Funcția L

O funcție L este o funcție meromorfă pe planul complex asociată cu unul dintre mai multe tipuri de obiecte matematice . O serie L este o serie Dirichlet care de obicei converge pe semiplan și care poate fi extinsă analitic la o funcție L pe întregul plan complex.

Teoria funcției L a devenit o parte foarte esențială, deși încă în mare măsură ipotetică, a teoriei analitice moderne a numerelor . În acesta, sunt construite generalizări ample ale funcției zeta Riemann și ale seriei L pentru caracterele Dirichlet , iar proprietățile lor generale, în marea majoritate a cazurilor, nu sunt încă disponibile pentru demonstrare într-o prezentare sistematică.

Clădire

Vom distinge între seria L , adică reprezentări prin serii (de exemplu, seria Dirichlet pentru funcția zeta Riemann) și funcțiile L , adică continuări analitice ale unei funcții pe întregul plan complex. Construcția generală începe cu seria L , definită mai întâi ca un rad Dirichlet, și descompunerea lor într-un produs Euler cu indice care trece prin numere prime. Considerarea necesită demonstrarea convergenței seriei într-un semiplan drept al câmpului numerelor complexe. Apoi este întrebat dacă funcția în curs de definire poate fi extinsă analitic la întregul plan complex (poate cu apariția mai multor poli ).

O extensie meromorfă ipotetică la planul complex se numește L - funcție . În cazurile clasice se știe deja că informațiile utile sunt conținute în valorile și comportamentul funcției L la zerourile și polii ei. Termenul general „ funcție L ” aici include și multe tipuri de funcții zeta . Clasa Selberg este o încercare de a descrie toate proprietățile principale ale funcțiilor L folosind un set de axiome pentru a studia proprietățile clasei împreună, și nu separat.

Informații ipotetice

Mai jos este o listă de caracteristici ale funcțiilor L cunoscute pe care este de dorit să le vedeți în termeni generali:

• localizarea zerourilor și a polilor;
• Ecuație funcțională, ținând cont de unele linii verticale ;
• valori interesante în numere întregi legate de parametrii teoriei K algebrice

Lucrarea detaliată a fost generată de un număr mare de ipoteze plauzibile, de exemplu, despre tipul exact de ecuație funcțională care trebuie să fie valabilă pentru funcțiile L. Întrucât funcția Riemann zeta își leagă valorile în numere întregi pozitive pare (și întregi negative impare) cu numerele Bernoulli , este în curs de căutare o generalizare adecvată a acestui fenomen. În acest caz, s-au obținut rezultate pentru funcțiile L p-adice care descriu un anumit modul Galois.

Statistica distribuției zerourilor este de interes datorită conexiunii lor cu probleme precum ipoteza Riemann generalizată , distribuția numerelor prime etc. Legăturile cu teoria matricelor aleatoare și haosul cuantic sunt, de asemenea, de interes. Interesează și structura fractală a distribuțiilor [2] . Autoasemănarea distribuției zerourilor este destul de remarcabilă și se caracterizează printr-o dimensiune fractală mare de 1,9. Această dimensiune fractală destul de mare este deasupra zerourilor, acoperind cel puțin cincisprezece ordine de mărime pentru funcția zeta Riemann, precum și pentru zerourile altor funcții L de diferite ordine și conductori.

Ipoteza lui Birch și Swinnerton-Dyer

Un exemplu important, atât pentru istoria funcțiilor L mai generale , cât și ca problemă de cercetare încă deschisă, este conjectura lui Birch și Swinnerton-Dyer . Conjectura spune cum se poate calcula rangul unei curbe eliptice peste câmpul de numere raționale (sau un alt câmp global ), adică numărul de grupuri de puncte raționale libere care o formează. Multe lucrări anterioare în acest domeniu au început să se unească în jurul unei mai bune cunoașteri a funcțiilor L. A fost ca un exemplu de paradigmă în teoria emergentă a funcțiilor L.

Ascensiunea teoriei generale

Această dezvoltare a precedat programul lui Langlands cu câțiva ani și poate fi văzută ca fiind complementară acestuia: munca lui Langlands se preocupă în principal de funcțiile L ale lui Artin și de funcțiile L atașate reprezentării automorfe generale .

Treptat a devenit mai clar în ce sens construcția funcției zeta Hasse-Weil poate face ca furnizarea de L admisibile - funcții lucrabile - în sens analitic: trebuie să existe o oarecare contribuție din partea analizei, ceea ce însemna analiză „automorfă”. Cazul general reunește acum la nivel conceptual o serie de programe de cercetare diferite.

Vezi și

• Ipotezele Riemann generalizate
• Funcția L automorfă
• Teorema de modularitate
• Ipoteza lui Artin

Link -uri

1. ↑ Jorn Steuding, An Introduction to the Theory of L-functions, Preprint, 2005/06
2. ↑ O. Shanker. Matrici aleatoare, funcții zeta generalizate și auto-asemănarea distribuțiilor zero  // J. Phys  . A: Matematică. Gen. : jurnal. - 2006. - Vol. 39 , nr. 45 . - P. 13983-13997 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - Cod biblic .