Suprafata Sherk

Suprafața Scherk (numită după Heinrich Scherk) este un exemplu de suprafață minimă . Sherk a descris două suprafețe minime complete imbricate în 1834 [1] . Prima sa suprafață este o suprafață dublu periodică, iar a doua suprafață este pur și simplu periodică. Au fost al treilea exemplu non-trivial de suprafețe minime (primele două sunt catenoide și elicoide ) [2] . Cele două suprafețe sunt conectate între ele.

Suprafețele Scherk apar în studiul anumitor probleme de suprafață minimă și în studiul difeomorfismelor armonice ale unui spațiu hiperbolic .

Prima suprafață a lui Sherk

Prima suprafață Scherk tinde asimptotic către două familii infinite de plane paralele ortogonale între ele. Suprafețele formează, în apropiere de z = 0, arcade de poduri într-un model de șah. Suprafața conține un număr infinit de linii verticale drepte.

Construcția unei simple suprafețe Sherk

Luați în considerare următoarea suprafață minimă pe un pătrat din planul euclidian: pentru un număr natural n , găsiți suprafața minimă ca grafic al unei funcții $\Sigma _{n}$

u_{n}:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2)}\right)\times \left(-{\tfrac {\ pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\dreapta)\la \mathbb {R}

asa de

\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n

pentru

-{\tfrac {\pi }{2}}<x<+{\tfrac {\pi }{2)),

\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n

pentru

-{\tfrac {\pi }{2}}<y<+{\tfrac {\pi }{2}}.

Adică, u n satisface ecuația suprafeței minime

\mathrm {div} \left({\tfrac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2} }}}\dreapta)\equiv 0

și

\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right.\right\}.

Ce se va întâmpla cu suprafața când n tinde spre infinit? Răspunsul a fost dat de H. Sherk în 1834: suprafața limită este graficul funcției $\Sigma$

u:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2)}\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{} 2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\dreapta)\la \mathbb {R} ,

u(x,y)=\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right).

Adică, suprafața Scherk peste pătrat este

\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\tfrac {\cos(x)}}\cos(y)))\right)\right)\ în \mathbb {R} ^{3}\right|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right\}.

Suprafețe Scherk mai generale

Putem lua în considerare probleme similare cu suprafețe minime pe alte patrulatere din planul euclidian. Se poate considera aceeași problemă și pe patrulaterele din planul hiperbolic . În 2006, Harold Rosenberg și Pascal Collin au folosit suprafețele hiperbolice ale lui Scherk pentru a construi un difereomorfism armonic de la planul complex la planul hiperbolic (un disc unitar cu o metrică hiperbolică), infirmând astfel conjectura Schön-Yau .

A doua suprafață a lui Sherk

A doua suprafață Scherk arată la nivel global ca două plane ortogonale, a căror intersecție constă dintr-o succesiune de tuneluri în direcții alternative. Intersecția lor cu planurile orizontale constă în hiperbole alternante.

Suprafața este dată de ecuația:

\sin(z)-\mathrm {sh} \,(x)\mathrm {sh} \,(y)=0

Suprafața are o parametrizare Weierstrass - Enneper și poate fi parametrizată ca [3] : $f(z)={\tfrac {4}{1-z^{4)})$ $g(z)=iz$

x(r,\theta)=2\Re (\ln(1+re^{i\theta})-\ln(1-re^{i\theta}))=\ln \left({ \tfrac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)

y(r,\theta)=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta}))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}- 2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)

z(r,\theta)=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i \theta }))=2\tan ^{-1}\left({\tfrac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)

pentru și . Aceasta oferă o perioadă a suprafeței, care poate fi extinsă în direcția z prin simetrie. $\theta \in [0,2\pi )$ $r\in(0,1)$

Suprafața a fost generalizată de H. Karcher într-o familie de șei de stâlp suprafețe minime periodice.

În literatură, această suprafață este numită în mod eronat a cincea suprafață Sherk [4] [5] . Pentru a evita confuzia, este util să ne referim la suprafață ca suprafața Sherk a unei perioade sau ca turnul Sherk.

Note

↑ Scherk, 1835 , p. 185–208.
↑ Heinrich Scherk (1798 - 1885) - Biografie - MacTutor History of Mathematics . Preluat la 16 iulie 2020. Arhivat din original la 3 noiembrie 2019. (nedefinit)
↑ Weisstein, 2002 .
↑ Kapuoleas, 2001 , p. 499.
↑ Hoffman, Meeks, 1990 .

Literatură

Scherk HF Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1835. - T. 13 .
Nikolaos Kapuoleas. Construcții de suprafețe minime prin lipirea imersiilor minime // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, 25 iunie-27 iulie. - 2001.
David Hoffman, William H. Meeks. Limitele suprafețelor minime și a cincea suprafață a lui Scherk // Arhivă pentru mecanică rațională și analiză. - 1990. - T. 111.
Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics // Ed. a II-a - CRC press, 2002.

Link -uri

Sabitov, I. Kh. (2001), Scherk_surface , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Prima suprafață a lui Scherk în geometria MSRI [1]
A doua suprafață a lui Scherk în geometria MSRI [2]
Suprafețele minime ale lui Scherk în Mathworld [3] Arhivat 21 februarie 2020 la Wayback Machine

Suprafețe minime
Familie asociată Bura Catalana catenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Elicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Șaua stâlpului Sherka De trei ori periodic Giroida Lidinoid Neovius Schwartz