Poliedru cu cinci dimensiuni

În geometria cu cinci dimensiuni, un politop cu cinci dimensiuni sau un politop cu cinci dimensiuni este un politop în spațiu cu cinci dimensiuni delimitat de fețe cu patru dimensiuni. Mai mult, fiecare celulă poliedrică tridimensională aparține exact două fețe tridimensionale .

Definiție

Un 5-politop este o figură închisă cu 5 dimensiuni, cu vârfuri , muchii , fețe , celule și 4 fețe . Un vârf este un punct în care cinci sau mai multe muchii se întâlnesc. O muchie este un segment care aparține la patru sau mai multe fețe. O față este un poligon care aparține la trei sau mai multe celule. O celulă este un politop (3-dimensional) , iar un politop cu 4 fețe este un politop cu 4 dimensiuni . În plus, trebuie îndeplinite următoarele cerințe:

1. Fiecare celulă trebuie să fie învecinată exact cu două fețe 4-dimensionale.
2. Fețele 4-dimensionale adiacente nu se află pe același hiperplan 4-dimensional .
3. Cifra nu este o combinație de alte cifre care îndeplinesc cerințele.

Caracteristici

Topologia oricărui poliedru 5-dimensional dat este definită de numerele lui Betti și coeficienții de torsiune [1] .

Sensul caracteristicii Euler , folosită pentru a caracteriza politopii, nu se generalizează în mod corespunzător la dimensiuni mai mari, indiferent de topologia subiacentă. Această inconsecvență în caracteristica Euler pentru a distinge în mod fiabil între diferite topologii în dimensiuni mari duce la apariția unor numere Betti mai rafinate [1] .

În mod similar, noțiunea de orientabilitate a unui poliedru este insuficientă pentru a caracteriza răsucirea suprafețelor poliedrelor toroidale, conducând la utilizarea coeficienților de torsiune [1] .

Clasificare

Poliedrele 5-dimensionale pot fi clasificate după proprietăți precum „ convexitatea ” și „ simetria ”.

• Un politop de 5 este convex dacă limitele sale (inclusiv celulele, fețele (3-dimensionale) și marginile) nu se intersectează (în principiu, fețele politopului pot trece în interiorul învelișului), iar segmentele de linie care leagă oricare două puncte ale politopii 5 sunt complet cuprinsi in interiorul acestuia. În caz contrar, poliedrul este considerat neconvex . Poliedrele cinci-dimensionale cu auto-intersectare sunt cunoscute și sub denumirea de poliedre stelare , prin analogie cu formele în formă de stea ale poliedrelor Kepler-Poinsot neconvexe .

• 5-politopii uniformi au un grup de simetrie pentru care toate vârfurile sunt echivalente, iar fețele 4-dimensionale sunt 4-politopi uniformi . Fețele 4-dimensionale ale unui poliedru uniform trebuie să fie regulate . Nu a fost stabilit un set complet de poliedre omogene cinci-dimensionale.

• un 5-politop semi-regular conține două sau mai multe tipuri de fețe regulate 4-dimensionale. Există o singură astfel de figură, care poartă numele de semipenteract .

• Un 5-politop obișnuit are toate fețele cu 4 dimensiuni identice. Toți 5-politopii obișnuiți sunt convexe.

• un 5-politop prismatic este un produs direct al poliedrelor de dimensiuni inferioare. Un poliedru prismatic 5-dimensional este omogen dacă factorii săi din produsul direct sunt omogene. Hipercubul este prismatic (produsul unui pătrat și al unui cub ), dar este tratat separat deoarece are o simetrie mai mare decât simetriile moștenite de la factori.

• O placă cu 4 dimensiuni este o descompunere a unui spațiu euclidian cu 4 dimensiuni într-o rețea regulată de poliedre. Strict vorbind, plăcile nu sunt poliedre, deoarece nu există restricții, dar le includem aici pentru a fi complet, deoarece sunt similare poliedrelor în multe feluri. O placă uniformă cu 4 dimensiuni este o placare ale cărei vârfuri formează un grup cristalografic și ale cărei fețe sunt poliedre cu 4 dimensiuni uniforme.

5-poliedre regulate

Poliedrele regulate cu 5 dimensiuni pot fi reprezentate prin simbolul Schläfli {p,q,r,s}.

Există exact trei astfel de 5-politopi regulați convexe:

1. {3,3,3,3} - Hexatheron (simplex 5-dimensional)
2. {4,3,3,3} - Penteract (cub 5d)
3. {3,3,3,4} — ortoplex cinci- dimensional

Pentru 3 5-politopi regulați convexe și unul semiregular, elementele sunt:

Nume	Simbol(e) Schläfli	Diagrame Coxeter	Vârfurile	coaste	chipuri	Celulele	fețe 4-dimensionale	Simetrie ( ordine )
Hexateron	{3,3,3,3}		6	cincisprezece	douăzeci	cincisprezece	6	A 5 , (120)
Penteract	{4,3,3,3}		32	80	80	40	zece	BC5 , (3820 )
5-ortoplex	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		zece	40	80	80	32	BC 5 , (3840) 2×D 5

Poliedre 5-dimensionale uniforme

Pentru trei 5-poliedre semiregulate, elementele sunt:

Nume	Simbol(e) Schläfli	Diagrame Coxeter	Vârfurile	coaste	Fațete	celule	4 fețe	Simetrie ( ordine )
Extended 5-simplex	t 0,4 {3,3,3,3}		treizeci	120	210	180	162	2×A 5 , (240)
5-semicub	{3,3 2,1 } h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D5 , ( 1920) ½BC5
5-ortoplex rectificat	t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	BC 5 , (3840) 2×D 5

Simplexul 5-dimensional extins este figura de vârf a fagurilor simplex 5-dimensionali uniformi ,. Figura de vârf a fagurilor de miere cu cinci dimensiuni de semicuburi ,, este un 5-ortoplex rectificat , iar fețele sunt 5 -ortoplexe și 5-semicube .

Piramide

5-poliedre piramidale ( 5-piramide ) pot fi formate prin utilizarea unei baze poliedrice 4-dimensionale într-un hiperspațiu 4-dimensional conectat la un punct care nu se află pe hiperplan. Simplexul 5-dimensional este cel mai simplu exemplu cu un simplex 4-dimensional la bază.

Vezi și

• Lista poliedrelor regulate 5-dimensionale

Note

1. ↑ 1 2 3 Richeson, D.; Bijuteria lui Euler: Formula poliedrului și nașterea topopologiei , Princeton, 2008.

• T. Gosset Despre figurile regulate și semi-regulare în spațiul n dimensiuni // Messenger of Mathematics . — Macmillan, 1900.
• A. Boole Stott Deducerea geometrică a semiregularului din politopuri obișnuite și umpluturi spațiale // Verhandelingen al academiei Koninklijke van Wetenschappen unitatea de lățime Amsterdam. - Amsterdam, 1910. -T. Eerste Sectie 11,nr. 1.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter . Politopi obișnuiți . - al 3-lea (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Caleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicația Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Hârtie 22) HSM Coxeter, Politopi obișnuiți și semiregulari I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (Hârtie 23) HSM Coxeter, Politopi obișnuiți și semi-regulari II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Hârtie 24) HSM Coxeter, Politopii obișnuiți și semi-regulari III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson . Teoria politopilor și fagurilor uniformi. — Ph.D. Disertație. - Universitatea din Toronto, 1966.
• Richard Klitzing, 5D, politopi uniformi (politera) ]

Link -uri

• Politopi de diferite dimensiuni , Jonathan Bowers
• Uniform Polytera , Jonathan Bowers
• George Olshevsky Polytope on Glosar for Hyperspace

• Glosar multidimensional , Garrett Jones