Linie centrală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 20 ianuarie 2022; verificările necesită 3 modificări .

Liniile centrale sunt niște linii speciale asociate cu un triunghi și situate în planul triunghiului. Proprietatea specială care deosebește liniile drept linii centrale se manifestă prin ecuația unei linii în coordonate triliniare . Această proprietate specială este legată și de conceptul de centru al unui triunghi . Conceptul de linie centrală a fost introdus de Clark Kimberling într-o lucrare publicată în 1994 [1] [2] .

Definiție

Fie ABC  un triunghi, iar ( x  : y  : z ) coordonatele triliniare ale unui punct arbitrar din planul triunghiului ABC . O linie dreaptă în planul triunghiului ABC va fi linia centrală a triunghiului ABC dacă ecuația sa în coordonate triliniare este

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0

unde punctul cu coordonate triliniare ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )) este centrul triunghiului plan ABC. [3] [4] [2]

Liniile centrale ca polari triliniari

Geometric, relația dintre linia centrală și centrul său asociat poate fi exprimată folosind termenul de conjugare triliniară polară și izogonală . Fie X = ( u ( a , b , c ) : v ( a , b , c ) : w ( a , b , c )) centrul triunghiului. Atunci ecuația polarei triliniare a centrului triunghiular X este [5] [2]

x / u ( a , b , c ) + y / v ( a , b , c ) y + z / w ( a , b , c ) = 0.

În mod similar , Y = (1 / u ( a , b , c ) : 1 / v ( a , b , c ) : 1 / w ( a , b , c )) este conjugarea izogonală a centrului lui X .

Astfel, linia centrală descrisă de ecuație

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0,

este o polară triliniară sub conjugarea izogonală a centrului ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )).

Construcția liniilor centrale

Fie X  orice centru al triunghiului ABC .

• Să desenăm dreptele AX , BX și CX și să le construim reflexiile față de bisectoarele triunghiului la vârfurile A , B , C , respectiv .
• Liniile reflectate se vor intersecta, iar punctul de intersecție a acestora va fi conjugarea izogonală Y a punctului X .
• Fie cevianele AY , BY , CY intersectează laturile opuse ale triunghiului ABC în punctele A' , B' , C' . Atunci triunghiul A'B'C' este triunghiul cevian al punctului Y .
• Triunghiul ABC și triunghiul cevian A'B'C' sunt în perspectivă și fie linia DEF  axa de perspectivă a celor două triunghiuri. Linia DEF este polara triliniară a punctului Y. Linia DEF  este linia centrală asociată cu centrul X .

Câteva linii centrale nominale

Fie X n al -lea centru al triunghiului din Enciclopedia Centrelor Triunghiulare a  lui Clark Kimberling . Linia centrală asociată cu X n este notată cu Ln. Unele linii centrale nominale sunt prezentate mai jos.

Linia centrală asociată cu X 1 , adică cu centrul cercului înscris: axa antiorth

Linia centrală asociată cu incentrul X 1 = (1 : 1 : 1) (denumită și I ) este dată de ecuație

x + y + z = 0.

Această linie este axa antiorth a triunghiului ABC . [6]

• Centrul conjugat izogonal cu incentrul triunghiului ABC este incentrul însuși . Astfel, axa antiorth, care este linia centrală asociată cu incentrul , este axa de perspectivă a triunghiului ABC și triunghiul cevian al incentrului triunghiului ABC .
• Axa antiorth a triunghiului ABC este axa de perspectivă a triunghiului ABC și triunghiul centrelor a trei cercuri ( triunghiul a trei bisectoare exterioare ) I 1 I 2 I 3 a triunghiului ABC . [7]
• Un triunghi ale cărui laturi ating exterior cele trei centre ale excercurilor triunghiului ABC este triunghiul tangenţial extern ( triunghiul extangenţi ) al triunghiului ABC . Triunghiul ABC și triunghiul său tangenţial extern sunt în perspectivă, iar axa lor de perspectivă este axa antiorth a triunghiului ABC .

Linia centrală asociată cu X 2 , adică centroidul : axa Lemoine

Coordonatele triliniare ale centroidului X 2 (notat și G ) ale triunghiului ABC sunt (1 / a  : 1 / b  : 1 / c ). Astfel, linia centrală asociată cu centroidul (centrul de greutate) în coordonate triliniare este dată de ecuație

x / a + y / b + z / c = 0.

Această linie este axa Lemoine a triunghiului ABC .

• Punctul conjugat izogonal cu centroidul X 2 este punctul Lemoine X 6 (punctul de intersecție a trei triunghiuri simediante) (notat și K ), care are coordonate triliniare ( a  : b  : c ). Astfel, axa Lemoine a triunghiului ABC este polara triliniară a punctului de intersecție a simmetricilor triunghiului ABC .
• Triunghiul tangențial al triunghiului ABC este triunghiul T A T B T C , format din tangentele la cercul triunghiului ABC la vârfurile acestuia. Triunghiul ABC și triunghiul său tangențial sunt în perspectivă, iar axa lor de perspectivă este axa Lemoine a triunghiului ABC .

Linia centrală asociată cu X 3 , adică cu centrul cercului circumscris: Axa ortică

Coordonatele triliniare ale centrului cercului circumscris X 3 (notat și cu O ) ale triunghiului ABC sunt (cos A  : cos B  : cos C ). Astfel, linia centrală asociată cu centrul cercului circumscris în coordonate triliniare este dată de ecuație

x cos A + y cos B + z cos C = 0.

Această linie este axa de altitudine a triunghiului ABC . [opt]

• Conjugarea izogonală a centrului cercului circumscris X 6 este ortocentrul X 4 (notat și H ), care are coordonate triliniare (sec A  : sec B  : sec C ). Astfel, axa de altitudine a triunghiului ABC este polara triliniară a ortocentrului pentru triunghiul ABC . Axa de altitudine a triunghiului ABC este axa de perspectivă a triunghiului ABC și triunghiul său orto H A H B H C .

Linia centrală asociată cu X 4 , adică cu ortocentrul

Coordonatele triliniare ale ortocentrului X 4 ((notat și H ) triunghiului ABC sunt (sec A  : sec B  : sec C ). Astfel, linia centrală asociată cu centrul cercului circumscris în coordonate triliniare este dată de: ecuaţie

x sec A + y sec B + z sec C = 0.

• Conjugarea izogonală a ortocentrului unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului. Astfel, linia centrală asociată cu ortocentrul este polara triliniară a centrului cercului circumscris.

Linia centrală asociată cu X 5 , adică cu centrul cercului de nouă puncte

Coordonatele triliniare ale centrului cercului de nouă puncte X 5 (notat și N ) ale triunghiului ABC sunt (cos ( B − C ) : cos ( C − A ) : cos ( A − B )). [9] . Astfel, linia centrală asociată cu centrul cercului de nouă puncte în coordonate triliniare este dată de ecuație

x cos ( B − C ) + y cos ( C − A ) + z cos ( A − B ) = 0.

• Conjugarea izogonală a centrului cercului de nouă puncte al triunghiului ABC este punctul Kosnite X 54 al triunghiului ABC . [10] [11] . Astfel, linia centrală asociată cu centrul cercului în nouă puncte este polara triliniară pentru punctul Kosnite.
• Punctul Kosnite este construit după cum urmează. Fie O  centrul cercului circumscris triunghiului ABC . Fie O A , OB , O C centrele cercurilor  circumferinte ale triunghiurilor BOC , COA , respectiv AOB . _ _ _ _ _ _ _ Numele său este asociat cu J. Rigby. [12]

Linia centrală asociată cu X 6 , adică cu punctul de intersecție al symmedianelor: linia la infinit

Coordonatele triliniare ale punctului de intersecție a trei simetriene ( punctul Lemoine ) X 6 (notat și cu K ) ale triunghiului ABC este ( a  : b  : c ). Astfel, linia centrală asociată cu punctul de intersecție a trei simedieni în coordonate triliniare este dată de ecuație

a x + b y + c z =0.

• Această linie este o dreaptă la infinit în planul triunghiului ABC .
• Conjugatul izogonal al simmetriei triunghiului ABC este centroidul triunghiului ABC . Astfel, linia centrală asociată cu punctul de intersecție al symmedianelor este polara triliniară a centroidului. Este axa de perspectivă a triunghiului ABC și a triunghiului său suplimentar (este și triunghiul median = triunghiul medial).

Alte linii centrale nominale

Linia lui Euler

Linia Euler a triunghiului ABC este linia care trece prin centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumscris triunghiului ABC . Ecuația sa în coordonate triliniare este

x sin 2 A sin ( B − C ) + y sin 2 B sin ( C − A ) + z sin 2 C sin ( C − A ) = 0.

Aceasta este linia centrală asociată cu punctul X 647 .

Axa lui Brocard

Axa lui Brocard a triunghiului ABC este o linie dreaptă care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului și punctul de intersecție al celor trei simetrii ai triunghiului ABC . Ecuația sa în coordonate triliniare este

x sin ( B  - C ) + y sin ( C  - A ) + z sin ( A  - B ) = 0.

Această linie centrală este conectată la centrul X 523 .

Vezi și

• Polari triunghiulari triliniari
• Polar și polar

Note

1. ↑ Kimberling, Clark. Puncte centrale și linii centrale în planul unui triunghi  // Revista de matematică  : revistă  . - 1994. - iunie ( vol. 67 , nr. 3 ). - P. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
2. ↑ 1 2 3 Kimberling, Clark. Centrele de triunghi și triunghiurile centrale  (neopr.) . - Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - P. 285.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Central Line . De la MathWorld--O resursă web Wolfram . Preluat: 24 iunie 2012. (nedefinit)
4. ↑ Kimberling, Clark Glosar: Enciclopedia centrelor triunghiulare . Preluat: 24 iunie 2012. (nedefinit)
5. ^ Weisstein, Eric W. Trilinear Polar . De la MathWorld--O resursă web Wolfram. . Preluat: 28 iunie 2012.  (nedefinit)
6. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . De la MathWorld--O resursă web Wolfram. . Preluat: 28 iunie 2012. (nedefinit)
7. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . De la MathWorld--O resursă web Wolfram . Preluat: 26 iunie 2012. (nedefinit)
8. ↑ Weisstein, Eric W. Orthic Axis . De la MathWorld--O resursă web Wolfram. . (nedefinit)
9. ^ Weisstein , Eric W. Centrul în nouă puncte . De la MathWorld--O resursă web Wolfram. . Preluat: 29 iunie 2012. (nedefinit)
10. ↑ Weisstein, Eric W. Kosnita Point . De la MathWorld--O resursă web Wolfram . Preluat: 29 iunie 2012. (nedefinit)
11. ↑ Darij Grinberg. Pe Punctul Kosnita și Triunghiul de Reflecție  // Forum  Geometricorum : jurnal. - 2003. - Vol. 3 . - P. 105-111 .
12. ↑ J. Rigby. Note scurte despre unele teoreme geometrice uitate  (neopr.)  // Mathematics & Informatitics Quarterly. - 1997. - T. 7 . - S. 156-158 .