Notaţie

Sisteme numerice în cultură
indo-arabă
arabă tamilă birmană	Khmer Lao Mongolian Thai
Est asiatic
Chineză Japoneză Suzhou Coreeană	Bețe de numărat vietnameze
Alfabetic
Abjadia armeană Aryabhata greacă chirilică	Akshara Sankhya , evreică etiopiană georgiană
Alte
babilonian egiptean etrusc roman danubian	Attic Kipu Mayan Aegean KPPU Simboluri
pozițional
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-pozițional
simetric
sisteme mixte
Fibonacci
nepozițională
Singular (unar)

Sistemul numeric ( sistemul numeric englezesc sau sistem de numerație ) este o metodă simbolică de scriere a numerelor , reprezentând numere folosind caractere scrise .

Notaţie:

oferă reprezentări ale unui set de numere ( întregi și/sau reale );
dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);
reflectă structura algebrică și aritmetică a numerelor.

Sistemele numerice sunt împărțite în:

pozițional ( ing. sistem pozițional , notație loc-valoare );
nepozițională;
amestecat.

Sisteme numerice poziționale

În sistemele de numere poziționale, același semn numeric ( cifră ) dintr-o intrare de număr are semnificații diferite în funcție de locul ( cifră ) în care se află. Invenția numerotării poziționale bazată pe semnificația locală a cifrelor este atribuită sumerienilor și babilonienilor ; o astfel de numerotare a fost dezvoltată de hinduși și a avut consecințe inestimabile în istoria civilizației umane. Aceste sisteme includ sistemul de numere zecimal modern , a cărui apariție este asociată cu numărarea pe degete. În Europa medievală, a apărut prin negustorii italieni, care la rândul lor l-au împrumutat de la arabi.

Sistemul de numere pozițional este de obicei înțeles ca sistemul de numere -ari, care este definit de un număr întreg , numit baza sistemului de numere. Un întreg fără semn în sistemul de numere -ari este reprezentat ca o combinație liniară finită de puteri ale numărului : $b$ $b>1$ $X$ $b$ $b$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, unde sunt numere întregi, numite cifre , care satisfac inegalitatea .

a_{k}

0\leq a_{k}\leq (b-1)

Fiecare grad dintr-o astfel de înregistrare este numit factor de ponderare al categoriei . Vechimea cifrelor și a cifrelor corespunzătoare acestora este determinată de valoarea indicatorului (numărul cifrei). De obicei, zerourile de început sunt omise în numerele diferite de zero. $b^{k}$ $k$

Dacă nu există discrepanțe (de exemplu, atunci când toate cifrele sunt prezentate sub formă de caractere scrise unice), numărul este scris ca o secvență a cifrelor sale, enumerate în ordinea descrescătoare a priorității cifrelor de la stânga la dreapta: $X$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.

De exemplu, numărul o sută trei este reprezentat în sistemul numeric zecimal ca:

103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.

Cele mai frecvent utilizate sisteme poziționale sunt:

2 - binar (la matematică discretă , informatică , programare );
3 - ternar ;
8 - octal ;
10 - zecimală (folosită peste tot);
12 - duozecimal (numărând în zeci);
16 - hexazecimal (utilizat în programare , informatică );
20 - vigesimal ;
60 - sexagesimal ( unități de timp , măsurare a unghiurilor și, în special, coordonate, longitudine și latitudine ).

În sistemele poziționale, cu cât baza sistemului numeric este mai mare , cu atât sunt necesare mai puține cifre (adică cifre de scris ) când se scrie un număr.

Sisteme de numere mixte

Sistemul de numere mixte este o generalizare a sistemului de numere -ary și, de asemenea, se referă adesea la sisteme de numere poziționale. Baza sistemului de numere mixte este o succesiune crescătoare de numere și fiecare număr din acesta este reprezentat ca o combinație liniară : $b$ $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $X$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}

, unde se impun unele restricții asupra coeficienților , care, ca și înainte, se numesc cifre .

a_{{k}}

Înregistrarea unui număr într-un sistem numeric mixt este enumerarea cifrelor acestuia în ordinea descrescătoare a indicelui , începând de la primul diferit de zero. $X$ $k$

În funcție de tip , în funcție de sistemele de numere mixte, pot fi putere , exponențial etc. Când pentru unii , sistemul de numere mixt coincide cu sistemul de numere exponențial -ari. $b_{k}$ $k$ $b_{k}=b^{k}$ $b$ $b$

Cel mai faimos exemplu de sistem numeric mixt este reprezentarea timpului ca număr de zile, ore, minute și secunde. În acest caz, valoarea „ zile, ore, minute, secunde” corespunde valorii secundelor. $d$ $h$ $m$ $s$ $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$

Sistemul numeric factorial

În sistemul de numere factoriale , bazele sunt succesiunea factorilor , iar fiecare număr natural este reprezentat ca: $b_{k}=k!$ $X$

x=\sum _{k=1}^{n}d_{k}k!

, unde .

0\leq d_{k}\leq k

Sistemul de numere factoriale este folosit la decodarea permutărilor cu liste de inversiuni : având un număr de permutare, îl puteți reproduce singur astfel: numărul de permutare (numerotarea începe de la zero) este scris în sistemul de numere factoriale, în timp ce coeficientul pe număr. va indica numărul de inversiuni pentru un element din acel set, în care se fac permutări (numărul de elemente mai mic decât , dar în dreapta acestuia în permutarea dorită). $i!$ $i+1$ $i+1$

Exemplu: luați în considerare un set de permutări a 5 elemente, sunt 5 în total! = 120 (de la permutarea cu numărul 0 - (1,2,3,4,5) la permutarea cu numărul 119 - (5,4,3,2,1)), găsim permutarea cu numărul 100:

100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;

fie — coeficientul numărului , apoi , , , atunci: numărul elementelor mai mic decât 5, dar stând în dreapta este 4; numărul de elemente mai mic decât 4, dar în dreapta este 0; numărul de elemente mai mic de 3, dar în dreapta este 2; numărul de elemente mai mic decât 2, dar în dreapta este 0 (ultimul element din permutare este „pus” în singurul loc rămas) - astfel, permutarea cu numărul 100 va arăta astfel: (5,3,1, 2,4) Verificarea acestei metode se poate face prin numărarea directă a inversiilor pentru fiecare element de permutare. $t_{i}$ $i!$ $t_{4}=4$ $t_{3}=0$ $t_{2}=2$ $t_{1}=0$

Sistemul de numere Fibonacci

Sistemul de numere Fibonacci se bazează pe numerele Fibonacci . Fiecare număr natural din el este reprezentat ca: $n$

n=\sum _{k}f_{k}F_{k}

, unde sunt numerele Fibonacci, , în timp ce coeficienții au un număr finit de unități și nu există două unități pe rând.

F_{k}

f_{k}\în \{0,1\}

f_{k}

Sisteme numerice nepoziționale

În sistemele de numere non-poziționale, valoarea pe care o reprezintă o cifră nu depinde de poziția în număr. În acest caz, sistemul poate impune restricții asupra poziției numerelor, de exemplu, astfel încât acestea să fie aranjate în ordine descrescătoare.

Cele mai comune sisteme de numere non-poziționale astăzi sunt cifrele romane .

Sistem de numere binomiale

În sistemul numeric binomial numărul x este reprezentat ca o sumă de coeficienți binomiali :

x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \alege k}

, Unde

0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}.

Pentru orice valoare fixă , fiecare număr natural este reprezentat într-un mod unic. [unu] $n$

Sistemul de clasă reziduală (SOC)

Reprezentarea unui număr în sistemul de clase de rest se bazează pe conceptul de reziduu și teorema chineză a restului . RNS este definit de un set de module coprime perechi cu un produs, astfel încât fiecare număr întreg din interval este asociat cu un set de reziduuri , unde $(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})$ $M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}$ $X$ $[0,M-1]$ $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};

x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};

…

x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.

În același timp, teorema chineză a restului garantează unicitatea reprezentării pentru numerele din intervalul . $[0,M-1]$

În RNS, operațiile aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) sunt efectuate component cu component dacă se știe că rezultatul este un număr întreg și se află și în . $[0,M-1]$

Dezavantajele RNS sunt capacitatea de a reprezenta doar un număr limitat de numere, precum și lipsa algoritmilor eficienți pentru compararea numerelor reprezentate în RNS. Comparația se realizează de obicei prin conversia argumentelor din RNS într-un sistem de numere mixt în baze . $(m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})$

Sistemul numeric Stern-Brocot

Sistemul de numere Stern-Brocot este o modalitate de a scrie numere raționale pozitive bazate pe arborele Stern-Brocot .

Vezi și

Note

↑ Lando S.K. Capitolul 1. Problema 1.13 // Prelegeri despre funcțiile generatoare . - ed. a 3-a, Rev. - M . : MTsNMO , 2007. - 144 p. - ISBN 978-5-94057-042-4 . (link indisponibil)

Link -uri

Gashkov SB Sisteme numerice și aplicarea lor . - M .: MTSNMO , 2004. - ( Biblioteca „Educația matematică” ). Arhivat pe 12 ianuarie 2014 la Wayback Machine
Fomin SV Sisteme numerice . — M .: Nauka, 1987. — 48 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ).
Yaglom I. Sisteme numerice // Kvant . - 1970. - Nr 6 . - S. 2-10 .
Numerale și sisteme de numere . Enciclopedie online în jurul lumii.
Stakhov A. Rolul sistemelor numerice în istoria calculatoarelor . Arhivat din original la 1 mai 2009.
Mikushin A.V. Sisteme numerice. Curs de prelegeri „Dispozitive digitale și microprocesoare”
Butler JT, Sasao T. Sisteme de numere redundante cu valori multiple Articolul tratează sistemele de numere care folosesc cifre mai mari decât unu și permit redundanța în reprezentarea numerelor

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Brockhaus și Efron in jurul lumii Micul Brockhaus și Efron croat Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4117700-9 J9U : 987007538744805171 LCCN : sh85093233 NDL : 00762396 NKC : ph128225