Funcția Wigner

Funcția Wigner ( funcția de distribuție a cvasi-probabilității Wigner , distribuția Wigner , distribuția Weyl ) a fost introdusă de Wigner în 1932 pentru a studia corecțiile cuantice ale mecanicii statistice clasice . Scopul a fost înlocuirea funcției de undă care apare în ecuația Schrödinger cu o funcție de distribuție a probabilității în spațiul fazelor . A fost derivat independent de Weil în 1931 ca simbol pentru matricea densității teoriei reprezentării în matematică . Funcția Wigner are aplicații în mecanică statistică, chimie cuantică , optică cuantică , optică clasică și analiza semnalului în diverse domenii precum electronică , seismologie , acustică , biologie . La analiza semnalelor se folosesc denumirile Transformare Wigner-Vila și Distribuție Wigner-Vila .

Sensul fizic

O particulă clasică are o poziție și un impuls definite și , prin urmare, este reprezentată ca un punct în spațiul fazelor . Când există o mulțime ( ansamblu ) de particule, probabilitatea de a găsi o particule într-un anumit volum mic de spațiu de fază este dată de funcția de distribuție a probabilității. Acest lucru nu este valabil pentru o particulă cuantică din cauza principiului incertitudinii . În schimb, se poate introduce o distribuție de cvasi-probabilitate, care nu este necesară pentru a satisface toate proprietățile funcției de distribuție a probabilității normale . De exemplu, funcția Wigner devine negativă pentru stările care nu au corespondente clasice, deci poate fi folosită pentru a identifica stările neclasice.

Distribuția Wigner P ( x , p ) este definită ca:

P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\psi ^{*}(x+ y )\psi (xy)e^{2ipy}

unde este funcția de undă și și este mulțimea de coordonate și momente generalizate conjugate . Este simetric în și : $\psi$ $X$ $p$ $X$ $p$

P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dq\,\phi ^{*}(p+ q )\phi (pq)e^{-2ixq}

unde este transformata Fourier a functiei . $\phi$ $\psi$

În cazul unei stări mixte :

P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle xy|{\hat {\ rho }}|x+y\rangle e^{2ipy}

unde este matricea densitatii . $\rho$

Proprietăți matematice

P ( x , p ) este o funcție reală
Distribuțiile de probabilitate pe x și p sunt date de integralele :
- $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle$
- $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=|\phi (p)|^{2}=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle$
- $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=Tr({\hat { \rho)))$
- De obicei , urma este 1. $\rho$
- 1. și 2. presupune că P ( x , p ) este negativ oriunde, cu excepția stărilor coerente (și stărilor coerente mixte) și stărilor de vid stors .
P ( x , p ) are următoarele simetrii în oglindă :
- Simetria temporala :

\psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)

- Simetrie spațială:

\psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(-x,-p)

P ( x , p ) este un invariant sub transformările galileene :
- $\psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x+y,p)$
- Nu este invariant sub transformările Lorentz .
Ecuațiile de mișcare pentru fiecare punct din spațiul fazelor sunt clasice în absența forțelor : ${\frac {\partial P(x,p)}{\partial t))={\frac {-p}{m)}{\frac {\partial P(x,p)}{\partial X}}$
Suprapunerea stărilor se calculează astfel: $|\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,\int \limits _{-\ infty }^{\infty }dp\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)$
Operatorii și mediile sunt calculate astfel:
- $A(x,p)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle xy/2|{\hat {A}}|x+y/2\rangle e ^{ipy/\hbar}$
- $\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle =Tr({\hat {\rho }}{\hat {A}})=\int \limits _{-\infty } ^{\infty }dx\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dpP(x,p)A(x,p)$
Pentru ca P ( x , p ) să reprezinte matrice de densitate fizică este necesar: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)P_{\theta} (x,p)\geq 0$ , unde este starea pură a . $|\theta \rangle$

Măsurarea funcției Wigner

Tomografie

Literatură

E. P. Wigner (1932). „Despre corecția cuantică pentru echilibrul termodinamic”. Fiz. Rev. _ 40 (5): 749-759. Cod biblic : 1932PhRv ...40..749W . DOI : 10.1103/PhysRev.40.749 . HDL : 10338.dmlcz/141466 .
Zachos, C. Mecanica cuantică în spațiul de fază: o privire de ansamblu cu lucrări selectate / C. Zachos, D. Fairlie, T. Curtright. - New Jersey Londra: World Scientific, 2005. - ISBN 9789812383846 .
Weyl, Hermann. Teoria grupurilor și mecanica cuantică. - Mansfield Centre, CT : Martino Publishing, 2014. - ISBN 1614275807 .

H. Weyl, Z. Phys. 46, 1 (1927).
H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel) (1928).
J. Ville, Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique, Cables et Transmission, 2A: (1948) 61-74.
W. Heisenberg, Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen, Physik. Zeitschr. 32, 737-740 (1931).
PAM Dirac, Notă despre fenomenele de schimb în atomul Thomas, Proc. Camb. Phil. soc. 26, 376-395 (1930).

Link -uri

http://gerdbreitenbach.de/gallery/