Media ponderată geometrică

Media ponderată geometrică este un fel de medie , o generalizare a mediei geometrice . Pentru o mulțime de numere reale nenegative cu greutăți reale astfel încât , este definită ca [1] $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0$

{\bar {x}}=\left(\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}^{{w_{i}}}\right)^{{1/\sum _{ {i=1}}^{n}w_{i}}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}} }\;\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)

Formulele de mai sus au sens pentru orice valori ale ponderilor, cu excepția cazului în care unele și ponderile corespunzătoare . Prin urmare, de regulă, se presupune că toate numerele . De obicei, sunt luate în considerare și ponderile nenegative. $x_{i}=0$ $w_{i}\leq 0$ $x_{i}>0$

Dacă ponderile sunt normalizate la unu (adică suma lor este egală cu unu), atunci media ponderată geometrică ia o formă mai simplă: $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_ {i}\ln x_{i}

Proprietăți

Media ponderată aritmetică a logaritmilor unor numere este egală cu logaritmul mediei ponderate geometrice a acestor numere cu aceleași ponderi.
Dacă toate ponderile ( ) sunt egale, atunci media geometrică ponderată devine media geometrică obișnuită . $w_{i}$ $i=1,2,...,n$

Exemplu de utilizare

Să fie dată o distribuție de probabilitate discretă . Se notează prin media ponderată geometrică a valorilor cu ponderi , adică $P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\)$ ${\overline {N)}$ $1/p_{i)$ $p_{i}$

{\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}

Atunci entropia Shannon a distribuției poate fi scrisă ca $P$

H(P)=\log {\overline {N}}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}

Valoarea este interpretată ca numărul efectiv de stări ale sistemului. ${\overline {N)}$

Note

↑ Repova M. L., Sazanova E. V. Teoria generală a statisticii în scheme, formule, tabele . - Arhangelsk: AGTU, 2007. - 24 p. Arhivat pe 13 octombrie 2017 la Wayback Machine

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție