Parametrizare Weierstrass-Enneper

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 februarie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Parametrizarea Weierstrass-Enneper a suprafețelor minime este o ramură clasică a geometriei diferențiale .

Alfred Enneper și Karl Weierstrass au studiat suprafețele minime încă din 1863 .

Parametrizare

Fie și fi funcții pe întregul plan complex sau pe discul unității, unde este meromorf și este analitic , astfel încât are un pol de ordin , are ordinul zero (sau, echivalent, astfel încât produsul să fie o funcție holomorfă ), și fie constante. Atunci suprafața cu coordonatele este minimă, unde este definită ca parte reală a integralei complexe : $f$ $g$ $g$ $f$ $g$ $m$ $f$ $2m$ $fg^{2)$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3))$ $(x_1,x_2,x_3)$ $x_k$

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta)&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz \right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2 }&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

Reversul este de asemenea adevărat - orice suprafață minimă neplană definită pe un domeniu conectat poate fi parametrizată în acest fel [1] .

De exemplu, suprafața Enneper are o parametrizare . $f(z)=1,g(z)=z^{m)$

Suprafața parametrică a variabilelor complexe

Modelul Weierstrass-Enneper definește suprafața minimă ( ) pe planul complex ( ). Fie (planul complex ca spațiu ), matricea iacobiană a suprafeței poate fi scrisă ca o coloană cu intrări complexe: $X$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\omega =u+vi$ $UV$

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega)\right)f(\omega)\\i\left(1+g^{2} (\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}

Aici și sunt funcții holomorfe ale . $f(\omega)$ $g(\omega )$ $\omega$

Jacobianul reprezintă două tangente ortogonale la suprafața vectorială [2] : ${\mathbf {J}}$

\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\ \operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \ mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}

Normala la suprafata este data de

\mathbf {\hat {n)} = {\frac {\mathbf {X_{u)} \times \mathbf {X_{v)} }{|\mathbf {X_{u)} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g \\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}

Jacobianul conduce la o serie de proprietăți importante: , , , ${\mathbf {J}}$ $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$ $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{v)} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0.$

Dovada poate fi găsită în lucrarea lui Sharma: Reprezentarea Weierstrass dă întotdeauna o suprafață minimă [3] . Derivatele pot fi folosite pentru a construi o matrice de prima formă pătratică :

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}= {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

și matrice de a doua formă pătratică

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n } )) \\\mathbf {X_{vu)) \cdot \mathbf {\hat {n)) &\;\;\mathbf {X_{vv)) \cdot \mathbf {\hat {n)) \end { bmatrix}}

În cele din urmă, un punct din planul complex este mapat la un punct de pe suprafața minimă în $\omega _{t)$ $\mathbf {X}$ $\mathbb {R} ^{3}$

\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d \omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}

unde pentru toate suprafețele minime cu excepția suprafeței minime Costa , unde . $\omega _{0}=0$ $\omega _{0}=(1+i)/2$

Suprafețe minime imbricate și exemple

Exemplele clasice de suprafețe minime imbricate cu topologie finită includ planul, catenoidul , elicoidul și suprafața minimă a lui Costa . Suprafața Costa implică funcția eliptică Weierstrass [4] : $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle\wp}$

g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )))

f(\omega )=\wp (\omega )

unde este o constantă [5] . $A$

Helicatenoid

Alegând funcțiile și , obținem o familie de suprafețe minime. $f(\omega)=e^{-i\alpha}e^{\omega /A}$ $g(\omega)=e^{-\omega /A}$

$\varphi _{1}=e^{-i\alpha}\sinh \left({\frac {\omega}}{A))\right)$

$\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega}}{A))\right)$

$\varphi _{3}=e^{-i\alpha }$

$\mathbf {X} (\omega)=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha}A\cosh \left({\frac {\omega}}{A))\ dreapta)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A))\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix }}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ) {\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A))\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega) )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname { Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}$

Să alegem parametrii de suprafață : $\omega =s+i(A\phi)$

$\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left (\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+ \sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({ \frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$

În punctele extreme, suprafața este un catenoid sau elicoid . În caz contrar , reprezintă unghiul de aliniere. Suprafața rezultată, atunci când alegeți domeniul de definiție pentru a evita auto-intersecțiile, este un lanț care se rotește în jurul axei într-o spirală. $(\alpha =0)$ $(\alpha =\pi /2)$ $\alfa$ $\mathbf {X} _{3)$

Liniile de curbură

Se poate rescrie fiecare element al celei de-a doua matrice fundamentale ca funcții ale și , de exemplu $f$ $g$

\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname { Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right )\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\ operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')

Prin urmare, a doua formă fundamentală poate fi simplificată

{\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg' \end{bmatrix}}

Unul dintre vectorii proprii matrici este

{\overline {\sqrt {fg')))

și reprezintă direcția principală în zona complexă [6] . Prin urmare, cele două direcții principale în spațiu sunt $UV$

\phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2

Vezi și

Familie asociată
Suprafața lui Bryant , există o parametrizare similară în spațiul hiperbolic

Note

↑ Dierkes, Hildebrandt, Küster, Wohlrab, 1992 , p. 108.
↑ Andersson, Hyde, Larsson, Lidin, 1988 , p. 221–242.
↑ Sharma, 2012 .
↑ Lawden, 2011 .
↑ Abbena, Salamon, Gray, 2006 , p. 719–766.
↑ Hua, Jia, 2018 , p. 985–995.

Literatură

Dierkes U., Hildebrandt S., Küster A., Wohlrab O. Suprafețe minime. - Springer, 1992. - T. I. - ISBN 3-540-53169-6 .
Andersson S., Hyde ST, Larsson K., Lidin S. Suprafețe și structuri minime: de la cristale anorganice și metalice la membrane celulare și biopolimeri // Chem. Rev .. - 1988. - T. 88 , nr. 1 . - doi : 10.1021/cr00083a011 .
Sharma R. Reprezentarea Weierstrass oferă întotdeauna o suprafață minimă. — 2012.
Lawden D.F. Funcții și aplicații eliptice. - Berlin: Springer, 2011. - T. 80. - (Științe matematice aplicate). - ISBN 978-1-4419-3090-3 .
Abbena E., Salamon S., Gray A. Minimal Surfaces via Complex Variables // Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. - Boca Raton: CRC Press, 2006. - ISBN 1-58488-448-7 .
Hua H., Jia T. Tăierea cu sârmă a suprafețelor minime pe două fețe // The Visual Computer. - 2018. - T. 34 , nr. 6–8 . - doi : 10.1007/s00371-018-1548-0 .

Suprafețe minime
Familie asociată Bura Catalana catenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Elicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Șaua stâlpului Sherka De trei ori periodic Giroida Lidinoid Neovius Schwartz