Tetraedrul Goursat

Tetraedrul Goursat este zona fundamentală tetraedrică a construcției Wythoff . Fiecare față a tetraedrului reprezintă un hiperplan oglindă pe o suprafață tridimensională - 3 sfere , spațiu euclidian tridimensional și spațiu hiperbolic tridimensional. Coxeter a numit zona după Édouard Gours , care a atras primul atenția asupra acestor zone. Tetraedrul Goursat este o extensie a teoriei triunghiurilor Schwartz pentru a construi Wythoff pe o sferă.

Reprezentare grafică

Tetraedrul Goursat poate fi reprezentat grafic printr-un graf tetraedric, care este configurația duală a domeniului fundamental ca tetraedru. În acest grafic, fiecare nod reprezintă o față (oglindă) a tetraedrului Goursat. Fiecare muchie este etichetată cu un număr rațional corespunzător ordinii de reflexie, care este ⁄ unghi diedru .

Diagrama Coxeter-Dynkin cu 4 vârfuri reprezintă aceste grafice tetraedrice cu muchii ascunse de ordinul doi. Dacă multe muchii sunt de ordinul 2, grupul Coxeter poate fi reprezentat cu notația paranteze .

Pentru ca un tetraedru Goursat să existe, fiecare dintre subgrafele cu 3 vârfuri ale acelui grafic, (pqr), (pus), (qtu) și (rst), trebuie să corespundă unui triunghi Schwartz .

Simetrie externă

Simetria extinsă a tetraedrului Goursat este produsul semidirect al grupului de simetrie Coxeter și domeniul fundamental de simetrie (tetraedrul Goursat, în acest caz). Coxeter acceptă această simetrie ca paranteze imbricate, cum ar fi [Y[X]], adică întregul grup Coxeter de simetrie [X], cu Y ca simetria tetraedrului Goursat. Dacă Y este o simetrie pură în oglindă, grupul va reprezenta un alt grup Coxeter de reflexii. Dacă există o singură simetrie de dublare simplă, Y poate fi exprimat explicit, ca [[X]] cu oglindă sau simetrie de rotație, în funcție de context.

Simetria extinsă a fiecărui tetraedru Goursat este dată mai jos. Cea mai mare simetrie posibilă este pe tetraedrul regulat , [3,3], și se realizează pe grupul punctual prismatic [2,2,2], sau [2 [3,3] ] și pe grupul hiperbolic paracompact [ 3 [3,3] ].

Consultați simetriile tetraedrice pentru 7 simetrii tetraedrice de ordin inferior.

Numărul total de soluții

Următoarele secțiuni arată tot setul complet de soluții de tetraedre Goursat pentru 3-sferă, 3-spațiu euclidian și 3-spațiu hiperbolic. Este indicată și simetria extinsă a fiecărui tetraedru.

Diagramele tetraedrice colorate de mai jos sunt figuri de vârf de poliedre trunchiate și faguri din fiecare familie de simetrii. Etichetele marginilor reprezintă ordinele fețelor poligonale, care sunt de două ori ordinele de ramificație ale graficului Coxeter. Unghiul diedric al muchiei etichetate 2n este . Marginile galbene marcate cu 4 sunt obținute din unghiul drept al oglinzilor (nodurilor) (neconectate) ale diagramei Coxeter.

Soluții (finite) pe 3-sfere

Soluții pentru 3-sfere cu densitatea 1: ( poliedre uniforme )

Grupul Coxeter și diagrama	[2,2,2]	[p,2,2]	[p,2,q]	[p,2,p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Ordinea grupului de simetrie	16	8p _	4pq _	4p2 _ _	48	96	240
Simetriile tetraedrului	[3,3] (comanda 24)	[2] (comanda 4)	[2] (comanda 4)	[2 + ,4] (comanda 8)	[ ] (comanda 2)	[ ] + (comanda 1)	[ ] + (comanda 1)
Simetrii extinse	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2 + ,4)[p,2,p]] =[2 + [2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Ordinea grupurilor de simetrie extinsă	384	32p _	16pq _	32p2 _ _	96	96	240

Tipul graficului	Liniar				Trifoliat
Grupul Coxeter și diagrama	Cinci celule [3,3,3]	Șaisprezece celule [4,3,3]	Douăzeci și patru de celule [ 3,4,3 ] ]]	600 celule [ 5,3,3 ] [5,3,3]	Semiteseract [3 1,1,1 ]
Figura de vârf a poliedrelor uniforme trunchiate
Tetraedru
Ordinea grupului de simetrie	120	384	1152	14400	192
Simetria tetraedrică	[2] + (comanda 2)	[ ] + (comanda 1)	[2] + (comanda 2)	[ ] + (comanda 1)	[3] (comanda 6)
Simetrie extinsă	[2 + [3,3,3]]	[4,3,3]	[2 + [3,4,3]]	[5,3,3]	[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3]
Ordinea grupului de simetrie extinsă	240	384	2304	14400	1152

Soluții în 3-spații euclidian

Soluții de densitate 1: Fagure uniform convex :

Tipul graficului	Liniar	Trifoliat	Inel	Prismatic			degenerat
Grupul Coxeter Diagrama Coxeter	[4,3,4	[4.3 1.1 ]	[3 [4] ]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] ,2]	[∞,2,∞]
Figura de vârf a fagurilor trunchiați
Tetraedru
Simetria tetraedrică	[2] + (comanda 2)	[ ] (comanda 2)	[2 + ,4] (comanda 8)	[ ] (comanda 2)	[ ] + (comanda 1)	[3] (comanda 6)	[2 + ,4] (comanda 8)
Simetrie extinsă	[(2 + )[4,3,4]]	[1[4.3 1.1 ]] =[4,3,4]	[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3 [3] ,2]] =[3,6,2]	[(2 + ,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Soluții pentru 3-spații hiperbolice

Soluții de densitate 1: ( Faguri omogene convexi în spațiu hiperbolic ) ( Compact (grupuri simple Lanner) )

Tipul graficului	Liniar			Trifoliat
Grupul Coxeter Diagrama Coxeter	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5.3 1.1 ]
Figuri de vârf ale fagurilor trunchiați
Tetraedru
Simetria tetraedrică	[2] + (comanda 2)	[ ] + (comanda 1)	[2] + (comanda 2)	[ ] (comanda 2)
Simetrie extinsă	[2 + [3,5,3]]	[5,3,4]	[2 + [5,3,5]]	[1[5.3 1.1 ]] =[5,3,4]
Tipul graficului	Inel
Grupul Coxeter Diagrama Coxeter	[(4,3,3,3)]	[(4,3) 2 ]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3) 2 ]
Figuri de vârf ale fagurilor trunchiați
Tetraedru
Simetria tetraedrică	[2] + (comanda 2)	[2,2] + (comanda 4)	[2] + (comanda 2)	[2] + (comanda 2)	[2,2] + (comanda 4)
Simetrie extinsă	[2 + [(4,3,3,3)]]	[(2,2) + [(4,3) 2 ]]	[2 + [(5,3,3,3)]]	[2 + [(5,3,4,3)]]	[(2,2) + [(5,3) 2 ]]

Soluții în 3-spații hiperbolice paracompacte

Soluții de densitate 1: (vezi Paracompact (grupuri de simplexe Kozul) )

Tipul graficului	Grafice cu linii
Grupul Coxeter Diagrama Coxeter	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Simetria tetraedrică	[ ] + (comanda 1)	[2] + (comanda 2)	[ ] + (comanda 1)	[ ] + (comanda 1)	[2] + (comanda 2)	[ ] + (comanda 1)	[2] + (comanda 2)
Simetrie extinsă	[6,3,3]	[2 + [3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2 + [6,3,6]]	[4,4,3]	[2 + [4,4,4]]
Tipul graficului	Grafice inelare
Grupul Coxeter Diagrama Coxeter	[3 [ ]×[ ] ]	[(4,4,3,3)]	[(4 3 ,3)]	[4 [4] ]	[(6,3 3 )]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3) [2] ]
Simetria tetraedrică	[2] (comanda 4)	[ ] (comanda 2)	[2] + (comanda 2)	[2 + ,4] (comanda 8)	[2] + (comanda 2)	[2] + (comanda 2)	[2] + (comanda 2)	[2,2] + (comanda 4)
Simetrie extinsă	[2[3 [ ]×[ ] ]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3,4 1,1 ]	[2 + [(4 3 ,3)]]	[(2 + ,4)[4 [4] ]] =[2 + [4,4,4]]	[2 + [(6,3 3 )]]	[2 + [(6,3,4,3)]]	[2 + [(6,3,5,3)]]	[(2,2) + [(6,3) [2] ]]
Tipul graficului	Trifoliat			inel de coadă				Simlex
Grupul Coxeter Diagrama Coxeter	[6,3 1,1 ]	[3,4 1,1 ]	[4 1,1,1 ]	[3,3 [3] ]	[4,3 [3] ]	[5,3 [3] ]	[6,3 [3] ]	[3 [3,3] ]
Simetria tetraedrică	[ ] (comanda 2)	[ ] (comanda 2)	[3] (comanda 6)	[ ] (comanda 2)	[ ] (comanda 2)	[ ] (comanda 2)	[ ] (comanda 2)	[3,3] (comanda 24)
Simetrie extinsă	[1[6.3 1.1 ]] =[6,3,4]	[1[3.4 1.1 ]] =[3,4,4]	[3[4 1,1,1 ]] =[4,4,3]	[1[3,3 [3] ]] =[3,3,6]	[1[4,3 [3] ]] =[4,3,6]	[1[5,3 [3] ]] =[5,3,6]	[1[6,3 [3] ]] =[6,3,6]	[(3,3)[3 [3,3] ]] =[6,3,3]

Decizii raționale

Există sute de soluții raționale pentru 3-sfere , inclusiv aceste 6 grafice liniare care formează poliedre Schläfli–Hess și 11 neliniare:

Vezi și

• Grup de simetrie punctuală pentru soluții n -simplex pe sfera ( n - 1).

Note

Literatură

• Coxeter HCM Tabelul 3: Triunghiurile lui Schwarz //Regular Polytopes (carte) . - A treia editie. - Ediția Dover, 1973. - S.  280 , Tetraedrele lui Goursat. — ISBN 0-486-61480-8 .

• NW Johnson . Teoria politopilor și fagurilor uniformi. - Universitatea din Toronto, 1966. - (Teza de doctorat). Johnson a demonstrat că enumerarea lui Coxeter a tetraedrelor Goursat este completă.
• Edouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1889. - Emisiune. 6 . — p. 9–102, 80–81 tetraedre .
• Klitzing, Richard. Dynkin Diagrame Goursat tetraedre
• NW Johnson . Capitolele 11,12,13 // Geometrii și transformări. — 2015.
• Johnson NW, Kellerhals R., Ratcliffe JG, Tschantz ST Transformation Groups // Dimensiunea unui Coxeter simplex hiperbolic . - 1999. - T. 4. - S. 329–353.