Notație Conway pentru poliedre

Notația Conway pentru politopuri , dezvoltată de Conway și promovată de Hart , este folosită pentru a descrie politopii bazați pe un politop de semințe (adică, folosit pentru a crea altele), modificat prin diferite operații de prefix .

Conway și Hart au extins ideea de a folosi operatori precum operatorul de trunchiere al lui Kepler pentru a crea poliedre conectate cu aceeași simetrie. Operatorii de bază pot genera toate solidele arhimediene și solidele catalane din semințele corecte. De exemplu, t C reprezintă un cub trunchiat , iar taC, obținut ca t(aC), este un octaedru trunchiat . Cel mai simplu operator dual schimbă vârfurile și fețele. Deci, poliedrul dublu pentru un cub este un octaedru - dC \ u003d O. Aplicați secvențial, acești operatori permit generarea multor poliedre de ordin înalt. Poliedrele rezultate vor avea o topologie fixă (vârfurile, muchiile, fețele), în timp ce geometria exactă nu este limitată.

Poliedrele de semințe care sunt poliedre regulate sunt reprezentate de prima literă din numele lor (în engleză) ( T etrahedron = tetrahedron, O ctahedron = octahedron, C ube = cub, I cosahedron = icosahedron, D odecahedron = dodecaedru). În plus, prisme ( P n - din prismă pentru prisme n - unghiulare), antiprisme ( A n - din A ntiprisme ), cupole ( U n - din c u polae), anti- dom ( V n ) și piramide ( Y n - din p y ramid). Orice poliedru poate acționa ca o sămânță dacă se pot efectua operații asupra lor. De exemplu, poliedre cu fațete regulate pot fi notate ca J n (de la Johnson Solids = Johnson Solids ) pentru n =1...92.

În cazul general, este dificil de prezis rezultatul aplicării succesive a două sau mai multe operații pe un poliedru de sămânță dat. De exemplu, operația ambo aplicată de două ori este aceeași cu operația de extindere, aa = e , în timp ce operația de trunchiere după operația ambo produce același lucru cu operația de teșire, ta = b . Nu există o teorie generală care să descrie ce fel de poliedre pot fi obținute cu un anumit set de operatori. Dimpotrivă, toate rezultatele au fost obținute empiric .

Operații pe politopuri

Elementele tabelului sunt date pentru o sămânță cu parametrii ( v , e , f ) (vârfurile, muchiile, fețele) transformați în noi tipuri sub presupunerea că sămânța este un poliedru convex (o sferă topologică cu caracteristica lui Euler 2). Un exemplu bazat pe o sămânță cub este dat pentru fiecare operator. Operațiile de bază sunt suficiente pentru a genera poliedre uniforme simetrice în oglindă și duale lor. Unele operații de bază pot fi exprimate în termenii compoziției altor operații.

Tipuri speciale

Operația „kis” are o variantă k n , caz în care la fețele cu n laturi se adaugă numai piramide . Operația de trunchiere are o variantă t n , caz în care numai vârfurile de ordinul n sunt trunchiate .

Operatorii sunt aplicați ca și funcții de la dreapta la stânga. De exemplu, cuboctaedrul este un cub ambo (un cub căruia i se aplică operația ambo), adică t(C) = aC , iar cuboctaedrul trunchiat este t(a(C)) = t(aC) = taC .

Operator de chiralitate

r - „reflectare” („reflectare”) – face o imagine în oglindă a seminței. Operatorul nu schimbă sămânța decât dacă i-au fost aplicați operatorii s sau g . O altă notație pentru forma chirală este un caracter de subliniere, cum ar fi s = rs .

Operațiile din tabel sunt prezentate pe un exemplu de cub și sunt desenate pe suprafața cubului. Fețele albastre intersectează marginile originale, fețele roz corespund vârfurilor originale.

Operații de bază

Operator	Nume	Construcție alternativă	culmi	coaste	fațete	Descriere
	sămânță		v	e	f	Poliedrul inițial
r	Reflectați		v	e	f	Imagine în oglindă pentru forme chirale
d	dual		f	e	v	Poliedru cu sămânță duală - fiecare vârf creează o nouă față
A	ambo	dj djd	e	2e _	f + v	Sunt adăugate vârfuri noi în mijlocul muchiilor, iar vârfurile vechi sunt tăiate ( rectificare ) Operația creează vârfuri cu valență 4.
j	a te alatura	tata _	v + f	2e _	e	La sămânță se adaugă piramide cu înălțime suficientă, astfel încât două triunghiuri aparținând unor piramide diferite și având o latură comună a seminței devin coplanare (întinse pe același plan) și formează o nouă față. Operația creează fețe pătrate.
k k n	sărut	nd = dz dtd	v + f	3e _	2e _	Pe fiecare față se adaugă o piramidă. Akizare sau cumul, [1] creștere sau expansiune piramidală .
t t n	trunchia	nd = dz dkd	2e _	3e _	v + f	Decupează toate nodurile. Operația este conjugată cu kis
n	ac	kd = dt dzd	v + f	3e _	2e _	Poliedrul dublu la o sămânță trunchiată. Fețele sunt triunghiulate cu două triunghiuri pentru fiecare muchie. Acest lucru divide fețele prin toate vârfurile și muchiile, îndepărtând în același timp muchiile originale. Operația transformă politopul geodezic ( a , b ) în ( a +2 b , a - b ) pentru a > b . De asemenea, convertește ( a ,0) în ( a , a ), ( a , a ) în (3 a ,0), (2,1) în (4,1), etc.
z	fermoar	dk = td dnd	2e _	3e _	v + f	Politopul dual la sămânță după operația kis sau trunchierea politopului dual. Operația creează noi muchii care sunt perpendiculare pe muchiile originale. Operația se mai numește și truncare de biți ( deep truncation ). Această operație transformă politopul Goldberg G ( a , b ) în G ( a +2 b , a - b ) pentru a > b . De asemenea, transformă G ( a ,0) în G ( a , a ), G ( a , a ) în G (3 a ,0), G (2,1) în G (4,1) și așa mai departe.
e	extinde (întinde)	aa dod = do	2e _	4e _	v + e + f	Fiecare vârf creează o nouă față, iar fiecare muchie creează un nou quad. ( cantellate = teșit)
o	orto	daa ded = de	v + e + f	4e _	2e _	Fiecare față n -gonală este împărțită în n patrulatere.
rg = g _	giroscop	dsd = ds	v + 2e + f	5e _	2e _	Fiecare față n -gonală este împărțită în n pentagoane.
s rs = s	cârn	dgd = dg	2e _	5e _	v + 2e + f	„expansiune și torsiune” - fiecare vârf formează o nouă față, iar fiecare margine formează două noi triunghiuri
b	teşit	dkda = ta dmd = dm	4e _	6e _	v + e + f	Sunt adăugate fețe noi în loc de muchii și vârfuri. (cantruncation = bevel- truncation )
m	meta medial	kda = kj dbd = db	v + e + f	6e _	4e _	Triangulare cu adăugarea de vârfuri la centrele fețelor și muchiilor.

Formarea corectă a semințelor

Toate cele cinci politopuri obișnuite pot fi generate din generatoare prismatice folosind zero până la doi operatori:

Piramidă triunghiulară : Y3 (Tetraedrul este un caz special de piramide)
- T = Y3
- O = aT (tetraedru după operația ambo)
- C = jT (tetraedru după operația de îmbinare)
- I = sT (tetraedru snub, tetraedru după operația snub)
- D = gT (tetraedru după operarea giroscopului)
Antiprismă triunghiulară : A3 (octaedrul este un caz special de antiprisme)
- O=A3
- C=dA3
Prismă pătrată : P4 (Cube este un caz special al unei prisme)
- C=P4
Antiprismă pentagonală : A5
- I = k5A5 (Caz special al bipiramidei alungite răsucite )
- D = t5dA5 (Caz special al trapezoedrului trunchiat )

Plasarea euclidiană corectă poate fi folosită și ca sămânță:

Q = Quadrille (quadrilateral tiling) = tiling pătrat
H = Hextille = placare hexagonală = dΔ
Δ = Deltille = tiling triunghiular = dH

Exemple

Cubul poate forma toate poliedrele uniforme convexe cu simetrie octaedrică . Prima linie arată solidele arhimediene , iar a doua arată solidele catalane . Al doilea rând este format ca poliedre duale față de poliedrele primului rând. Dacă comparați fiecare poliedru nou cu un cub, puteți înțelege operațiile efectuate vizual.

Cub „sămânță”	ambo	trunchia	fermoar	extinde	teşit	cârn
CdO _	aC aO	tC zO	zC = dkC tO	aaC = eCeO	bC = taC taO	sC sO
dual	a te alatura	ac	sărut	orto	medial	giroscop
dCO _	jC jO	dtC = kdC kO	kC dtO	oC oO	dtaC = mC mO	gC goO

Un icosaedru trunchiat , tI sau zD, care este un politop Goldberg G(2,0), creează politopi suplimentari care nu sunt nici tranzitivi la vârf , nici la față .

Icosaedrul trunchiat ca sămânță

"samanta"	ambo	trunchia	fermoar	extensie	teşit	cârn
zD tI Arhivat pe 21 octombrie 2016 la Wayback Machine	azI atI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	tzD ttI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	tdzD tdtI Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine	aazD = ezD aatI = etI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	bzD btI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	szD stI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine
dual	a te alatura	ac	sărut	orto	medial	giroscop
dzD dtI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	jzD jtI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	kdzD kdtI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	kzD ktI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	ozD otI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	mzD mtI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine	gzD gtI Arhivat la 1 februarie 2017 la Wayback Machine

Coordonatele geometrice ale formelor derivate

În cazul general, o sămânță poate fi gândită ca o placare a suprafeței. Deoarece operatorii reprezintă operații topologice, pozițiile exacte ale vârfurilor formelor derivate nu sunt în general definite. Politopii obișnuiți convexi ca sămânță pot fi considerați ca plăci ale unei sfere și, prin urmare, politopii derivați pot fi considerați ca fiind localizați pe o sferă. Asemenea plăcilor plane obișnuite, cum ar fi parchetul hexagonal , aceste poliedre de pe sferă pot acționa ca o sămânță pentru plăcile derivate. Poliedrele neconvexe pot deveni semințe dacă suprafețele topologice conectate sunt definite pentru a restrânge poziția vârfurilor. De exemplu, poliedre toroidale pot produce alte poliedre cu puncte pe aceeași suprafață torică.

Exemplu: sămânța de dodecaedru ca o placă sferică

D	tD	anunț	zD = dkD	ed	bD = taD	SD
dd	nD = dtD	jD = taD	kD = dtdD	oD = deD	mD=dtaD	gD

Exemplu: sămânță de plăci hexagonală euclidiană (H)

H	al	Ah	tdH = H	eH	bH = taH	SH
dH	nH = dtH	jH = daH	dtdH = kH	oH = deH	mH = dtaH	gH = dsH

Operații cu derivate

Amestecarea a două sau mai multe operații de bază are ca rezultat o mare varietate de forme. Există multe alte operațiuni derivate. De exemplu, amestecarea a două operații ambo, kis sau expand împreună cu operațiuni duale. Utilizarea operatorilor alternativi precum îmbinare, trunchiere, orto, teșire și medial poate simplifica numele și elimina operatorii duali. Numărul total de muchii ale operațiilor derivate poate fi calculat în funcție de multiplicatorii fiecărui operator individual.

Operator(i)	d	un j	k , t n , z	e o	gs _	a & k	a & e	k & k	k & e k & a 2	e & e
multiplicator de margine	unu	2	3	patru	5	6	opt	9	12	16
Operatori derivati unici						opt	2	opt	zece	2

Operațiile din tabel sunt afișate pentru un cub (ca exemplu de sămânță) și sunt desenate pe suprafața cubului. Fețele albastre intersectează marginile originale, iar fețele roz corespund vârfurilor originale.

Operații cu derivate

Operator	Nume	Construcție alternativă	culmi	coaste	fațete	Descriere
	sămânță		v	e	f	Poliedrul inițial
la		akd	3e _	6e _	v + 2e + f	operatie ambo dupa trunchiere
jk		dak	v + 2e + f	6e _	3e _	unire operatie dupa sarut. Similar cu orto , cu excepția faptului că noile fețe pătrate sunt inserate în locul muchiilor originale
ak		zile	3e _	6e _	v + 2e + f	Operațiunea ambo după sărut. Similar cu extinderea, cu excepția faptului că noi vârfuri sunt adăugate la marginile originale, formând două triunghiuri.
jt		dakd = dat	v + 2e + f	6e _	3e _	operația de unire după trunchiere. Poliedrul dual la cel obţinut după operaţii trunchiază, apoi ambo
tj		dka	4e _	6e _	v + e + f	truncate join
ka			v + e + f	6e _	4e _	kis ambo
ea sau ae		aaa	4e _	8e _	v + 3e + f	operațiune de ambo extinsă, operațiune de ambo triplu
oa sau je		daaa = jjj	v + 3e + f	8e _	4e _	Operație orth după ambo, operație triple join
x = kt	înălţa	kdkd dtkd	v + e + f	9e _	7e _	Operațiile sunt trunchierea, triangularea, împărțirea marginilor în 3 părți și adăugarea de noi vârfuri în centrul fețelor originale. Operația transformă politopul geodezic ( a , b ) în (3 a ,3 b ).
y = tk	smulge	dkdk dktd	v + e + f	9e _	7e _	Operațiile trunchiază kis, extinderea prin hexagoane în jurul fiecărei muchii Operația transformă poliedrul Goldberg G ( a , b ) în G (3 a ,3 b ).
nk		kdk = dtk = ktd	7e _	9e _	v + e + f	sărut cu ac
tn		dkdkd = dkt = tkd	7e _	9e _	v + e + f	acul trunchiat
tt		dkkd	7e _	9e _	v + e + f	operație de trunchi dublu
kk		dttd	v + 2e + f	9e _	6e _	dubla operatie kis
nt		kkd = dtt	v + e + f	9e _	7e _	acul trunchiat
tz		dkk = ttd	6e _	9e _	v + 2e + f	fermoar trunchiat
ke		kaa	v+3e+f	12e	8e	Kis se extinde
la		dkaa	8e	12e	v+3e+f	trunchi orto
ek		aak	6e	12e	v+5e+f	extinde kis
O.K		daak = dek	v+5e+f	12e	6e	orthokis
et		aadkd	6e	12e	v+5e+f	operație de trunchiere extinsă
ot		daadkd = det	v+5e+f	12e	6e	orto trunchiat
te sau ba		dkdaa	8e	12e	v+3e+f	truncă extinde
ko sau ma		kdaa = dte ma = mj	v+3e+f	12e	8e	kis ortho
ab sau am		aka = ata	6e _	12e _	v + 5e + f	teşit ambo
jb sau jm		daka = data	v + 5e + f	12e _	6e _	teșit îmbinat
ee		aaaa	v+7e+f	16e	8e	dublu-expand
oo		daaaa = dee	8e	16e	v+7e+f	dublu-orto

Operații cu derivate chirale

Există și alte operații derivate dacă gyro este utilizat cu operațiunile ambo, kis sau expand și până la trei operațiuni duale.

Operator(i)	d	A	k	e	g	a&g	kg	de exemplu	g&g
multiplicator de margine	unu	2	3	patru	5	zece	cincisprezece	douăzeci	25
Operatori derivati unici						patru	opt	patru	2

Operații chirale ale copiilor

Operator	Nume	Clădire	culmi	coaste	chipuri	Descriere
	sămânță		v	e	f	Poliedrul inițial
ag		ca djsd = djs	v + 4e + f	10e _	5e _	ambo gyro
jg		dag = js dasd = das	5e _	10e _	v + 4e + f	s-a alăturat giroscopului
ga		gj dsjd = dsj	v + 5e + f	10e _	4e _	gyro ambo
sa		dga = sj dgjd = dgj	4e _	10e _	v + 5e + f	snub ambo
kg		dtsd = dts	v + 4e + f	15 e	10e _	kis gyro
ts		dkgd = dkg	10e _	15 e	v + 4e + f	snub trunchiat
gk		dstd	v + 8e + f	15 e	6e _	gyrokis
Sf		dgkd	6e _	15 e	v + 8e + f	trunchiere snub
sk		dgtd	v + 8e + f	15 e	6e _	snubkis
gt		dskd	6e _	15 e	v + 8e + f	trunchierea giroscopului
ks		kdg dtgd = dtg	v + 4e + f	15 e	10e _	sărut snub
tg		dkdg dksd	10e _	15 e	v + 4e + f	giroscop trunchiat
de exemplu		es aag	v + 9e + f	20e _	10e _	giroscop extins
og		os daagd = daag	10e _	20e _	v + 9e + f	snub extins
GE		du-te gaa	v + 11e + f	20e _	8e _	giroscopul se extinde
se		so dgaad = dgaa	8e _	20e _	v + 11e + f	snub expand
gg		gs dssd = dss	v + 14e + f	25e _	10e _	dublu giroscop
ss		sg dggd = dgg	10e _	25e _	v + 14e + f	dublu-snub

Operatori extinsi

Aceste instrucțiuni extinse nu pot fi create generic folosind operațiunile de bază de mai sus. Unii operatori pot fi creați ca cazuri speciale cu operatori k și t, dar aplicați anumitor fețe și vârfuri. De exemplu, un cub teșit , cC , Un4.valențădetrunchiatevârfuricujCsaudaC,rombicdodecaedruunca,t4daCcafi construitpoate hexecontaedru deltoidal poate fi construit ca deD sau oD cu trunchieri de vârfuri cu valență 5.

Unii operatori extinși formează o secvență și sunt dați urmați de un număr. De exemplu, ortho împarte o față pătrată în 4 pătrate, în timp ce o3 poate împărți în 9 pătrate. o3 este o construcție unică, în timp ce o4 poate fi obținut ca oo , operatorul orto aplicat de două ori. Operatorul de mansardă poate include un index, cum ar fi operatorul kis , pentru a restricționa aplicarea la o față cu un număr specificat de laturi.

Operația de teșire creează un poliedru Goldberg G(2,0) cu noi hexagoane între fețele originale. Operațiile succesive de teșire creează G(2 n ,0).

Operații avansate

Operator	Nume	Construcție alternativă	culmi	coaste	chipuri	Descriere
	sămânță		v	e	f	Poliedrul inițial
c (din c hamfer)	teşitură	dud	v + 2e	4e _	f + e	Trunchierea coastelor. În loc de margini, sunt introduse noi fețe hexagonale. poliedrul Goldberg (0,2)
-	-	DC	f + e	4e _	v + 2e	funcţionare duală după teşitură
u	sunteți împărțit _	dcd	v+e	4e	f+2e	Operația ambo în timp ce vârfurile originale sunt păstrate Operația este similară cu bucla de subdiviziune a suprafeței pentru fețele triunghiulare
-		CD	f+2e	4e	v+e	Operațiune duală după subdivizare
lln _ _	mansardă _		v + 2e	5e _	f +2 e	Extinderea fiecărei fețe cu o prismă , adăugând o copie mai mică a fiecărei fețe cu trapeze între fața interioară și cea exterioară.
		dl dln _	f +2 e	5e _	v + 2e	Funcționare dublă după mansardă
		ld l n d	f +2 e	5e _	v + 2e	Operațiunea mansardă după dublă
		dld dl n d	v + 2e	5e _	f +2 e	Operațiune asociată cu mansardă
		dL0	f + 3e	6e _	v + 2e	Operație dublă după dantelă îmbinată
		L0d	f +2 e	6e _	v + 3e	operație de dantelă îmbinată după dual
		dL0d	v + 3e	6e _	f +2 e	Operație asociată cu dantelă îmbinată
q	q uinto		v+3e	6e	f+2e	Operația orto urmată de trunchierea vârfurilor situate în centrul fețelor originale. Operațiunea creează 2 noi pentagoane pentru fiecare muchie originală.
-		dq	f+2e	6e	v+3e	Operațiune duală după quinto
		qd	v+2e	6e	f+3e	Operațiunea quinto după dual
-		dqd	f+3e	6e	v+2e	Operație asociată cu quinto
L0	imbinate-dantela		v + 2e	6e _	f + 3e	Similar cu operația de dantelă, dar cu noi fețe quad în locul marginilor originale
L L n	L as		v + 2e	7e _	f + 4e	Extinderea fiecărei fețe cu o antiprismă , adăugând o copie mai mică rotită a fiecărei fețe cu triunghiuri între fețele vechi și noi. Se poate adăuga un index pentru a limita operația la o față cu un număr specificat de laturi.
		dL dLn _	f + 4e	7e _	v + 2e	operator dublu după dantelă
		Ld Ld n	f +2 e	7e _	v +4 e	operator dantelă după dual
		dLd dL n d	v +4 e	7e _	f +2 e	Secvența de operații dual, dantelă, dual
K K n	sta K e		v+2e+f	7e	4e	Subdiviziunea feței cu patru și triunghiuri centrale. Se poate adăuga un index pentru a limita operația la o față cu un anumit număr de laturi.
		d K dK n	4e	7e	v+2e+f	Operațiune dublă după miză
		kd	v+2e+f	7e	4e	operațiune de miză după dual
		d K d	4e	7e	v+2e+f	Operațiune asociată cu miza
M3	marginea-mediala-3		v+2e+f	7e	4e	Funcționarea este similară cu m3, dar nu sunt adăugate margini diagonale
		dM3	4e	7e	v+2e+f	Operare dublă după margine-medial-3
		M3d	v+2e+f	7e	4e	edge-medial-3 operatie dupa dual
		dM3d	4e	7e	v+2e+f	Operație asociată cu marginea-medial-3
M0	îmbinat medial		v+2e+f	8e	5e	Operația este similară cu medial, dar cu adăugarea de fețe rombice în locul marginilor originale.
		d M0	v+2e+f	8e	5e	Operație dublă după îmbinat-medial
		M0 d	v+2e+f	8e	5e	operatie articular-mediala dupa duala
		d M0 d	5e	8e	v+2e+f	Operație asociată cu îmbinat-medial
m3	medial-3		v+2e+f	9e	7e	Triangulație adăugând două vârfuri pe muchie și un vârf în centrul fiecărei fețe.
b3	teşit-3	dm3	7e	9e	v+2e+f	Operatie duala dupa medial-3
		m3d	7e	9e	v+2e+f	Operație medial-3 după dual
		dm3d	v+2e+f	9e	7e	Operatie asociata cu medial-3
o3	orto-3	de 3	v +4 e	9e _	f + 4e	Operator Orth cu împărțirea muchiei cu 3
e3	extinde-3	face 3	f + 4e	9e _	v +4 e	operator de extindere cu împărțirea muchiilor cu 3
X	cruce		v + f + 3 e	10e _	6e _	O combinație a operațiunilor kis și subdivize . Muchiile inițiale sunt împărțite în jumătate și se formează fețele triunghiulare și patrulatere.
		dX	6e _	10e _	v + f + 3 e	Operațiune duală după cruce
		xd	6e _	10e _	v + f + 3 e	operare încrucișată după dual
		dXd	v + f + 3 e	10e _	6e _	Operație asociată cu cruce
m4	medial-4		v+3e+f	12e	8e	Triangulație cu 3 vârfuri adăugate la fiecare muchie și vârfuri în centrul fiecărei fețe.
u5	subdiviz-5		v + 8e	25e _	f +16 e	Muchii împărțite în 5 părți Acest operator împarte muchiile și fețele astfel încât să se formeze 6 triunghiuri în jurul fiecărui vârf nou.

Operatori chirali extinsi

Acești operatori nu pot fi generați generic din operațiunile de bază enumerate mai sus. Artistul geometric Hart a creat o operație pe care a numit -o elice .

p - " p ropeller " = elice (operator de rotație care creează quad -uri acolo unde sunt vârfurile). Această operație este auto-duală: dpX=pdX.

Operații chirale avansate

Operator	Nume	Construcție alternativă	culmi	coaste	fațete	Descriere
	„Sămânță”		v	e	f	Poliedrul inițial
rp = p _	elice		v + 2e	5e _	f + 2e	operație giroscopică urmată de ambo pe vârfurile din centrele fețelor originale
-	-	dp=pd	f + 2e	5e _	v + 2e	Aceleași vârfuri ca și în giroscop, dar marginile sunt formate în locul vârfurilor originale
-			4e _	7e _	v + 2e + f	Operația este similară cu snub , dar fețele originale au pentagoane în loc de triunghiuri în jurul perimetrului.
-	-	-	v + 2e + f	7e _	4e _
w = w2 = w2,1 rw = w	vârtej		v+4 e	7e _	f+ 2e	Operațiunea gyro urmată de trunchierea vârfurilor în centrul fețelor originale. Operația creează 2 noi hexagoane pentru fiecare muchie originală, poliedrul Goldberg (2,1) Operatorul derivat wrw transformă G(a,b) în G(7a,7b).
rv = v _	volum	dwd	f+ 2e	7e _	v+4 e	operator dual după învârtire sau snub urmat de sărut pe fețele originale. Operatorul vrv rezultat transformă poliedrul geodezic (a,b) în (7a,7b).
g3 rg3 = g3	giroscop-3		v + 6e	11 e	f + 4e	Operația giroscopică creează 3 pentagoane de-a lungul fiecărei margini sursei
s3 rs3 = s3	snub-3	dg 3 d = dg 3	f + 4e	11 e	v + 6e	Operația duală după gyro-3, operația de snub împărțind marginile în 4 triunghiuri mijlocii și cu triunghiuri în locul vârfurilor originale
w3.1 rw3.1 = w3.1	vârtej-3.1		v+ 8e	13e _	f+4 e	Operația creează 4 noi hexagoane pentru fiecare muchie originală, poliedrul Goldberg (3,1)
w3 = w3,2 rw3 = w3	vârtej-3,2		v+ 12e	19e _	f+ 6e	Operația creează 12 noi hexagoane pentru fiecare muchie originală, poliedrul Goldberg (3,2)

Operații care păstrează marginile originale

Aceste operații de expansiune părăsesc muchiile originale și permit operatorului să fie aplicat oricărui subset independent de fețe. Notația lui Conway menține un index suplimentar pentru aceste operații, indicând numărul de laturi ale fețelor implicate în operație.

Operator	sărut	ceașcă	o cana	mansardă	dantelă	miza	kis-kis
Exemplu	kC	UC	VC	lC	LC	KC	kkC
coaste	3e _	4 e - f 4	5 e - f 4	5e _	6e _	7e _	9e _
Imagine pe cub
Extensie	Piramidă	Dom	antidom	Prismă	antiprismă

Operatori Coxeter

Operatorii Coxeter / Johnson sunt uneori utili atunci când sunt amestecați cu operatorii Conway. Pentru claritate, în notația lui Conway, aceste operațiuni sunt date cu majuscule. Notația t Coxeter definește cercurile fierbinți ca indici ai unei diagrame Coxeter-Dynkin . Astfel, în tabel, capitalul T cu indici 0,1,2 definește operatori omogene din sămânța corectă. Indexul zero reprezintă vârfuri, 1 reprezintă muchiile și 2 reprezintă fețele. Pentru T = T 0,1 aceasta va fi o trunchiere normală, iar R = T 1 este o trunchiere completă sau operație de rectificare , la fel ca operatorul ambo al lui Conway. De exemplu, r{4,3} sau t 1 {4,3} este numele Coxeter pentru cuboctaedrul , iar cubul trunchiat este RC , la fel cu cubul ambo al lui Conway , aC .

Operațiuni extinse Coxeter

Operator	Exemplu	Nume	Construcție alternativă	culmi	coaste	fațete	Descriere
T0 _	, t 0 {4,3}	„Sămânță”		v	e	f	formă de semințe
R = T1 _	, t 1 {4,3}	rectifica	A	e	2e _	f + v	La fel ca ambo , noi vârfuri sunt adăugate în mijlocul muchiilor și noi fețe înlocuiesc vârfurile originale. Toate vârfurile au valență 4.
T2 _	, t 2 {4,3}	birectificare duală	d	f	e	v	Operația duală pentru poliedrul semințelor - fiecare vârf creează o nouă față
T = T0,1 _	, t 0,1 {4,3}	trunchia	t	2e _	3e _	v + f	Toate vârfurile sunt tăiate.
T 1.2	, t 1,2 {4,3}	bitruncate	z = td	2e _	3e _	v + f	La fel ca cu fermoarul
RR = T 0,2	, t 0,2 {4,3}	cantelare	aa = e	2e _	4e _	v + e + f	La fel ca extinde
TR = T 0,1,2	, t 0.1.2 {4.3}	nu pot alerga	ta	4e _	6e _	v + e + f	La fel ca teșirea

Semioperatori

Operatorul semi - sau semioperator al lui Coxeter , H (din jumătate ) , reduce numărul de laturi ale fiecărei fețe la jumătate și fețele quad în digoane cu două muchii care leagă cele două vârfuri, iar aceste două muchii pot fi sau nu înlocuite cu o singură muchie . De exemplu, jumătate de cub, h{4,3}, jumătate de cub, este HC reprezentând unul dintre cele două tetraedre. Ho abreviază ortho la ambo / Rectify .

Alți semi-operatori (semi-operatori ) pot fi definiți folosind operatorul H. Conway apelează operatorul Snub al lui Coxeter S , semi-snub definit ca Ht . Operatorul snub s al lui Conway este definit ca SR . De exemplu, SRC este un cub snub , sr{4,3}. Octaedrul snub Coxeter , s{3,4} poate fi definit ca SO , construcția simetriei pirită-edrică pentru un icosaedru obișnuit . Acest lucru este, de asemenea, în concordanță cu definiția unei antiprisme pătrate snub obișnuite ca SA 4.

Operatorul semi-giroscopic , G , este definit ca dHt . Acest lucru ne permite să definim operatorul de rotație Conway g (giroscopie) ca GR . De exemplu, GRC este un giro-cub, gC sau un icositetraedru pentagonal . GO definește un piritoedru cu simetrie piritedrică , în timp ce gT ( gyrotetraedr ) definește același poliedru topologic cu simetrie tetraedrică .

Ambii operatori S și G necesită ca politopul gol să aibă vârfuri de valență egală. În toți acești semi-operatori, există două opțiuni pentru alternarea vârfurilor pentru jumătatea operatorului . Aceste două construcții nu sunt în general identice din punct de vedere topologic. De exemplu, HjC definește fie un cub, fie un octaedru, în funcție de ce set de vârfuri este selectat.

Ceilalți operatori se aplică numai politopurilor cu fețe care au un număr par de muchii. Cel mai simplu operator este semi-join , care este conjugatul semi - operatorului , dHd .

Operatorul semi-orto , F , este conjugat cu semi-snub. Acesta adaugă un vârf la centrul feței și încrucișează toate marginile, dar conectează centrul de doar jumătate din margini cu margini noi, creând astfel noi fețe hexagonale. Fețele pătrate originale nu necesită un vârf central, ci necesită doar o margine prin față, creând o pereche de pentagoane. De exemplu, tetartoidul dodecaedrului poate fi construit ca FC .

Operatorul semi-expand , E , este definit ca Htd sau Hz . Operatorul creează fețe triunghiulare. De exemplu, EC creează o construcție cu simetrie piroedrică a pseudoicosaedrului .

Semioperatori pe poliedre cu fețe având un număr par de laturi

Operator	Nume	Construcție alternativă	culmi	coaste	chipuri	Descriere
H = H1 H2	semi ambo H alf 1 și 2		v /2	e - f 4	f - f 4 + v /2	Alternand , ștergând jumătate din vârfuri. Fețele patru ( f 4 ) sunt reduse la margini simple.
I = I1 I2	semi-trunchiați 1 și 2		v /2+ e	2e _	f + v /2	Trunchiază orice alt vârf
	semiac 1 și 2	dI	v /2+ f	2e _	e + v /2	Operația cu acul a fiecărui al doilea vârf
F = F1 F2	semi-orto Flex 1 și 2	dHtd = dHz dSd	v + e + f - f 4	3 e - f 4	e	Operațiunea duală după semi-expand - se creează noi vârfuri pe muchii și în centrele fețelor, 2 n -gonuri sunt împărțite în n hexagoane, fețele patrulatere ( f 4 ) nu vor conține un vârf central, deci se formează două fețe pentagonale.
E = E1 E2	semi-expand Eco 1 și 2	Htd = Hz dF = Sd dGd	e	3 e - f 4	v + e + f - f 4	Operațiunea duală după semi-orto - sunt create noi fețe triunghiulare. Fețele originale sunt înlocuite cu poligoane cu jumătate din laturi, patrulaterele ( f 4 ) sunt reduse la margini simple.
U = U 1 U 2	semi-dantelă C U p 1 și 2		v + e	4 e - f 4	2 e + f - f 4	Extensie de margine cu domuri .
V = V 1 V 2	semi-dantelă Anticup 3 și 4		v + e	5 e - f 4	3 e + f - f 4	Mărirea marginilor cu anti-dom
	semimediale 1 și 2	XdH = XJd	v + e + f	5e _	3e _	Operația medială alternativă în raport cu diagonalele
	semimediale 3 și 4		v + e + f	5e _	3e _	Operație alternativă medială în raport cu mediane (conectând punctele medii ale laturilor opuse)
	semi-teșit 1 și 2	dXdH = dXJd	3e _	5e _	v + e + f	Funcționarea teșită alternativă în raport cu diagonalele
	semi-teșit 3 și 4		3e _	5e _	v + e + f	Funcționarea teșită alternativă în raport cu mediane

Semi-operații pe poliedre cu vârfuri de valență pară

Operator	Nume	Construcție alternativă	culmi	coaste	chipuri	Descriere
J = J1 J2	semi-unire 1 și 2	dhd	v - v 4 + f /2	e - v 4	f /2	Operator conjugat la jumătate, alăturați operatorul pe fețe alternative. Vârfurile 4-valente ( v 4 ) sunt reduse la cele 2-valente și înlocuite cu o singură muchie.
	semi-kis 1 și 2	făcut	v + f /2	2e _	f /2+ e	Operațiunea sărut pe jumătate (alternativ, fără atingere de-a lungul unei margini) fețe
	semifermoar 1 și 2	ID	f /2+ e	2e _	v + f /2	Funcționare cu fermoar pe jumătate de fețe
S = S1 S2	semi-snub 1 și 2	Ht dFd	v - v 4 + e	3 e - v 4	f + e	Operația duală după semi-giroscopie este o operațiune de snub , rotind fețele originale în timp ce se adaugă noi fețe triunghiulare la golurile rezultate.
G = G1 G2	semi-giroscopul 1 și 2	dHt dS = Fd dEd	f + e	3 e - v 4	v - v 4 + e	Operația duală după semi-snub creează fețe pentagonale și hexagonale de-a lungul marginilor originale.
	semimediale 1 și 2	XdHd = XJ	3e _	5e _	v + e + f	Operație medială pe jumătate de fețe (margini care nu se ating).
	semi-teșit 1 și 2	dXdHd = dXJ	v + e + f	5e _	3e _	Operațiune de teșire pe jumătate (care nu ating marginile) fețelor

Subdiviziuni

Operația de subdiviziune împarte muchiile originale în n muchii noi, iar interiorul fețelor este umplut cu triunghiuri sau alte poligoane.

Subdiviziunea pătrată

Operatorul orto poate fi aplicat unei serii de puteri a două subdiviziuni patrulatere. Alte subdiviziuni pot fi obținute ca urmare a subdiviziunilor factorizate. Operatorul de elice, aplicat secvenţial, are ca rezultat o subdiviziune de 5-orth. Dacă sămânța are fețe non-quad, acestea rămân ca copii reduse pentru operatorii orto impari.

Exemple de cuburi

Orto		o 2 = o	o 3	o 4 = o 2	o 5 = prp	o 6 = oo 3	o 7	o 8 = o 3	o 9 \ u003d o 3 2	o 10 = oo 5 = oprp
Exemplu
Vârfurile	v	v + e + f	v +4 e	v + 7e + f	v + 12e	v + 17e + f	v + 24e	v + 31e + f	v + 40e	v + 63e + f
coaste	e	4e _	9e _	16e _	25e _	36e _	49e _	64e _	81e _	128e _
Fațete	f	2e _	f + 4e	8e _	f + 12e	18e _	f + 24e	32e _	f + 40e	64e _
Extinde (dual)		e 2 = e	e 3	e4 = e2 _ _	e 5 = dprp	e 6 = ee 3	e 7	e8 = e3 _ _	e 9 \ u003d e 3 2	e 10 = ee 5 = doprp
Exemplu

Subdiviziune hexagonală chirală

Operatorul de vârtej creează un poliedru Goldberg G(2,1) cu noi fețe hexagonale în jurul fiecărui vârf original. Două operații de vârtej consecutive creează G(3,5). În general, operația de vârtej poate transforma G( a , b ) în G( a +3 b ,2 a - b ) pentru a > b și în aceeași direcție chirală. Dacă direcțiile chirale sunt inversate, G( a , b ) devine G(2 a +3 b , a -2 b ) pentru a >=2 b și G(3 a + b ,2 b - a ) pentru a < 2 b .

Operatorii whirl- n formează politopii Goldberg ( n , n -1) și pot fi definiți prin împărțirea muchiilor politopului gol în 2 n -1 sub-muchii.

Rezultatul operației whirl- n și inversul său formează un (3 n 2 -3 n +1,0) poliedru Goldberg . wrw este (7,0), w 3 rw 3 este (19,0), w 4 rw 4 este (37,0), w 5 rw 5 este (61,0) și w 6 rw 6 este (91, 0). Rezultatul a două operații vârtej- n este (( n -1)(3 n -1),2 n -1) sau (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). Produsul lui w a cu w b dă (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), iar w a prin inversul w b dă (3ab-a-2b+1,ab) pentru a ≥b.

Produsul a doi operatori identici vârtej- n formează politopul Goldberg (( n -1)(3 n -1),2 n -1). Produsul k-whirl și zip este (3k-2,1).

vârtej- n operatori

Nume	sămânță	vârtej	Vârtej-3	Vârtej-4	Vârtej-5	Vârtej-6	Vârtej-7	Vârtej-8	Vârtej-9	Vârtej-10	Vârtej-11	Vârtej-12	Vârtej-13	Vârtej-14	Vârtej-15	Vârtej-16	Vârtej-17	Vârtej-18	Vârtej-19	Vârtej-20	vârtej- n
Operator (compus)	-	w=w2	w3	w4	w5	w6 wrw 3.1	w7	w8 w3,1w3,1	w9 ww5,1	w10	w11	w12	w13 ww7.2	w14	w15	w16 ww9.2	w17 w3w6,1	w18	w19 w3,1w7,3	w20 ww11.3	w n
poliedrul Goldberg	(1,0)	(2.1)	(3,2)	(4,3)	(5,4)	(6,5)	(7,6)	(8,7)	(9,8)	(10,9)	(11.10)	(12.11)	(13,12)	(14,13)	(15.14)	(16.15)	(17,16)	(18.17)	(19.18)	(20.19)	( n , n - 1)
descompunerea T	unu	7	19	37	61	91 7×13	127	169 13×13	217 7×31	271	331	397	469 7×67	547	631	721 7×103	817 19×43	919	1027 13×79	1141 7×163	3n ( n -1 ) +1
Exemplu
Vertex	v	v +4 e	v + 12e	v + 24e	v + 40e	v + 60e	v +84 e	v +112 e	v +144 e	v +180 e	v + 220e	v +264 e	v +312 e	v +364 e	v +420 e	v +480 e	v +544 e	v +612 e	v +684 e	v +760 e	v + 2n ( n -1) e
coaste	e	7e _	19e _	37 e	61e _	91 e	127e _	169 e	217e _	271e _	331e _	397 e	469 e	547 e	631 e	721e _	817e _	919e _	1027 e	1141 e	e + 3n ( n -1) e
Fațete	f	f +2 e	f +6 e	f + 12e	f + 20e	f + 30e	f + 42e	f + 56e	f + 72e	f +90 e	f + 110e	f +132 e	f +156 e	f + 182e	f +210 e	f + 240e	f + 272e	f + 306e	f + 342e	f + 380e	f + n ( n - 1) e
w n w n	(1,0)	(5,3)	(16,5)	(33,7)	(56,9)	(85,11)	(120,13)	(161,15)	(208,17)	(261,19)	(320,21)	(385,23)	(456,25)	(533,27)	(616,29)	(705,31)	(800,33)	(901,35)	(1008,37)	(1121,39)	(( n - 1)( 3n -1), 2n - 1)
w n r w n	(1,0)	(7,0)	(19,0)	(37,0)	(61,0)	(91,0)	(127,0)	(169,0)	(217,0)	(271,0)	(331,0)	(397,0)	(469,0)	(547,0)	(631,0)	(721,0)	(817,0)	(919,0)	(1027,0)	(1141,0)	(1+ 3n ( n -1),0)
w n z	(1,1)	(4,1)	(7,1)	(10,1)	(13,1)	(16,1)	(19,1)	(22,1)	(25,1)	(28,1)	(31,1)	(34,1)	(37,1)	(40,1)	(43,1)	(46,1)	(49,1)	(52,1)	(55,1)	(58,1)	( 3n -2,1)

Subdiviziune triangulată

Operația u n împarte fețele în triunghiuri împărțind fiecare muchie în n părți, numită diviziunea n - frecvență a poliedrului geodezic al lui Buckminster Fuller 2] .

Operatorii Conway pe poliedre pot construi multe dintre aceste subdiviziuni.

Dacă toate fețele originale sunt triunghiuri, noile poliedre vor avea, de asemenea, toate fețele ca triunghiuri, iar teselațiile triunghiulare sunt create în locul fețelor originale . Dacă poliedrele originale au fețe cu mai multe laturi, toate fețele noi nu vor fi neapărat triunghiuri. În astfel de cazuri, poliedrul poate fi supus mai întâi operației kis cu noi vârfuri în centrul fiecărei fețe.

Exemple de subdiviziuni într-un cub

Operator	tu 1	u 2 =u	u3 = x	u 4 =uu	u 5	u 6 =ux	u 7 \u003d vrv	u 8 =uuu	u9 = xx
Exemplu
Notație Conway	C Arhivat pe 2 februarie 2017 la Wayback Machine	uC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	xC Arhivat pe 16 martie 2017 la Wayback Machine	uuC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	u 5 C	uxC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	vrvC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	uuuC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	xxC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine
Vârfurile	v	v+e	v+e+f	v+4e	v+8e	v+11e+f	v+16e	v+21e	v+26e+f
coaste	e	4e	9e	16e	25e	36e	49e	64e	81e
Fațete	f	f+2e	7e	f+8e	f+16e	24e	f+32e	f+42e	54e
Triangulație completă
Operator	tu 1 k	u 2 k = uk	u 3 k =xk	u 4 k =uuk	tu 5 k	u 6 k =uxk	u 7 k \u003d vrvk	u 8 k =uuuk	u 9 k =xxk
Exemplu
Conway	kC Arhivat pe 5 februarie 2017 la Wayback Machine	ukC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	xkC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	uukC Arhivat pe 16 martie 2017 la Wayback Machine	u 5 kC	uxkC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	vrvkC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine	uuukC Arhivat pe 16 martie 2017 la Wayback Machine	xxkC Arhivat pe 15 martie 2017 la Wayback Machine
Goldberg dublu	{3,n+} 1,1	{3,n+} 2,2	{3,n+} 3,3	{3,n+} 4.4	{3,n+} 5.5	{3,n+} 6.6	{3,n+} 7.7	{3,n+} 8.8	{3,n+} 9.9

Poliedre geodezice

Operațiunile lui Conway pot duplica unele dintre poliedrele Goldberg și poliedre duale cu cele geodezice. Numărul de vârfuri, muchii și fețe ale poliedrului Goldberg G ( m , n ) poate fi calculat din m și n , iar numărul de triunghiuri noi din fiecare triunghi inițial se calculează prin formula T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 − mn . Construcțiile ( m ,0) și ( m , m ) sunt enumerate sub notația pentru operațiunile Conway.

Clasa I

Pentru politopii Goldberg duali, operatorul uk este definit aici ca o diviziune a fețelor cu subdiviziunea muchiilor în k părți . În acest caz, operatorul Conway u = u 2 , iar operatorul său adjunct dud este operatorul teșit , c . Acest operator este folosit în grafica computerizată , în schema de subdiviziune Loop . Operatorul u 3 este dat de operatorul Conway kt = x , iar operatorul său adjunct y = dxd = tk . Produsul a doi operatori de vârtej cu inversare de chiralitate, wrw sau w w , dă o subdiviziune cu 7 sub forma unui politop Goldberg G(7,0), deci u 7 = vrv . Subdiviziunile mai mici și operațiile de vârtej pe perechi chirale pot construi forme suplimentare de clasa I. Operația w(3,1)rw(3,1) dă politopul Goldberg G(13,0). Operația w(3,2)rw(3,2) dă G(19,0).

Clasa I: Operații de subdiviziune pe icosaedru ca poliedre geodezice

( m ,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	(9,0)	(10,0)	(11,0)	(12,0)	(13,0)	(14,0)	(15,0)	(16,0)
T	unu	patru	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256
Operațiune Compozit	tu 1	u 2 = u = dcd	u 3 \ u003d x \ u003d kt	u 4 = u 2 2 = dccd	u 5	u 6 = u 2 u 3 = dctkd	u 7 = v v = dwrwd	u 8 = u 2 3 = dcccd	u 9 = u 3 2 = ktkt	u 10 = u 2 u 5	u 11	u 12 = u 2 2 u 3 = dccdkt	u 13 v 3.1 v 3.1	u 14 = u 2 u 7 = uv v = dcwrwd	u 15 = u 3 u 5 = u 5 x	u 16 = u 2 4 = dccccd
fata triunghiulara
Icosaedrul Conway Geodezic	Am arhivat 30 decembrie 2016 la Wayback Machine { 3.5+ } 1.0	uI = k5aI Arhivat 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 2.0	xI = ktI Arhivat la 30 decembrie 2016 la Wayback Machine {3.5+} 3.0	u 2 Am arhivat 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine { 3.5+ } 4.0	{3,5+} 5,0	uxI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 6.0	vrvI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 7.0	u 3 Am arhivat 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine { 3.5+ } 8.0	x 2 Am arhivat 8 ianuarie 2018 la Wayback Machine { 3.5+ } 9.0	{3,5+} 10,0	{3,5+} 11,0	u 2 x I Arhivat 10 ianuarie 2017 la Wayback Machine { 3.5+ } 12.0	{3,5+} 13,0	uvrvI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 14.0	{3,5+} 15,0	u 4 Am arhivat 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine { 3.5+ } 16.0
Operator dublu		c	y = tk	cc	de la 5	cy = ctk	ww = wrw _	ccc	y 2 = tktk	cc5 _	de la 11	ccy = cctk	w 3,1 w 3,1	cw w = cwrw	c 5 y	cccc
Dodecaedrul Conway Goldberg	D Arhivat la 30 decembrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 1.0	cD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 2.0	yD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 3.0	ccD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 4.0	c 3 D {5+,3} 5,0	cyD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 6.0	wrwD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 7.0	cccD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 8.0	y 2 D Arhivat la 30 decembrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 9.0	cc 5 D {5+,3} 10,0	c 11 D {5+,3} 11,0	ccyD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 12.0	w3,1rw3,1D {5+,3} 13,0	cwrwD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 14.0	c 5 yD {5+,3} 15,0	ccccD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 pe Wayback Machine G{5+,3} 16.0

Clasa II

O diviziune ortogonală poate fi definită și folosind operatorul n = kd . Operatorul transformă politopul geodezic ( a , b ) în ( a +2 b , a - b ) pentru a > b . Convertește ( a ,0) în ( a , a ) și ( a , a ) în (3 a ,0). Operatorul z = dk face același lucru pentru poliedrele Goldberg.

Clasa II: Operații de subdiviziune ortogonală

( m , m )	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	(9,9)	(10,10)	(11.11)	(12.12)	(13,13)	(14,14)	(15.15)	(16,16)
T = m 2 × 3	3 1×3	12 4×3	27 3×3	48 24×3	75 25×3	108 36×3	147 49×3	192 64×3	243 81×3	300 100×3	363 121×3	432 144×3	507 169×3	588 196×3	675 225×3	768 256×3
Operațiune	u 1 n n = kd	u 2 n = un = dct	u 3 n = xn = ktkd	u 4 n = u 2 2 n = dcct	u 5 n	u 6 n = u 2 = u 3 n = dctkt	u 7 n = v v n = dwrwt	u 8 n = u 2 3 n = dccct	u 9 n = u 3 2 n = ktktkd	u 10 n = u 2 u 5 n	u 11 n	u 12 n = u 2 2 u 3 n = dcctkt	u 13 n	u 14 n = u 2 u 7 n = dcwrwt	u 15 n = u 3 u 5 n	u 16 n = u 2 4 n = dcccct
fata triunghiulara
Icosaedrul Conway Geodezic	nI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 1.1	unI Arhivat la 30 decembrie 2016 la Wayback Machine {3.5+} 2.2	xnI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 3.3	u 2 nI Arhivat la 30 decembrie 2016 la Wayback Machine {3.5+} 4.4	{3,5+} 5,5	uxnI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 6.6	vrvnI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 7.7	u 3 nI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 8.8	x 2 nI Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 9.9	{3.5+} 10.10	{3.5+} 11.11	u 2 xnI Arhivat 10 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 12.12	{3.5+} 13.13	dcwrwdnI Arhivat 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 14.14	{3.5+} 15.15	u 4 nI {3,5+} 16,16
Operator dublu	z = dk	cz = cdk	yz = tkdk	c 2 z = ccdk	c5z	cyz = ctkdk	w w z = wrwdk	c 3 z = cccdk	y 2 z = tktkdk	cc5z	c11z	c 2 yz = c 2 tkdk	c13z	cwwz = cwrwdk _ _	c3c5z	c 4 z = ccccdk
Dodecaedrul Conway Goldberg	zD Arhivat pe 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 1.1	czD Arhivat 7 aprilie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 2.2	yzD Arhivat la 30 decembrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 3.3	cczD Arhivat pe 7 aprilie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 4.4	{5+,3} 5.5	cyzD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 6.6	wrwzD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 7.7	c 3 zD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 8.8	y 2 zD Arhivat 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 9.9	{5+,3} 10.10	G{5+,3} 11.11	ccyzD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 12.12	{5+,3} 13.13	cwrwzD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine G{5+,3} 14.14	{5+,3} 15.15	cccczD Arhivat pe 9 ianuarie 2017 la Wayback Machine {5+,3} 16.16

Clasa III

Majoritatea politopurilor geodezice și duale poliedrelor Goldberg G(n,m) nu pot fi construite folosind operatori derivați din operatorii Conway. Operația de vârtej creează un poliedru Goldberg G(2,1) cu noi fețe hexagonale în jurul fiecărui vârf original, iar n -vârtej produce G( n , n -1). Pe formele cu simetrie icosaedrică , t5g este echivalent în acest caz cu vârtej. Operația v (= v olute = rotire) reprezintă subdiviziunea triunghiulară duală la vârtej . Pe formele icosaedrice, operația poate fi efectuată folosind operatorul derivat k5s , pentakis snub .

Două operații de vârtej consecutive creează G(3,5). În general, operația de vârtej poate transforma G( a , b ) în G( a +3 b ,2 a - b ) pentru a > b cu aceeași direcție chirală. Dacă direcția chirală este inversată, G( a , b ) devine G(2 a +3 b , a -2 b ) pentru a >=2 b , iar G(3 a + b ,2 b - a ) pentru a < 2 b .

Clasa a III-a: Operații de împărțire în părți inegale

Operațiune Compozit	v 2,1 = v	v 3.1	v 3,2 = v 3	v4,1 = vn _	v 4,2 = vu	v 5.1	v 4,3 = v 4	v 5,2 = v 3 n	v 6.1	v 6,2 = v 3,1 u	v 5,3 = v	v 7,1 = v 3 n	v 5,4 = v 5	v 6.3 = vx	v 7.2
T	7	13	19	21 7×3	28 7×4	31	37	39 13×3	43	52 13×4	49 7×7	57 19×3	61	63 9×7	67
fata triunghiulara
Icosaedrul Conway Geodezic	vI {3.5+} 2.1	v 3.1 I {3.5+} 3.1	v 3 I {3.5+} 3.2	vnI Arhivat 3 februarie 2017 la Wayback Machine {3.5+} 4.1	vui {3.5+} 4.2	{3.5+} 5.1	v 4 I {3.5+} 4.3	v 3 nI {3,5+} 5,2	{3.5+} 6.1	v 3.1uI { 3.5+ } 6.2	vvl {3.5+} 5.3	v 3 nI {3,5+} 7.1	v 5 I {3.5+} 5.4	vxI Arhivat 8 ianuarie 2018 la Wayback Machine {3.5+} 6.3	v 7.2 I {3.5+} 7.2
Operator	w	w 3.1	w 3	wz	toaleta	w 5.1	w 4	w 3,1 z	w 6.1	w 3,1 s	www	w 3 z	w 5	wy	w 7.2
Dodecaedrul Conway	wD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 2.1	w 3.1 D {5+,3} 3.1	w 3 D {5+,3} 3,2	wzD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 4.1	wcD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 4.2	w 5.1 D {5+,3} 5.1	w 4 D {5+,3} 4.3	w 3 zD {5+,3} 5.2	{5+,3} 6.1	w 3,1 cD {5+,3} 6,2	wwD Arhivat 21 octombrie 2016 la Wayback Machine {5+,3} 5.3	w 3 zD {5+,3} 7.1	w 5 D {5+,3} 5.4	wyD Arhivat 8 ianuarie 2018 la Wayback Machine {5+,3} 6.3	w 7,2 D {5+,3} 7,2

Alte operatii de clasa a III-a: Operatii de subdivizare in parti inegale

Operațiune Compozit	v 8.1	v 6,4 = v 3 u	v 7.3	v 8.2 = wcz	v 6.5 = v 6 = vvr 3.1	vv 9.1 = vv 3.1	v 7.4	v 8.3	v 9.2	v 7.5	v 10,1 = v 4 n	v 8,4 = vuu	v 9,3 = v 3,1 x	v 7,6 = v 7	v 8.6 v 4 u
T	73	76 19×4	79	84 7×4×3	91 13×7		93	97	103	109	111 37×3	112 7×4×4	117 13×9	127	148 37×4
fata triunghiulara
Icosaedrul Conway Geodezic	v 8.1 I {3.5+} 8.1	v 3 ui { 3.5+ } 6.4	v 7.3 I {3.5+} 7.3	vunI {3.5+} 8.2	vv3.1I {3.5+} 6.5	vrv3.1I {3.5+} 9.1	v 7.4 I {3.5+} 7.4	v 8.3 I {3.5+} 8.3	v 9.2 I {3.5+} 9.2	v 7.5 I {3.5+} 7.5	v 4 nI {3,5+} 10,1	vuui {3.5+} 8.4	v 3.1xI { 3.5+ } 9.3	v 7 I {3,5+} 7,6	v 4 ui { 3.5+ } 8.6
Operator	w 8.1	wrw 3.1	w 7.3	w3,1c	wcz	w 3,1 w	w 7.4	w 8.3	w 9.2	w 7,5	w 4 z	wcc	w 3,1 y	w 7	w 4 c
Dodecaedrul Conway	w 8.1 D {5+,3} 8.1	w 3 cD {5+,3} 6.4	w 7,3 D {5+,3} 7,3	wczD {5+,3} 8.2	ww3,1D {5+,3} 6.5	wrw3,1D {5+,3} 9,1	w 7,4 D {5+,3} 7,4	w 8.3 D {5+,3} 8.3	w 9,2 D {5+,3} 9,2	w 7,5 D {5+,3} 7,5	w4zD { 5 +,3} 10.1	wccD {5+,3} 8.4	w 3,1 yD {5+,3} 9,3	w 7 D {5+,3} 7.6	w 4 cD {5+,3} 8,6

Exemple de simetrie de poliedre

Repetarea operațiilor, începând cu o formă simplă, poate da poliedre cu un număr mare de fețe care păstrează simetria seminței.

Simetrie tetraedrică

t6dtT
atT
tatT
stT
XT (10e)
dxt (10e)
m3T
b3T
dHccC
dFtO
Fto

Simetrie octaedrică

daC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (2e)
cC (4e) * Arhivat la 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine
dcC (4e) * Arhivat pe 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine
cO Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (4e)
akC (6e) * Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine
dakC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (6e)
m3C (6e)
m3O (6e)
b3C (6e)
b3O(6e)
atC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (6e)
qC(6e)
edaC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (8e)
dktO=tkC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (9e)
taaC (12e) * Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine
XO (10e)
XC (10e)
dXO (10e)
dXC (10e)
cdkC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (12e)
ccC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (16e)
tkdkC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (18e)
tatO Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (18e)
tatC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (18e)
l6l8taC Arhivat 4 martie 2017 la Wayback Machine (22e)
ccdkC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (48e)
wrwC Arhivat pe 16 ianuarie 2017 la Wayback Machine (49e)
cccC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (64e)
tktkC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (81e)
H1taC
H2taC
dH1taC
dH2taC

chiral

wC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (7e)
saC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (10e)
gaC Arhivat pe 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (10e)
saC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (10e)
stO Arhivat pe 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (15e)
stC Arhivat 4 ianuarie 2017 la Wayback Machine (15e)

Simetrie izoedrică

kD Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine = daD (2e)
kD (3e) * Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
dkD=tI (3e) * Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
cI(4e) * Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
t5daD = cD (4e) * Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine
dcI (4e) * Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine
dakD (6e) * Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine
atD Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (6e)
atI = akD (6e) * Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine
qD Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (6e)
m3D (6e)
m3I (6e)
b3D (6e)
b3I (6e)
edaD (8e) * Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
tkdD (9e) * Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
gaD (10e) * Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
XI (10e)
XD (10e)
dXI(10e)
dXD (10e)
teD (12e) * Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine
cdkD Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (12e)
m3aI (12e)
tatI Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine = takD (18e)
tatD Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (18e)
atkD Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (18e)
m3tD (18e)
qtI Arhivat 4 martie 2017 la Wayback Machine = t5t6otI (18e)
dqtI Arhivat 4 martie 2017 la Wayback Machine = k5k6etI (18e)
actI Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (24e)
kdktI Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (27e)
tktI Arhivat 3 martie 2017 la Wayback Machine (27e)
dctkD Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine (36e)
ctkD Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine (36e)
k6k5tI Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
kt5daD Arhivat pe 3 martie 2017 la Wayback Machine
dHtmD
F1taD
F2taD
dF1taD
dF2taD

chiral

dsD (5e)
SD (5e)
wD(7e)
k5sD (7e)
sAD (10e)
sAD (10e)
g3D (11e)
s3D (11e)
g3I (11e)
s3I (11e)
stI (15e)
stD(15e)
wtI(21e)
k5k6stI (21e)

Simetrie diedrică

t4daA4=cA4
t4daA4=cA4 (lateral)
t4daA4=cA4 (sus)
tA4
tA5
htA2
htA3=I
htA4
htA5
eP3 = aaP3
eA4 = aaA4

Simetria toroidală

Placile toroidale există pe un tor plat , pe suprafața unui duocilindr în spațiul 4D, dar pot fi proiectate în spațiul 3D ca un tor obișnuit . Aceste plăci sunt similare din punct de vedere topologic cu subseturile de plăci din planul euclidian.

1x1 tor pătrat regulat, {4,4} 1,0
Torul pătrat obișnuit 4x4, {4,4} 4,0
tQ24×12 proiecție pe torus
proiecția torusului taQ24×12
proiectie actQ24×8 pe torus
tH24×12 proiecție torus
taH24×8 proiectie torus
kH24×12 proiectie torus

Simetrie pătrată euclidiană

tQ
cQ
akQ
HDXQ
dHdXQ

Simetrie triunghiulară euclidiană

tH
cΔ
CH
ctH
dakH
aaaH
aaaH, echilateral

Vezi și

Poliedre uniforme
Algoritmi de grafică pe computer :
- Subdiviziunea suprafeței Du-Sabine –operator de extindere
- Algoritmul de subdiviziune a suprafeței Catmull-Clark - operator orto
poliedru Godberg
Symmetrohedron

Note

↑ Cumulare - de la Wolfram MathWorld . Consultat la 25 octombrie 2017. Arhivat din original la 24 noiembrie 2017. (nedefinit)
↑ Pugh, 1976 , p. 63.

Literatură

George W. Hart , Sculpture based on Propellerized Polyhedra , Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, august, 2000, pp. 61–70 [1] Arhivat la 3 noiembrie 2017 la Wayback Machine
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Capitolul 21: Numirea poliedrelor și a plăcilor arhimediene și catalane // Simetriile lucrurilor. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Vizualizarea notației poliedrice Conway // Academia Mondială de Știință, Inginerie și Tehnologie 50. - 2009.
Anthony Pugh. Capitolul 6, Poliedrul geodezic // Poliedre: o abordare vizuală . - 1976. - S. p.63.

Link -uri

Interpretul Conway al lui George Hart Arhivat 29 noiembrie 2014 la Wayback Machine : generează poliedre în VRML , luând notația Conway ca intrare. Include, de asemenea, explicații utile ale operațiunilor.
- Nume poliedre arhivate pe 12 noiembrie 2020 la Wayback Machine
Trunchierea vârfurilor și a marginilor solidelor platonice și arhimediene care duc la poliedre tranzitive la vârfuri Arhivat 16 martie 2019 la Wayback Machine Livio Zefiro
polyHédronisme Arhivat 25 aprilie 2012 la Wayback Machine : generează poliedre în pânza HTML5, luând notația Conway ca intrare
Weisstein, Eric W. Conway Polyhedron Notation (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Notația lui John Conway Arhivată la 3 februarie 2018 la Wayback Machine Vizualizarea notării poliedrelor Conway Arhivată la 9 aprilie 2017 la Wayback Machine
Weisstein, Eric W. Truncation (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld . (trunchia)
Weisstein, Eric W. Rectificare (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld . (ambo)
Weisstein, Eric W. Cumulation or Apiculation (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld . (kis)
Operatori Conway, PolyGloss, Wendy Krieger Arhivat 22 octombrie 2017 la Wayback Machine
Solide derivate

Poliedre

Corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte