Paradoxul litoralului

Paradoxul litoralului este o observație controversată în științele geografice, legată de incapacitatea de a determina cu exactitate lungimea liniei de coastă datorită proprietăților sale asemănătoare fractale. Prima descriere documentată a acestui fenomen a fost făcută de Lewis Richardson [1] ; mai târziu a fost extins de Benoit Mandelbrot [2] .

Lungimea liniei de coastă depinde de modul în care este măsurată. Deoarece curbe de orice dimensiune pot fi distinse pentru o suprafață de teren, de la sute de kilometri la fracțiuni de milimetru sau mai puțin, este imposibil să alegeți dimensiunea celui mai mic element care ar trebui luat pentru măsurare într-un mod evident. Prin urmare, este imposibil să se determine fără ambiguitate perimetrul acestei secțiuni. Există diverse aproximări matematice pentru rezolvarea acestei probleme.

Istoria dezvoltării paradoxului

Cu puțin înainte de 1951, Lewis Fry Richardson , în cursul studierii presupusei influențe a lungimii frontierelor de stat asupra probabilității izbucnirii conflictelor militare, a remarcat următoarele: Portugalia a declarat că granița sa terestră cu Spania era de 987 km, iar Spania a definit-o ca 1.214 km. Acest fapt a servit ca punct de plecare pentru studierea problemei litoralului [3] .

Metoda principală de estimare a lungimii unei granițe sau a unei linii de coastă a fost suprapunerea N segmente egale de lungime l pe o hartă sau o fotografie aeriană folosind o busolă. Fiecare capăt al segmentului trebuie să aparțină graniței măsurate. Explorând discrepanțe în estimările legate, Richardson a descoperit ceea ce se numește acum efectul Richardson : scara măsurătorilor este invers proporțională cu lungimea totală a tuturor segmentelor. Adică, cu cât rigla folosită este mai scurtă, cu atât chenarul măsurat este mai lung. Astfel, geografii spanioli și portughezi au fost pur și simplu ghidați de măsurători de diferite scări.

Cel mai frapant lucru pentru Richardson a fost că atunci când valoarea lui l ajunge la zero, lungimea coastei ajunge la infinit. Inițial, Richardson credea, pe baza geometriei euclidiene, că această lungime va atinge o valoare fixă, așa cum se întâmplă în cazul figurilor geometrice obișnuite. De exemplu, perimetrul unui poligon regulat înscris într-un cerc se apropie de lungimea cercului însuși pe măsură ce numărul de laturi crește (și lungimea fiecărei laturi scade). În teoria măsurătorilor geometrice, o curbă netedă precum un cerc, care poate fi reprezentată aproximativ ca segmente mici cu o limită dată, se numește curbă rectificabilă.

La mai bine de zece ani după ce Richardson și-a terminat munca, Mandelbrot a dezvoltat o nouă ramură a matematicii - geometria fractală - pentru a descrie astfel de complexe nerectificabile care există în natură, cum ar fi o coastă nesfârșită [4] . Definiția sa a unui fractal ca bază a cercetării sale este [5] :

Am inventat cuvântul fractal pe baza adjectivul latin fractus . Verbul latin corespondent frangere înseamnă a rupe : a crea fragmente neregulate. Prin urmare, este rezonabil ca, pe lângă „fragmentar”, fractus să însemne și „neregulat”.

Proprietatea cheie a fractalilor este auto-asemănarea , care constă în manifestarea aceleiași figuri generale la orice scară. Linia de coastă este percepută ca o alternanță de golfuri și cape. Ipotetic, dacă o anumită linie de coastă are proprietatea auto-asemănării, atunci indiferent cât de mult ar fi scalată una sau alta parte, apare în continuare un model similar de golfuri și cape mai mici, suprapus peste golfuri și cape mai mari, până la grăunte de nisip. La astfel de scări, linia de coastă pare a fi un fir care se schimbă instantaneu, potențial infinit, cu un aranjament stocastic de golfuri și promontori. În asemenea condiții (spre deosebire de curbele netede), Mandelbrot afirmă: „Lungimea liniei de coastă se dovedește a fi un concept de neatins, alunecând între degetele celor care încearcă să-l înțeleagă” [4] .

Interpretare matematică

Conceptul de lungime provine de la distanța euclidiană . În geometria euclidiană, o linie dreaptă este cea mai scurtă distanță dintre două puncte. O linie geodezică de pe suprafața unei sfere, numită cerc mare , este măsurată de-a lungul unei curbe care se află în planul care conține punctele de capăt ale traseului și centrul sferei. Lungimea curbei este mai dificil de calculat. Când folosiți o riglă, lungimea curbei poate fi calculată aproximativ prin însumarea lungimilor segmentelor de linie care leagă punctele:

Utilizarea segmentelor din ce în ce mai scurte va da o valoare din ce în ce mai precisă, apropiindu-se de valoarea reală a lungimii arcului. O astfel de valoare exactă pentru distanțe infinitezimale poate fi calculată folosind calcul . Următoarea animație arată cât de netedă poate fi o astfel de curbă cu lungimea exactă:

Cu toate acestea, nu toate curbele pot fi măsurate în acest mod. Un fractal are o complexitate diferită în funcție de scară, astfel încât valorile măsurate ale lungimii fractalului se pot schimba în mod imprevizibil.

Lungimea „fractalului adevărat” tinde întotdeauna spre infinit, la fel cum lungimile curbelor infinit de mici ale liniei de coastă se adună la infinit [6] . Dar această afirmație se bazează pe presupunerea că spațiul este nelimitat, ceea ce, la rândul său, reflectă cu greu conceptul real de spațiu și distanță la nivel atomic . Cea mai mică unitate de lungime din univers este lungimea Planck , care este mult mai mică decât dimensiunea unui atom.

O linie de coastă cu proprietatea de auto-similaritate este inclusă în „prima categorie de fractali, și anume, este o curbă cu o dimensiune fractală mai mare de 1”. Această ultimă afirmație este extensia lui Mandelbrot a gândirii lui Richardson. Mandelbrot formulează efectul Richardson [7] după cum urmează:

unde lungimea liniei de coastă L este o funcție a unității ε și este aproximată prin expresia din partea dreaptă. F este o constantă, D este parametrul Richardson, care depinde de linia de coastă în sine (Richardson nu a dat o explicație teoretică pentru această valoare, dar Mandelbrot a definit D ca o formă neîntregătoare a dimensiunii Hausdorff , mai târziu o dimensiune fractală. În cu alte cuvinte, D este o valoare măsurată practic a „rugozității” ). Rearanjand partea dreaptă a expresiei, obținem:

unde Fε -D ar trebui să fie numărul de unități de ε necesare pentru a obține L. Dimensiunea fractală este numărul de dimensiuni ale obiectului folosit pentru a aproxima fractalul: 0 pentru un punct, 1 pentru o linie, 2 pentru figurile suprafeței. Deoarece linia întreruptă care măsoară lungimea coastei nu se extinde într-o direcție și în același timp nu reprezintă o zonă, valoarea lui D în expresie este intermediară între 1 și 2 (de obicei mai mică de 1,5 pentru coastă) . Poate fi interpretat ca o linie groasă sau o dungă de 2ε lățime. Mai multe coaste „fărâmate” au o valoare mai mare a lui D și astfel L se dovedește a fi mai lung pentru același ε. Mandelbrot a arătat că D nu depinde de ε.

În general, liniile de coastă diferă de fractalii matematici deoarece sunt formați folosind numeroase detalii mici care creează modele doar statistic [8] .

Paradoxul în practică

Din motive practice, dimensiunea minimă a pieselor este aleasă să fie egală cu ordinea unităților de măsură. Deci, dacă linia de coastă este măsurată în kilometri, atunci micile modificări ale liniilor, mult mai puțin de un kilometru, pur și simplu nu sunt luate în considerare. Pentru a măsura linia de coastă în centimetri, trebuie luate în considerare toate variațiile mici ale dimensiunii de aproximativ un centimetru. Cu toate acestea, la scări de ordinul centimetrilor, trebuie făcute diverse ipoteze arbitrare non-fractale, cum ar fi locul unde un estuar se unește cu marea sau unde măsurătorile trebuie făcute la wați largi . În plus, utilizarea diferitelor metode de măsurare pentru diferite unități de măsură nu vă permite să convertiți aceste unități folosind o simplă înmulțire.

Pentru a determina apele teritoriale de stat, se construiesc așa-numitele linii de bază drepte , care leagă punctele de coastă stabilite oficial. Lungimea unei astfel de linii de coastă oficiale nu este, de asemenea, greu de măsurat.

Cazurile extreme ale paradoxului litoralului includ coastele cu un număr mare de fiorduri : coastele Norvegiei , Chile , coasta de nord-vest a Americii de Nord și altele. De la vârful sudic al insulei Vancouver în direcția nordică până la vârful sudic al sud-estului Alaska, curbele coastei provinciei canadiane British Columbia alcătuiesc mai mult de 10% din lungimea litoralului canadian (inclusiv toate insulele din Canada). arhipelagul arctic canadian ) - 25.725 km din 243.042 km la distanță liniară, egală cu doar 965 km [9] .

Vezi și

• dimensiune fractală
• Paradoxul mormanului
• Aporia Zeno
• Disputa la granița cu Alaska
• Cât de lungă este coasta Marii Britanii? »

Note

1. ^ Weisstein , Eric W. Coastline Paradox  pe site- ul Wolfram MathWorld .
2. ↑ Mandelbrot, Benoit M. The Fractal Geometry of Nature. - W.H. Freeman and Co., 1983. - P. 25-33. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
3. ↑ Ashford, Oliver M. , Charnock, H. , Drazin, PG , Hunt, JCR Fractals // The Collected Papers of Lewis Fry Richardson / ed. Ashford, Oliver M. - Cambridge University Press, 1993. - Vol. 1, „Meteorologie și analiză numerică” . - P. 45-46. — 1016 p. - ISBN 0-521-38297-1 .
4. ↑ 1 2 Mandelbrot (1983), p. 28.
5. ↑ Mandelbrot (1983), p. unu.
6. ↑ Post & Eisen, p. 550.
7. ↑ Mandelbrot (1983), p. 29-31.
8. ↑ Peitgen, H.-O. , Jürgens, H. , Saupe, D. Forme neregulate: aleatoriu în construcții fractale // Chaos and Fractals: New Frontiers of Science . - Ed. a II-a. - Springer, 2004. - P. 424. - ISBN 0-387-21823-8 .
9. ↑ Sebert, LM și MR Munro. 1972. Dimensiunile și ariile hărților sistemului topografic național al Canadei. Raport tehnic 72-1. Ottawa, Ont: Surveys and Mapping Branch, Departamentul de Energie, Mine și Resurse.

Lectură suplimentară

• Michael Frame, Benoit Mandelbrot și Nial Neger. Coastlines  (engleză) . fractali . yale.edu. Data accesului: 13 februarie 2016.
• II.5 Cât de lungă este coasta Marii Britanii? // Geometria fractală a naturii. - Macmillan, 1983. - P. 25-33. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
• De câtă lungime ai nevoie cu adevărat? Ahhh, lungimea litoralului asta este!  (engleză) . Blog NOAA GeoZone pe Coasta Digitală . geozoneblog.wordpress.com (26 martie 2012). Data accesului: 13 februarie 2016.