Puterea medie ponderată

Media ponderată a legii puterii este un fel de medie . Pentru o mulțime de numere reale pozitive cu un parametru și greutăți nenegative , este definit ca $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $q\neq 0$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}{\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}}\dreapta)^{1/q}

Dacă ponderile sunt normalizate la unu (adică suma lor este egală cu unu), atunci expresia pentru media ponderată a legii puterii ia forma $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}

Proprietăți

În cazul în care toate ponderile sunt egale, puterea medie ponderată este egală cu puterea medie . $w_{i}$
Media aritmetică ponderată și media armonică ponderată sunt cazuri speciale de medie ponderată a legii puterii pentru și respectiv . $q=1$ $q=-1$
În limita la , media ponderată a puterii converge către media geometrică ponderată . $q\la 0$

Relația cu entropia Rényi

Entropia informațională a unui anumit sistem poate fi definită ca logaritmul numărului de stări disponibile ale sistemului (sau numărul lor efectiv dacă stările nu sunt la fel de probabile). Să luăm în considerare că probabilitățile ca sistemul să fie în starea cu numărul ( ) sunt normalizate la . Dacă stările sistemului sunt echiprobabile și au probabilitate , atunci . În cazul diferitelor probabilități de stare, definim numărul efectiv de stări ca o medie ponderată a legii puterii a valorilor cu ponderi și un parametru (unde ): $p_{i}$ $i$ $i=1,\ldots ,N$ $unu$ $p$ $N=1/p$ $p_{i}$ ${\overline {N)}$ $x_{i}=1/p_{i}$ $p_{i}$ $q=1-\alpha$ $\alpha \neq 1$

{\overline {N}}=\left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}=\left (\sum _{i=1}^{N}p_{i}(1/p_{i})^{1-\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}= \left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}

De aici obținem expresia entropiei

H=\log {\overline {N}}=\log \left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1 }{1-\alpha }}={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }

coincid cu expresia pentru entropia Rényi [1] . Este ușor de observat că în limita la (sau ) entropia Renyi converge către entropia Shannon (în ciuda faptului că media ponderată a legii puterii converge către media geometrică ponderată ). Conform definiției entropiei Rényi , trebuie respectată o constrângere suplimentară (sau ). $\alpha \to 1$ $q\la 0$ $\alpha \geq 0$ $q\leq 1$

Note

↑ Zaripov, 2005 , p. 108-125.

Literatură

Zaripov R. G. Noi măsuri și metode în teoria informației. - Kazan: Editura Kazan. stat tehnologie. un-ta, 2005. - 364 p.

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție