Teorema lui Varignon (geometrie)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 decembrie 2021; verificările necesită 5 modificări .

Teorema lui Varignon este un fapt geometric demonstrat de Pierre Varignon și care afirmă că punctele medii ale laturilor unui patrulater arbitrar sunt vârfurile unui paralelogram:

Un patrulater ale cărui vârfuri coincid cu punctele medii ale laturilor unui patrulater arbitrar este un paralelogram ale cărui laturi sunt paralele cu diagonalele patrulaterului original.

Paralelogramul format din punctele mijlocii ale laturilor este uneori numit varinon sau varinon .

Consecințele

Centrul paralelogramului Varignon se află în mijlocul segmentului care leagă punctele medii ale laturilor patrulaterului original (în același punct, segmentele care leagă punctele medii ale laturilor opuse - diagonalele paralelogramului Varignon) se intersectează.
Perimetrul paralelogramului Varignon este egal cu suma diagonalelor patrulaterului original.
Aria paralelogramului Varignon este egală cu jumătate din aria patrulaterului original.
Pentru un dreptunghi și un trapez isoscel, paralelogramul Varignon este un romb , iar pentru un romb, un dreptunghi .
Un paralelogram Varignon este un romb dacă și numai dacă în patrulaterul original 1) diagonalele sunt egale 2) bimedianele sunt perpendiculare.
Un paralelogram Varignon este dreptunghi dacă și numai dacă în patrulaterul original: 1) diagonalele sunt perpendiculare; 2) bimedianele sunt egale.
Un paralelogram Varignon este un pătrat dacă și numai dacă în patrulaterul original 1) diagonalele sunt egale și perpendiculare; 2) bimedianele sunt egale și perpendiculare.

Dovada

Dovada că aria unui paralelogram este jumătate din aria patrulaterului original

Lasă diagonala să treacă în interiorul patrulaterului. Atunci aria triunghiului este , unde este înălțimea triunghiului desenat de la vârf . În mod similar, aria unui triunghi este . Atunci aria întregului patrulater este . Dar - aceasta este suma distanțelor până la linie de la puncte și , adică exact înălțimea paralelogramului . Și deoarece latura paralelogramului este jumătate mai lungă , atunci aria paralelogramului este egală cu jumătate din suprafață , QED $AC$ $ABC$ ${\frac {AC\cdot h_{b}}2}$ $h_{b}$ $ABC$ $B$ $ADC$ ${\frac {AC\cdot h_{d}}2}$ ${\frac {AC(h_{b}+h_{d})}2}$ ${\frac {(h_{b}+h_{d})}2}={\frac {h_{b))2}+{\frac {h_{d))2}$ $AC$ $E$ $H$ $EHGF$ $GH$ $AC$ $ABCD$

patrulater convex	patrulater neconvex	patrulater care se intersectează

Teorema lui Varignon (geometrie)

Consecințele

Dovada

Dovada că aria unui paralelogram este jumătate din aria patrulaterului original

Vezi și

Note