Construcția Wythoff

Construcția lui Wythoff sau construcția lui Wythoff [1]  este o metodă de construire a poliedrelor uniforme sau a plăcilor pe un plan. Metoda este numită după matematicianul W. A. ​​Wiethoff . Metoda de construcție a lui Wythoff este adesea denumită construcție caleidoscop .

Clădire

Construcția se bazează pe ideea plăcilor pe o sferă folosind triunghiuri sferice  - vezi triunghiuri Schwartz . Această construcție folosește reflexii despre laturile unui triunghi ca un caleidoscop . Cu toate acestea, spre deosebire de caleidoscop, reflexiile nu sunt paralele, ci se intersectează la un moment dat. Reflexiile multiple formează mai multe copii ale triunghiului. Dacă colțurile unui triunghi sferic sunt alese corect, triunghiurile țiglă sfera de una sau de mai multe ori.

Prin plasarea unui punct într-un loc potrivit în interiorul unui triunghi sferic înconjurat de oglinzi, se poate realiza ca reflexiile acestui punct să dea un poliedru uniform. Pentru un triunghi sferic ABC, există patru poziții care dau un poliedru uniform:

1. Punctul este situat la vârful A . Acesta dă un poliedru cu simbolul Wythoff a | b  c , unde a este egal cu π împărțit la unghiul triunghiului la vârful A . În mod similar pentru b și c .
2. Punctul este situat pe segmentul AB la baza bisectoarei unghiului la vârful C . Oferă un poliedru cu simbolul Wythoff a  b | c .
3. Punctul este situat în centrul triunghiului ABC . Oferă un poliedru cu simbolul Wythoff a  b  c |.
4. Punctul este situat în așa fel încât atunci când se rotește în jurul vârfurilor triunghiului cu un unghi dublu la aceste vârfuri, se deplasează la aceeași distanță. Sunt folosite doar reflexii chiar și. Poliedrul are simbolul Wythoff | a  b  c .

Procesul este aplicabil în general pentru a obține politopuri regulate în spații de dimensiuni mai mari, inclusiv politopuri omogene 4-dimensionale .

Construcție non-Wiethoff

Poliedre uniforme care nu pot fi construite folosind construcția oglinzii lui Wythoff sunt numite poliedre non-Wythoff. Ele, în cazul general, pot fi obținute din construcțiile Wythoff fie prin alternarea (ștergerea vârfurilor printr-unul), fie prin inserarea de rânduri alternative ale unor figuri. Ambele tipuri de astfel de figuri au simetrie de rotație. Cutoff-urile sunt uneori considerate Withoff , chiar dacă pot fi obținute prin alternarea cifrelor cutoff pe toate părțile.

Vezi și

• Simbolul Wythoff  este un simbol pentru construcția lui Wythoff de poliedre uniforme și teselații uniforme .
• Diagramele Coxeter-Dynkin  sunt un simbol generalizat pentru construcția lui Wythoff de poliedre uniforme și faguri.

Note

1. ↑ Vesnin, 2017 .

Literatură

• HSM Coxeter. Capitolul 5: Caleidoscopul, Secțiunea: 5.7 Construcția lui Wythoff // Regular Polytopes . - Ediția Dover, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• Coxeter . Capitolul 3: Construcția lui Wythoff pentru politopi uniformi // Frumusețea geometriei: douăsprezece eseuri . - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0-486-40919-1 .
• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra  // Geometriae Dedicata . - 1993. - Nr. 47 . - S. 57-110 . Arhivat din original pe 15 iulie 2009. Secțiunea 4: Caleidoscopul.
• W. A. ​​​​Wythoff O relație între politopii familiei C600 // Proceedings of the Section of Sciences. - Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1918. -Nr. 20. -S. 966-970.
• A. Yu. Vesnin . Politopuri dreptunghiulare și varietati hiperbolice tridimensionale // Uspekhi Mat. - 2017. - T. 72. - S. 147-190. doi :/ rm9762 .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Wythoff Construction  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Olshevsky, George Wythoff construcție la Glosar pentru hiperspațiu
• Poligoane uniforme obținute folosind construcția Wythoff
• Descrierea construcției lui Wythoff
• "Jenn" , software pentru vizualizarea poligoanelor (sferice) și politopilor 4D din grupurile lor de simetrie