Număr trigonometric

În matematică , un număr trigonometric ( ing. număr trigonometric ) [1] este un număr irațional obținut ca sinus sau cosinus al unui număr rațional de rotații sau, echivalent, sinusul sau cosinusul unui unghi a cărui valoare în radiani este un multiplu rațional . de pi sau sinusul sau cosinusul unui număr rațional de grade .

Un număr real , altul decât 0, 1, −1 este un număr trigonometric dacă și numai dacă este partea reală a rădăcinii unității .

Demonstrațiile teoremelor despre aceste numere au fost date de matematicianul canadian-american Ivan Niven [1] , ulterior dovezile sale au fost îmbunătățite și simplificate de Li Zhou și Lubomir Markov [2] .

Orice număr trigonometric poate fi exprimat în termeni de radicali . Astfel, fiecare număr trigonometric este un număr algebric . Ultima afirmație poate fi demonstrată [1] , luând ca bază formula Moivre pentru cazul pentru k și n coprim : $\theta =2\pi k/n$

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=1.

Extinderea laturii stângi și echivalarea părților reale dă ecuația în și înlocuind , obținem o ecuație polinomială care are propria soluție, deci aceasta din urmă este, prin definiție, un număr algebric. Este, de asemenea, un număr algebric deoarece este egal cu un număr algebric. În cele din urmă, unde este un rațional, multiplu de , este un număr algebric, care poate fi obținut prin egalarea părților imaginare ale celor două laturi ale expansiunii ecuației de Moivre cu unul pe altul și împărțind la pentru a obține o ecuație polinomială în $\cos \theta$ $\sin ^{2}\theta ;$ $\sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $\cos(\theta -\pi /2).$ $\tan \theta$ $\theta$ $\pi$ $\cos ^{n}\theta$ $\tan \theta .$

Note

↑ 1 2 3 Niven, Ivan. Numere iraționale , Monografii matematice Carus nr. 11, 1956.
↑ Li Zhou și Lubomir Markov. Dovezi recurente ale iraționalității anumitor valori trigonometrice (engleză) // American Mathematical Monthly : jurnal. - 2010. - Vol. 117 . - P. 360-362 . doi : 10.4169 / 000298910x480838 . https://arxiv.org/abs/0911.1933 Arhivat 7 februarie 2019 la Wayback Machine

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric