Pachet de cerc

Un mănunchi cerc este un mănunchi în care cercurile sunt fibre . $\scriptstyle \mathbf {S} ^{1)$

Mănunchiurile de cerc orientate sunt cunoscute și sub denumirea de fascicule U (1) principale . În fizică , fasciculele de cerc sunt setări geometrice naturale pentru electromagnetism . Un mănunchi de cerc este un caz special de mănunchiuri de sfere .

Ca o varietate de 3

Mănunchiul circumferenţial de suprafeţe este un exemplu important de 3-variete . O clasă mai generală de 3-variete sunt fasciculele Seifert , care pot fi privite ca un fel de fascicule de cerc „degenerate” sau ca un fascicul de cerc de orbifolduri bidimensionale .

Relația cu electrodinamica

Ecuațiile lui Maxwell corespund câmpului electromagnetic reprezentat de forma 2 F cu echivalent omologic cu zero. În special, există întotdeauna un vector covariant A , un potențial electromagnetic , (echivalent, o conexiune afină ), astfel încât $\pi ^{\!*}F$

\pi ^{\!*}F=dA.

Dacă este dat un mănunchi pe un cerc P al unei varietăți M și proiecția acestuia

\pi:P\la M

avem un homomorfism

\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\la H^{2}(P,\mathbb {Z} )

unde este inversul lui . Fiecare homomorfism corespunde unui monopol de Dirac . Grupuri întregi de coomologie corespund cuantizării sarcinii electrice . Efectul Aharonov-Bohm poate fi înțeles ca holonomia constrângerii asupra fasciculului de linii asociat, care descrie funcția de undă a electronului. În esență, efectul Aharonov-Bohm nu este un efect mecanic cuantic (contrar noțiunii populare), deoarece nu este implicată nicio cuantizare și nu este necesară în construcția pachetului. $\pi ^{\!*}$

Exemple

Pachetul Hopf este un exemplu de pachet non-trivial pe cercuri.
Mănunchiul normal sferic al unei suprafețe este un alt exemplu de mănunchi pe un cerc.
Mănunchiul normal sferic al unei suprafețe neorientabile este un fascicul pe un cerc care nu este un fascicul principal . Numai suprafețele orientabile au fascicule sferice principale tangente. $U(1)$
O altă metodă pentru construirea unui mănunchi de cerc este de a folosi un pachet de linii complexe și de a lua pachetul de sfere asociat (în acest caz, pachetul de cerc). Deoarece acest fascicul are o orientare indusă din , vedem că este un fascicul principal [1] . În plus, clasele caracteristice din teoria Chen-Weyl a fasciculelor sunt în concordanță cu clasele caracteristice . $L\la X$ $L$ $U(1)$ $U(1)$ $L$
De exemplu, luați în considerare analiza curbei plane complexe $X$

{\text{Proj)}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n))} \dreapta)

Deoarece și clasele caracteristice mapează înapoi în mod non-trivial, obținem că pachetul de linii asociat cu snop are clasa Chern . $H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$ ${\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_ {X}$ $c_{1}=a\in H^{2}(X)$

Clasificare

Clasele de izomorfism ale pachetelor principale alevarietatii M sunt în corespondență unu-la-unu cu clasele de homotopie mapărilor, undese numește spațiu de clasificare pentru U(1) . Rețineți că este un spațiu proiectiv complex de dimensiuni infinite și că este un exemplu de spațiu Eilenberg-MacLane . Astfel de fascicule sunt clasificate după elemente ale celui de-al doilea grup de coomologie integrală a lui M , deoarece $U(1)$ $M\la BU(1)$ $BU(1)$ $BU(1)=CP^{\infty }$ $K(\mathbb {Z} ,2)$ $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$

[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)

Acest izomorfism este implementat de clasa Euler . În mod echivalent, este prima clasă Chern a unui pachet de linii complexe netede (în mare parte pentru că un cerc este echivalent homotopie cu , un plan complex cu originea eliminată. Și apoi un pachet de linii complexe cu secțiunea zero eliminată este echivalent homotopie cu un pachet pe cercuri) $\mathbb {C} ^{*}$

Un pachet cerc este un pachet principal dacă și numai dacă harta asociată este homotopică la zero, ceea ce este adevărat dacă și numai dacă pachetul este orientat pe fibre. Pentru cazul mai general, când mănunchiul cerc al varietatii M nu poate fi orientat, clasele de izomorfism sunt într-o corespondență unu-la-unu cu clasele de mapare a homotopiei . Aceasta rezultă din extinderea grupurilor , unde . $U(1)$ $M\la B\mathbb {Z} _{2}$ $M\la BO_{2}$ $SO_{2}\la O_{2}\la \mathbb {Z} _{2)$ $SO_{2}\equiv U(1)$

Complexe Deligne

Clasificarea de mai sus se aplică numai pachetelor de cerc în cazul general. Clasificarea corespunzătoare pentru fasciculele de cerc netede, sau, de exemplu, fasciculele de cerc cu conexiune afină , necesită o teorie de coomologie mai sofisticată. Deci, fasciculele de cerc netede sunt clasificate după a doua coomologie Deligne , fasciculele de cerc cu conexiune afină sunt clasificate prin , în timp ce clasifică fasciculele de linii în snopi . $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$ $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$ $H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$

Vezi și

Secvență spectrală

Note

↑ Fiecare cerc orientabil este principal? . Preluat la 14 august 2018. Arhivat din original la 25 august 2017. (nedefinit)

Literatură

Shiing-shen Chern. Cercuri pachete // Note de curs la matematică. - Springer Berlin / Heidelberg, 1977. - T. 597/1977. — p. 114–131. - ISBN 978-3-540-08345-0 . .