Principia Mathematica

Principia Mathematica
Engleză  Principia Mathematica
Autor Bertrand Russell și Whitehead, Alfred North
Limba originală Engleză
Original publicat 1910 (Volumul I), 1912 (Volumul II), 1913 (Volumul III)
Editor Cambridge University Press
 Fișiere media la Wikimedia Commons

Principia Mathematica  este o lucrare în trei volume despre logica și filosofia matematicii de Alfred North Whitehead și Bertrand Russell , publicată în 1910, 1912 și 1913. Monografia este scrisă în limba engleză, dar titlul este în latină. Titlul a fost tradus în rusă ca „Principii ale matematicii”, „Principii ale matematicii” și „Fundamentals of Mathematics”.

Alături de Organonul lui Aristotel ( greacă : Ὄργανον ) și Legile fundamentale ale aritmeticii ale lui Gottlob Frege ( germană: Grundgesetze der Arithmetik ), este una dintre cele mai influente lucrări despre logică din istorie [1] . Volumul Principia Mathematica în total este de aproximativ 2000 de pagini [2] .  

În munca lor, Russell și Whitehead au căutat să arate că toată matematica este reductibilă la logică printr-un set de axiome și câteva concepte de bază, adică să justifice logicismul . Pentru aceasta, a fost introdusă teoria tipurilor , în cadrul căreia a fost imposibil să se formuleze conceptul de „mulțimea tuturor mulțimilor”, ceea ce a condus la paradoxul lui Russell . În plus, au fost introduse două axiome: axioma infinitului (există un număr infinit de obiecte) și axioma reductibilității (pentru fiecare mulțime există o mulțime de ordinul întâi de volum egal) [3] .

Istorie

Ideea centrală a Principia Mathematica despre reductibilitatea matematicii la logică (logicism) a fost afirmată implicit de Leibniz în secolul al XVII-lea, ulterior a fost exprimată explicit de Frege , care a dezvoltat aparatul logico-matematic necesar justificării tehnice a logicismului. [1] .

În 1898, Whitehead a publicat lucrarea sa despre logicism, A Treatise on Universal Algebra , iar în 1903 Russell a scris The Principles of Mathematics . Deoarece ambii matematicieni au ajuns la concluzii similare, iar subiectele lucrării lor s-au suprapus, ei au început curând să colaboreze la o lucrare comună, care a fost numită Principia Mathematica . Alegerea numelui a avut mai puțin de-a face cu Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica a lui Newton , ci cu Principia Ethica a lui Moore [4] [5] .

Russell a fost responsabil pentru partea filozofică a lucrării, în timp ce aspectele tehnice au fost scrise în comun. După cum a scris Russell:

În ceea ce privește problemele matematice, Whitehead a dezvoltat cea mai mare parte a notației, cu excepția a ceea ce Peano avea deja ; Am lucrat cu rândurile și Whitehead a făcut aproape orice altceva. Dar acest lucru se aplică doar primelor proiecte. Fiecare parte a fost refăcută de 3 ori. Unul dintre noi a făcut prima schiță a textului și l-a trimis celui de-al doilea, care de obicei îl modifica substanțial și îl trimitea înapoi. Apoi, autorul schiței originale a adus textul în forma sa finală. Nu există aproape o singură linie în toate cele trei volume care să nu fie rezultatul unui efort comun.

Text original  (engleză)[ arataascunde] În ceea ce privește problemele de matematică, Whitehead a inventat cea mai mare parte a notației, cu excepția faptului în care a fost preluată de la Peano; Eu am făcut cea mai mare parte a muncii legate de seriale, iar Whitehead a făcut cea mai mare parte a restului. Dar acest lucru se aplică doar primelor proiecte. Fiecare parte a fost făcută de trei ori. Când unul dintre noi făcea un prim proiect, îl trimitea celuilalt, care de obicei îl modifica considerabil. După care, cel care făcuse prima schiță o punea în formă finală. Nu există aproape o linie în toate cele trei volume care să nu fie un produs comun. — Bertrand Russell. Dezvoltarea mea filozofică . - Londra: Allen and Unwin, 1959. - P.  74 . — 279p. — ISBN 0041920155 .

Matematicienii plănuiau să termine lucrarea într-un an, dar după aproape zece ani, lucrarea nu fusese încă finalizată. În plus, Cambridge University Press a decis că publicarea acestei lucrări va cauza o pierdere de 600 de lire sterline , dintre care 300 editorul era gata să le asume, 200 donate de Royal Society of London și a plătit 50 fiecare lui Russell și Whitehead. din fonduri personale. În prezent, nu există o singură bibliotecă academică care să nu aibă o ediție Principia Mathematica [1] .

Cuprins

Principia Mathematica este alcătuită din 3 volume, care sunt împărțite în 6 părți.

Volumul I a fost publicat în 1910 și conținea axiome și reguli de bază pentru derivarea axiomelor de ordin superior, operații elementare asupra mulțimilor și relațiilor binare , definirea lui unu și doi ca numere. Volumul I s-a ocupat de teorema lui Zermelo , axioma alegerii și teorema Cantor-Bernstein .

Volumul II a fost publicat în 1912. S-a ocupat de numere cardinale și operații aritmetice asupra lor, numere finite, aritmetică a relațiilor binare, mulțimi ordonate liniar , mulțimi ordonate Dedekind , puncte limită și funcții continue .

Volumul III a fost lansat în 1913. Se considera mulțimi bine ordonate , mulțimi complet ordonate, mulțimi de numere întregi, numere raționale, reale și măsurarea acestora. A fost atinsă și chestiunea echivalenței dintre axioma alegerii și principiul de bine ordonare.

Volumul IV a fost planificat pentru publicare, dar nu a fost scris niciodată. Trebuia să fie dedicat geometriei [1] [6] .

Critică și influență

Cartea Principia Mathematica a fost o mare realizare din două puncte de vedere: a avansat semnificativ dezvoltarea logicii matematice și a arătat cum să scapi de toate paradoxurile cunoscute ale teoriei mulțimilor . Cu toate acestea, autorii săi au susținut mai mult - pentru a clarifica esența cunoștințelor matematice. În acest sens, poziția lor a găsit puțin sprijin. Printre susținătorii logicismului se numără Alonzo Church și Willard Van Orman Quine , în tabăra adversarilor se află matematicieni proeminenți precum A. Poincaré , D. Hilbert , G. Weil și mulți alții.

Criticii au atacat atât ideologia logicismului , cât și încarnarea sa specifică în carte. Ei au subliniat că consistența construcției Russell-Whitehead nu a fost dovedită și nu exista nicio garanție că nu vor apărea noi paradoxuri. Două noi axiome propuse de autori, axioma infinitului și axioma reductibilității, au provocat o respingere deosebită. Mulți matematicieni au susținut că aceste axiome nu sunt pur logice [7] . Astfel, potrivit criticilor, axioma infinitului este empirică , dar nu logică. Iar axioma reductibilității nu are dovezi intuitive și a fost introdusă ad-hoc pentru a evita efectele incomode ale teoriei tipurilor. Astfel, problema valorii științifice a logicismului a rămas deschisă [1] .

Când K. Gödel sa alăturat lucrării de demonstrare a consistenței sistemelor formale ale Principia Mathematica , a venit un punct de cotitură. În 1931, Gödel a demonstrat imposibilitatea de a justifica consistența aritmeticii formale folosind propriile sale mijloace, iar asumarea consistenței sale înseamnă că este imposibil să se dovedească toate axiomele de ordinul întâi despre numerele naturale (vezi teorema de incompletitudine a lui Gödel ). În comunitatea științifică, această teoremă Gödel a fost percepută ca fiind imposibilitatea unei implementări la scară completă atât a logicismului, cât și a formalismului . Rezultatele lucrării lui Gödel asupra sistemelor formale ale Principia Mathematica au afectat nu numai logica, matematica și filozofia, ci și întrebările care se află în domenii ale cunoașterii umane precum epistemologia , psihologia și metodologia sistemelor de inteligență artificială [3] .

În ciuda criticilor, Principia Mathematica continuă să fie una dintre cele mai influente lucrări logice din lume. Datorită acestei lucrări, o nouă logică matematică a câștigat o popularitate mult mai mare. Unul dintre meritele lui Russell și Whitehead aici este că au reușit, așa cum nimeni altcineva nu a avut înainte, să demonstreze puterea logicii predicatelor. De asemenea, au arătat cât de bogată și versatilă poate fi ideea sistemelor formale și, astfel, au deschis o nouă linie de cercetare - metalogică . Principia Mathematica a avut o mare influență asupra dezvoltării ulterioare a logicii și a marcat începutul multor studii metalogice . Deci, în 1920, E. Post a demonstrat completitudinea deductivă și funcțională a logicii propoziționale , iar în 1930, K. Gödel a demonstrat completitudinea deductivă a logicii predicatelor [3] . Conceptele cărții au influențat și munca unor logicieni și matematicieni precum A. Turing și A. Church [1] .

În plus, Russell și Whitehead au arătat o legătură clară între logicism și cele două ramuri principale ale filosofiei: metafizica și epistemologia . Principia Mathematica a stimulat cercetarea în ambele direcții și continuă să influențeze matematica și logica [2] .

Deși încercările de a reînvia logicismul lui Russell și Whitehead continuă până în zilele noastre, mulți autori consideră că sistemele formale ale Principia Mathematica sunt prea slabe sau confuze pentru a justifica cu adevărat posibilitatea logicismului [1] .

Traduceri în alte limbi

Traducerea primului volum al cărții în limba rusă a fost publicată în 2004, al doilea volum - în 2005, al treilea volum - în 2006. Traducerea a fost făcută sub redacția lui G. P. Yarovoy și Yu. N. Radaev [2] .

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Irvine, AD Principia Mathematica  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. — 2010.
  2. ↑ 1 2 3 Universitatea de Stat Samara (link inaccesibil) . Data accesului: 7 august 2013. Arhivat din original la 26 ianuarie 2007. 
  3. ↑ 1 2 3 A. S. Karpenko. Principii de matematică // Enciclopedia Epistemologiei și Filosofia Științei. - M . : „Kanon +”, ROOI „Reabilitare”. I. T. Kasavin, 2009.
  4. ↑ Nicholas Griffin. Companionul din Cambridge pentru Bertrand Russell . - Cambridge University Press, 2003. - P. 66. - 550 p. — ISBN 0521636345 .
  5. ↑ I. Grattan-Guinness. Căutarea rădăcinilor matematice, 1870–1940: logica, teoriile seturilor și fundamentele matematicii de la Cantor la Russell la Godel . — Princeton University Press. - 2011. - P. 380. - 624 p. — ISBN 1400824044 .
  6. ↑ Stanley Burris. Principia Mathematica: Whitehead și  Russell . — 1997.
  7. ↑ Kline M., 1984 , p. 260-267.

Literatură

Ediție în limba rusă

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
În cataloagele bibliografice