Funcția L Dirichlet

Funcția Dirichlet L - este o funcție complexă dată la(în cazul caracterului principal) de către formulă $L_{{\chi }}(e)$ $\operatorname {Re}\,s>0$ $\operatorname {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

unde este un caracter numeric (modulo k ). Funcțiile Dirichlet au fost introduse pentru a demonstra teorema numerelor prime a lui Dirichlet în progresie aritmetică , al cărei punct central este demonstrarea inegalității pentru caracterele neprincipale. $\bărbie)$ $L$ $L_{\chi }(1)\neq 0$

Produs Euler pentru funcțiile L Dirichlet

Datorită multiplicativității caracterului numeric, funcția Dirichlet poate fi reprezentată în domeniu ca un produs Euler peste numere prime : $\chi$ $L$ $\operatorname {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\prod _{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1 }}

Această formulă conduce la numeroase aplicații ale funcțiilor - în teoria numerelor prime. $L$

Relația cu funcția zeta

$L$ funcția Dirichlet corespunzătoare caracterului principal modulo k este legată de funcția zeta Riemann prin formula $\zeta (s)$

L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod _{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\ dreapta)

Această formulă ne permite să definim pentru o regiune cu un pol simplu în punctul . $L_{{\chi _{0}}}(e)$ $Re(e)>0$ $s=1$

Ecuație funcțională

Ca și funcția Riemann , funcția - satisface o ecuație funcțională similară. $L$

Definim după cum urmează: dacă este o funcție gamma , este un caracter par, atunci $\Lambda (\chi,s)$ $\Gamma$ $\chi (-1)=1$

\Lambda (\chi,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi,s)

Dacă este un personaj ciudat, atunci $\chi (-1)=-1$

\Lambda (\chi,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi,s)

Fie, de asemenea , suma Gauss a caracterelor și pentru par și pentru impar . Atunci ecuația funcțională ia forma: $g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q)}$ $\chi$ $\varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q)}}$ $\chi$ $\varepsilon (\chi)=-i{\frac {g(\chi)}{\sqrt {q}}}$ $\chi$

\Lambda (\chi,s)=\varepsilon (\chi)q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi}),1-s)

Vezi și

rândul Dirichlet

Literatură

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V. , Shidlovsky A. B. Introducere în teoria numerelor. - M. : Editura Universității din Moscova, 1984.
Karatsuba A. A. Fundamentele teoriei analitice a numerelor. - Ed. a 3-a. — M .: URSS, 2004.

L -funcţii în teoria numerelor
Exemple analitice	Funcția zeta Riemann L -Funcţiile Dirichlet L -funcțiile caracterelor Hecke Funcții L automorfe clasa Selberg
Exemple algebrice	Funcții zeta Dedekind Artin L -functii Hasse-Weyl L -funcții Motive L -functions
Teoreme	Formula analitică pentru numărul de clase Formula Riemann-von Mangoldt ipotezele lui Weil
Ipoteze analitice	Ipoteza Riemann Ipotezele Riemann generalizate Ipoteza Lindelöf Ipoteza Ramanujan Ipoteza lui Artin
Conjecturi algebrice	Ipoteza Birch-Swinnerton-Dyer Conjectura lui Deligne Ipotezele lui Beilinson Conjectura Bloch-Kato Ipoteza Langlands
p - adic L -functions	Ipoteza principală a teoriei Iwasawa Selmer Group Sistemul Euler