Distribuția chi

distribuția chi
Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Opțiuni	$k>0\,$ (grade de libertate)
Purtător	$x\in [0,\infty )$
Probabilitate densitate	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)))\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2 }$
funcția de distribuție	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Valorea estimata	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$
Median	despre ${\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3)))$
Modă	${\sqrt {k-1}}\,$ dacă $k\geq 1$
Dispersia	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Coeficient de asimetrie	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$
Coeficientul de kurtoză	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Entropia diferenţială	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2) )$
Funcția generatoare a momentelor	Vezi in text
functie caracteristica	Vezi in text

Distribuția chi este o distribuție continuă de probabilitate a unei variabile aleatoare care este rădăcina pătrată a sumei pătratelor variabilelor aleatoare normale independente. Este legat de distribuția chi-pătrat și este distribuția rădăcinii pătrate a unei variabile aleatoare distribuite conform legii . $\chi ^{2}$

Dacă sunt variabile aleatoare independente, distribuite în mod normal , cu așteptări matematice zero (medie) și varianță egală cu 1, atunci statisticile $Z_{1},\ldots,Z_{k)$

Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2)))

distribuite conform legii chi. În consecință, dacă estimarea abaterii standard este împărțită la , unde este media distribuției chi, atunci se va obține o estimare imparțială a abaterii standard a distribuției normale. Distribuția chi are un parametru - , care specifică numărul de grade de libertate (adică numărul ). $s$ $\mu _{1}/{\sqrt {n-1)}$ $\mu _{1)$ $k$ $Z_{i}$

Cele mai cunoscute exemple sunt distribuția Rayleigh (numărul de grade de libertate este de două) și statistica Maxwell-Boltzmann (numărul de grade de libertate este de trei).

Definiție

Densitatea probabilității

Densitatea de probabilitate a distribuției chi este

f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1} \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}

unde este funcția gamma . $\Gamma(z)$

Funcția de distribuție

Funcția de distribuție este:

F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,

unde este funcția gamma regularizată . $P(k,x)$

Generarea funcțiilor

Funcția generatoare a momentelor este:

M(t)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2}),{\frac {t^{2}}{2}}\dreapta )+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac {k+1} {2)),{\frac {3}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\right),

unde este funcția hipergeometrică Kummer degenerată . Funcția caracteristică este: $M(a,b,z)$

\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {-t^{2)} {2 }}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac { k+1}{2)),{\frac {3}{2)),{\frac {-t^{2}}{2}}\dreapta).

Proprietăți

Momente

Momentele se calculează după formula:

\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)))

unde este funcția gamma . Primele șase momente sunt date de următoarele formule: $\Gamma(z)$

\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)} }

\mu _{2}=k\,

\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)\mu _{1}

\mu _{4}=k(k+2)\,

\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)(k+3)\mu _{1}

\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,

unde expresiile din partea dreaptă sunt obținute folosind relația de recurență pentru funcția gamma:

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,

Tot din aceste expresii se pot obține următoarele formule:

medie : $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$

Varianta : - de la expresiile pentru primele doua momente. $\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$

Coeficient de asimetrie : $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$

Coeficientul de kurtoză : $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2})}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Entropie

Entropia diferenţială este dată de formula:

S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2))(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\ !1)\psi ^{0}(k/2))

unde este funcția poligamă . $\psi ^{0}(z)$

Relația cu alte distribuții

Dacă , atunci ( distribuția chi pătrat ) $X\sim \chi _{k)$ $X^{2}\sim \chi _{k}^{2)$
$\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k)}{\sigma _{k)}}{\xrightarrow {d))\ N( 0,1)\,$ ( distributie normala )
Dacă , atunci $X\sim N(0,1)\,$ $|X|\sim \chi _{1}\,$
Dacă , atunci ( distribuție seminormală ) pentru oricare $X\sim \chi _{1}\,$ $\sigma X\sim HN(\sigma)\,$ $\sigma >0\,$
$\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ ( distribuția Rayleigh )
$\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ ( distribuție Maxwell )
$\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ ( a doua normă a variabilelor aleatoare normale standard este o distribuție chi cu grade de libertate) $k$ $k$
Distribuția chi este un caz special al distribuției gamma , distribuției Nakagami și distribuției chi non-centrale .

Tipuri de distribuții chi și chi pătrat

Nume	Statistici
distribuția chi-pătrat	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
distribuție chi-pătrat non-centrală	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
distribuția chi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)}{\sigma _{i)}\right) ^{2}}}$
distribuția chi non-centrală	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Vezi și

Distribuție Nakagami

Literatură

Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
Jan W. Gooch, Dicţionar enciclopedic al polimerilor vol. 1 (2010), Anexa E, p. 972 .

Link -uri

http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html