Prismă (geometrie)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Multe prisme uniforme

Prismă hexagonală

Tip de

Poliedru uniform

Proprietăți

poliedru convex tranzitiv vârf

Combinatorică

Elemente

3 n muchii
2 n vârfuri

Fațete

Total - 2+ n
2 {n}
n {4}

Configurația vârfurilor

4.4.n

Clasificare

{n}×{} sau t {2, n }

Grupul de simetrie

D n h , [ n ,2], (* n 22), ordinul 4 n

Fișiere media la Wikimedia Commons

O prismă ( lat. prismă din alt grecesc πρίσμα „ceva tăiat”) este un poliedru ale cărui două fețe sunt poligoane congruente (egale) situate în planuri paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme având laturile comune cu aceste poligoane. Aceste paralelograme sunt numite fețele laterale ale prismei, iar celelalte două poligoane sunt numite bazele acesteia .

Poligonul situat la bază determină denumirea prismei: triunghi - prismă triunghiulară , patrulater - patrulater; pentagon - pentagonal ( pentaprismă ), etc.

O prismă este un caz special al unui cilindru în sens general (necircular).

Elemente prisme

Nume	Definiție	Denumiri pe desen	Desen
Fundații	Două fețe care sunt poligoane congruente situate în planuri paralele între ele.	$ABCDE$ , $KLMNP$
Fețe laterale	Toate fețele, cu excepția bazelor. Fiecare față laterală este în mod necesar un paralelogram.	$ABLK$ , , , , $BCML$ $CDNM$ $DEPN$ $EAKP$
Suprafata laterala	Îmbinarea fețelor laterale.
Suprafata intreaga	Unirea bazelor și a suprafeței laterale.
Coastele laterale	Laturile comune ale fețelor laterale.	$AK$ , , , , $BL$ $CM$ $DN$ $EP$
Înălţime	Un segment care leagă planurile în care se află bazele prismei și perpendicular pe aceste planuri.	$KR$
Diagonală	Un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe.	$BP$
Planul diagonal	Planul care trece prin marginea laterală a prismei și diagonala bazei.	$EBP$
Secțiune diagonală	Intersecția unei prisme și a unui plan diagonal. În secțiune se formează un paralelogram, inclusiv cazurile sale speciale - un romb, un dreptunghi, un pătrat.	$EBLP$
Secțiune perpendiculară (ortogonală).	Intersecția unei prisme și a unui plan perpendicular pe marginea sa laterală.

Proprietăți Prism

Bazele prismei sunt poligoane egale.
Fețele laterale ale prismei sunt paralelograme.
Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.
Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre înălțimea acesteia și aria bazei:

V=S\cdot h

Volumul unei prisme cu o bază n -gonală regulată este

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(aici s este lungimea laturii poligonului).

Suprafața totală a unei prisme este egală cu suma suprafeței sale laterale și de două ori suprafața bazei.
Aria suprafeței laterale a unei prisme arbitrare , unde este perimetrul secțiunii perpendiculare, este lungimea marginii laterale. $S=P\cdot l$ $P$ $l$
Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte , unde este perimetrul bazei prismei, este înălțimea prismei. $S=P\cdot h$ $P$ $h$
Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte cu o bază n -gonală regulată este egală cu

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi {n}}+nsh.

Secțiunea perpendiculară este perpendiculară pe toate marginile laterale ale prismei.
Unghiurile unei secțiuni perpendiculare sunt unghiurile liniare ale unghiurilor diedrice la marginile laterale corespunzătoare.
Secțiunea perpendiculară este perpendiculară pe toate fețele laterale.
Poliedrul dual al unei prisme drepte este bipiramida .

Tipuri de prisme

O prismă a cărei bază este un paralelogram se numește paralelipiped .

O prismă dreaptă este o prismă ale cărei margini laterale sunt perpendiculare pe planul bazei, ceea ce înseamnă că toate fețele laterale sunt dreptunghiuri [1] .

O prismă dreptunghiulară dreptunghiulară se mai numește și cuboid . Simbolul Schläfli al unei astfel de prisme este { }×{ }×{ }.

O prismă regulată este o prismă dreaptă a cărei bază este un poligon regulat . Fețele laterale ale unei prisme regulate sunt dreptunghiuri egale .

O prismă regulată ale cărei fețe laterale sunt pătrate (a cărei înălțime este egală cu latura bazei) este un poliedru semiregular . Simbolul Schläfli al unei astfel de prisme este t{2,p}. Prismele directe cu baze regulate și aceleași lungimi de muchii formează una dintre cele două secvențe infinite de poliedre semiregulate ( antiprismele formează cealaltă secvență ).

Prismele înclinate se numesc prisme, ale căror margini nu sunt perpendiculare pe planul bazei.

O prismă trunchiată este un poliedru care este separat de prismă de un plan care nu este paralel cu baza [2] . O prismă trunchiată nu este ea însăși o prismă.

Diagrame Schlegel

prismă triunghiulară	Prisma cu 4 unghiuri	Prisma cu 5 unghiuri	prismă hexagonală	Prisma cu 7 unghiuri	prismă octogonală

Simetrie

Grupul de simetrie al unei prisme n -gonale drepte cu bază regulată este grupul D n h de ordinul 4 n , cu excepția cubului, care are grupul de simetrie O h de ordinul 48, care conține trei versiuni ale lui D 4h ca subgrupuri . Grupul de rotație este D n de ordinul 2 n , cu excepția cazului unui cub, pentru care grupul de rotație este O de ordinul 24, care are trei versiuni de D 4 ca subgrupe.

Grupul de simetrie D n h include simetria centrală dacă și numai dacă n este par.

Generalizări

Poliedre prismatice

Un poliedru prismatic este o generalizare a unei prisme în spații de dimensiunea 4 și mai mare. Un poliedru prismatic n -dimensional este construit din poliedre bidimensionale ( n − 1 ) mutate la următoarea dimensiune.

Elementele politopului prismatic n - dimensional sunt dublate de elementele politopului ( n − 1 )-dimensional, apoi sunt create elemente noi de nivelul următor.

Să luăm un poliedru n -dimensional cu elemente ( față i -dimensională , i = 0, …, n ). Un poliedru prismatic ( )-dimensional va avea elemente de dimensiunea i (pentru , ). $f_{i}$ $n+1$ $2f_{i}+f_{-1)$ $f_{-1}=0$ $f_{n}=1$

Dupa dimensiuni:

Luăm un poligon cu n vârfuri și n laturi. Obținem o prismă cu 2 n vârfuri, 3 n muchii și fețe. $2+n$
Luați un poliedru cu v vârfuri, e muchii și f fețe. Obținem o prismă (4-dimensională) cu vârfuri, muchii, fețe și celule de 2 v . $2e+v$ $2f+e$ $2+f$
Luați un poliedru cu 4 dimensiuni cu v vârfuri, e muchii, f fețe și c celule. Obținem o prismă (5-dimensională) cu 2 v vârfuri, muchii, fețe (2-dimensionale), celule și hipercelule. $2e+v$ $2f+e$ $2c+f$ $2+c$

Poliedre prismatice uniforme

Un n - politop regulat reprezentat de simbolul Schläfli { p , q , ..., t } poate forma un politop prismatic uniform de dimensiune ( n + 1 ) reprezentat prin produsul direct a două simboluri Schläfli : { p , q , . .., t } ×{}.

Dupa dimensiuni:

O prismă dintr-un poliedru 0-dimensional este un segment de linie reprezentat de simbolul Schläfli gol {}.
O prismă dintr-un poliedru unidimensional este un dreptunghi obținut din două segmente. Această prismă este reprezentată ca un produs al simbolurilor Schläfli {}×{}. Dacă prisma este un pătrat , notația poate fi prescurtată: {}×{} = {4}.
- Exemplu: pătrat, {}×{}, două segmente paralele conectate prin alte două segmente, laturi .
O prismă poligonală este o prismă tridimensională formată din două poligoane (unul obținut prin translația paralelă a celuilalt) care sunt conectate prin dreptunghiuri. Dintr-un poligon regulat { p }, puteți obține o prismă n -gonală omogenă, reprezentată de produsul { p }×{}. Dacă p = 4 , prisma devine un cub : {4}×{} = {4, 3}.
- Exemplu: prismă pentagonală , {5}×{}, două pentagoane paralele conectate prin cinci laturi în unghi drept .
O prismă 4-dimensională obținută din două poliedre (una obținută prin translația paralelă a celeilalte), cu celule prismatice tridimensionale conectate. Dintr-un poliedru regulat { p , q } se poate obține o prismă omogenă 4-dimensională reprezentată de produsul { p , q }×{}. Dacă poliedrul este un cub și laturile prismei sunt și ele cuburi, prisma devine un teseract : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Exemplu: prismă dodecaedrică , {5, 3}×{}, două dodecaedre paralele legate prin 12 prisme pentagonale ( laturi ).
…

Poliedre prismatice de dimensiuni superioare există și ca produse directe ale oricăror două poliedre. Dimensiunea unui poliedru prismatic este egală cu produsul dimensiunilor elementelor produsului. Primul exemplu de astfel de produs există în spațiul cu 4 dimensiuni și se numește duoprisme , care se obțin prin înmulțirea a două poligoane. Duoprismele regulate sunt reprezentate prin simbolul { p }×{ q }.

Familia de prisme regulate

Configurare	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Poligon
Mozaic

Prismă răsucită și antiprismă

O prismă răsucită este un poliedru prismatic neconvex obținut dintr-o q -gonală uniformă prin împărțirea fețelor laterale cu o diagonală și rotirea bazei superioare, de obicei cu un unghi de radiani ( grade), într-o direcție în care laturile devin concave. [3] [4] . ${\frac {\pi }{q}}$ ${\frac {180}{q)}$

O prismă răsucită nu poate fi divizată în tetraedre fără a introduce noi vârfuri. Cel mai simplu exemplu cu baze triunghiulare se numește poliedrul Schoenhardt .

O prismă răsucită este identică din punct de vedere topologic cu o antiprismă , dar are jumătate din simetriile : D n , [ n ,2] + , de ordinul 2 n . Această prismă poate fi considerată ca o antiprismă convexă, cu tetraedrele îndepărtate între perechi de triunghiuri.

triunghiular	patruunghiular		12 fețe
poliedrul Schoenhardt	Antiprismă pătrată răsucită	Antiprismă pătrată	Antiprismă dodecagonală răsucită

Poliedre și plăci înrudite

Familia de prisme regulate

Configurare	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Poligon
Mozaic

Familia de cupole convexe

n	2	3	patru	5	6
Nume	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
Dom	Dom diagonal	Dom cu trei pante	Dom cu patru brațe	cupolă cu cinci pante	Dom hexagonal (plat)
Poliedre uniforme înrudite	prisma triunghiulara	Cuboctaedru	Rombicubo- octaedru	Dodecaedrul rombicos	Rombotrie - mozaic hexagonal

Simetrii

Prismele fac parte din punct de vedere topologic dintr-o secvență de poliedre trunchiate uniforme cu configurații de vârf (3.2n.2n) și [n,3].

Opțiuni de simetrie * n 32 plăci trunchiate: 3,2 n .2 n
Simetrie * n 32 [n,3]	sferic				euclidiană	Compact hiperbolic.		paracompact _	Hiperbolic necompact.
Simetrie * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Configurare	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Cifre împărțite
Configurare	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Prismele fac parte din punct de vedere topologic dintr-o secvență de poliedre oblice cu figuri de vârfuri (3.4.n.4) și plăci în plan hiperbolic . Aceste figuri tranzitive de vârf au (*n32) simetrie în oglindă .

Opțiuni de simetrie * n 42 plăci extinse: 3.4. n.4 _
Simetrie * n 32 [n,3]	sferic				euclidiană	Compact hiperbolic		Paracompact
Simetrie * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Figura
Configurare	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Poliedre compuse

Există 4 compuși uniformi ai prismelor triunghiulare:

Conectare a patru prisme triunghiulare , conectare a opt prisme triunghiulare , conectare a zece prisme triunghiulare , conectare a douăsprezece prisme triunghiulare . Faguri

Există 9 faguri uniformi , inclusiv celule sub formă de prisme triunghiulare:

Faguri cubi alternanți giro-alungiți ,
faguri cubi alternați alungiți ,
faguri prismatici triunghiulari rotiti ,
snub square prismatic honeycomb ,
faguri prismatici triunghiulari ,
faguri prismatici triunghiular-hexagonali ,
faguri prismatici hexagonali trunchiați ,
fagure prismatic rombotrihexagonal ,
faguri prismatici hexagonali tăiați ,
faguri prismatici triunghiulari alungiti .

Politopuri înrudite

Prisma triunghiulară este primul poliedru din seria poliedrelor semiregulate . Fiecare poliedru uniform ulterior conține poliedrul anterior ca o figură de vârf . Thorold Gosset a identificat această serie în 1900 ca conţinând toate faţetele poliedrelor multidimensionale regulate , toate simplexele şi ortoplexele ( triunghiuri şi pătrate regulate în cazul prismelor triunghiulare). În notația Coxeter , o prismă triunghiulară este dată de simbolul −1 21 .

k 21 într-un spațiu de dimensiune n
Spaţiu	final						euclidiană	hiperbolic
E n	3	patru	5	6	7	opt	9	zece
grupul Coxeter	E3=A2A1	E₄=A4	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E₁₀ = T₈ = E₈ ++
Diagrama Coxeter
Simetrie	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Ordin	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Grafic							-	-
Desemnare	−1 21	0 21	1 21	221 [ en	3 21	4 21	5 21	6 21

Spațiu cu patru dimensiuni

Prisma triunghiulară servește ca o celulă într-un set de poliedre 4-dimensionale uniforme , incluzând:

prismă tetraedrică	prismă octaedrică	prismă cuboctaedrică	prismă icosaedrică	prismă icosidodecaedrală	prismă dodecaedrică trunchiată

rombicosi- prismă dodecaedrică	rombicub - prismă octaedrică	prismă cubică trunchiată	prismă dodecaedrică snub	prismă antiprismatică n-gonală

teșit cu 5 celule	teșit trunchiat cu 5 celule	planed 5-cell	plug-truncat 5-cell	teseract teșit	teseract trunchiat	teseract planed	teseract trunchi de plug

teșit cu 24 de celule	teșit trunchiat cu 24 de celule	planed 24-cell	plug-trunchiat 24-cell	teșit cu 120 de celule	trunchiat teșit cu 120 de celule	planed 120-cell	plug-truncat 120-cell

Vezi și

Note

↑ Kern, Bland, 1938 , p. 28.
↑ Prismă trunchiată // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Gorini, 2003 , p. 172.
↑ Desene de prisme răsucite . Preluat la 28 ianuarie 2019. Arhivat din original la 29 ianuarie 2019. (nedefinit)

Literatură

William F. Kern, James R. Bland. Măsurare solidă cu dovezi . — 1938.
Catherine A. Gorini. Faptele la dosar: Manual de geometrie. - New York: Infobase Publishing, 2003. - (Fapte la dosar). - ISBN 0-8160-4875-4 .
Anthony Pugh. Capitolul 2: Poliedre arhimediene, prisme și antiprisme // Poliedre: O abordare vizuală. - California: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Prism (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
George Olşevski . „ Politop prismatic ”. Glosar pentru hiperspațiu.
Prisme neconvexe și antiprisme (link descendent din 12-03-2018 [1696 zile])
Ghid MATH pentru suprafață
Volum MATHguide
Modele de hârtie de prisme și antiprisme
Modele de hârtie de prisme și antiprisme Stella [ .
Stella: Polyhedron Navigator : Programe pentru crearea de imagini 3D și 4D prezentate pe această pagină.

Poliedre

corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte