Întindere (geometrie)

Întinderea este o operație pe un poliedru (în orice dimensiune, nu doar în spațiul tridimensional), în care fațetele sunt separate și deplasate radial în direcția de la centru, se formează noi fațete pe elementele separate (vârfurile, muchiile etc. .). Aceleași operații pot fi înțelese ca operații care mențin fațetele pe loc, dar le reduc în dimensiune.

Un politop este înțeles ca un poliedru multidimensional, iar în continuare în articol aceste concepte sunt folosite ca sinonime (cuvântul „multidimensional” poate fi omis dacă este presupus prin sens) [1] .

Întinderea unui politop multidimensional obișnuit produce un politop uniform , dar operația poate fi aplicată oricărui politop convex , așa cum s-a demonstrat pentru politopuri în articolul „ Notația Conway pentru politopuri ”. În cazul politopurilor 3D, politopul întins are toate fețele politopului original, toate fețele politopului dublu și fețe pătrate suplimentare în locul muchiilor originale.

Întinderea politopurilor obișnuite

Potrivit lui Coxeter , acest termen pentru solide cu dimensiuni mari a fost definit de Alicia Buhl Stott [2] pentru a crea noi poliedre cu dimensiuni mari. Mai precis, pentru a crea poliedre multidimensionale uniforme din poliedre multidimensionale obișnuite .

Operația de întindere este simetrică pentru politopii obișnuiți și poliedrele lor duale . Corpul rezultat conține fațete atât ale unui poliedru regulat, cât și ale poliedrului său dual, precum și fațete prismatice suplimentare care umplu spațiul dintre elementele de dimensiune inferioară.

Întinderea are într-o oarecare măsură un sens diferit pentru diferite dimensiuni . În construcția lui Wythoff, întinderea este generată de reflexia din prima și ultima oglindă. În dimensiuni mai mari, întinderea poate fi scrisă cu un (sub)script, deci e 2 este același cu t 0,2 în orice dimensiune.

Notă : Numele operațiilor pe poliedre din literatura în limba rusă nu s-au stabilit, așa că numele în engleză cu traducere sunt date mai jos .

Dupa dimensiuni:

• Un poligon obișnuit {p} se extinde într-un 2p-gon obișnuit.
  • Pentru poligoane, operația este identică cu operația de trunchiere , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} și are o diagramă Coxeter-Dynkin .
• Un politop obișnuit {p,q} ( politop tridimensional) se extinde într-un politop cu figura de vârf p.4.q.4 .
  • Pentru poliedre, această operație se numește „cantelation” , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0,2 {p,q} = rr{p,q}, iar operația are o diagramă Coxeter. De exemplu, un rombicuboctaedru poate fi numit un cub dilatat , un octaedru dilatat , precum și un cub înclinat sau un octaedru înclinat .
• Un politop obișnuit {p,q,r} 4D (4-politop) este întins într-un nou politop 4D cu aceleași celule {p,q}, se formează celule noi {r,q} în locul vechilor vârfuri, p -prismele gonale se formează în locul fețelor vechi (2-dimensionale) și prisme r-gonale în locul muchiilor vechi.
  • Pentru poliedre cu 4 dimensiuni, această operație se numește „runcinare” (planare), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r} și operația are o diagramă Coxeter.
• În mod similar, un politop 5D obișnuit {p,q,r,s} este extins într-un nou politop 5D cu fațete {p,q,r}, {s,r,q}, prisme {p,q}× { }, prisme {s,r}×{ } și duoprisme {p} × {s}.
  • Operația se numește „stericare” (tocare), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} și operația are o diagramă Coxeter.

Operația generală de întindere a unui poliedru n-dimensional regulat este t 0,n-1 {p,q,r,...}. Sunt adăugate noi fațete regulate în locul fiecărui vârf și noi politopi prismatici sunt adăugate pentru fiecare muchie despicată, față (2D) etc.

Vezi și

• Notație Conway pentru poliedre

Note

1. ↑ În literatura în limba rusă, politopii obișnuiți (politopi de dimensiune > 3) și poliedre sunt de obicei înțelese ca corpuri convexe, în literatura în limba engleză, politopii regulați stelați sunt, de asemenea, considerați politopi obișnuiți (politopi)
2. ↑ Coxeter, 1973 , p. 123.210.

Literatură

• HSM Coxeter . Politopuri obișnuite. - A treia editie. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 ..Prima ediție: Methuen & Co. Ltd., Londra, 1948
• Weisstein, Eric W. Expansion  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Norman Johnson. Politopuri uniforme. - 1991. - (manuscris).
  • NW Johnson. Teoria politopilor și fagurilor uniformi. — Ph.D. Universitatea din Toronto, 1966. - (Teza de doctorat).

Fundatia	trunchiere	trunchiere completă	trunchiere adâncă	Dualitate _	întinderea	trunchiere	Alternare
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}