ $M$ $A\colon \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m)$ $x_{0}$

f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\\quad x\to x_{0} ,

adică prin extinderea caracterului „o” mic dacă

\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\ |x-x_{0}\|}}=0

Maparea liniară este diferenţialul mapării într-un punct . $A\colon \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m)$ $f(x)$ $x_{0}$

Dacă maparea este dată de un set de funcţii $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m)$

f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R},\\quad i=1,\ldots,m,

atunci diferențiabilitatea sa într-un punct este echivalentă cu diferențiabilitatea tuturor funcțiilor la un punct dat, iar matricea diferențialei sale este matricea Jacobi compusă din derivatele parțiale ale acestor funcții în punctul . $x_{0}$ $A$ $x_{0}$

Vezi și

Exemplul lui Pompei este un exemplu de funcție diferențiabilă a cărei derivată dispare pe o mulțime densă. În special, derivata unei astfel de funcții este discontinuă în orice punct în care nu este egală cu 0.

Note

↑ 1 2 Zorich V. A., Analiza matematică - Orice ediție, volumul 1 capitolul VIII.
↑ Bitsadze A. V. Fundamentele teoriei funcțiilor analitice ale unei variabile complexe - M., Nauka, 1969.
↑ Shabat B.V., Introducere în analiza complexă - M., Nauka, 1969.
↑ Ampère, AM // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. P. 1-3.
↑ Weierstrass K. Werke. bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
↑ Fig. F., S.-Nagy B. Prelegeri de analiză funcţională. M.: Mir, 1979. S. 15.

Courant R. Curs de calcul diferenţial şi integral. - M. - L. : GNTI, 1931. - T. 2. - S. 60-69.
Zorich V. A. Analiză matematică. - M . : Fazis, 1997. - T. 1.