Q-analogic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 16 ianuarie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Analogul Q al unei teoreme , identități sau expresii este o generalizare care implică un nou parametru q care returnează teorema, identitatea sau expresia inițială în limită ca q → 1 . De obicei, matematicienii sunt interesați de analogii q care apar în mod natural, mai degrabă decât să inventeze analogi q arbitrari pentru rezultate cunoscute. Cei mai vechi analogi q sunt seria hipergeometrică de bază , care au fost studiate în secolul al XIX-lea [1] .

Analogii Q sunt cel mai frecvent folosiți în combinatorică și în teoria funcțiilor speciale . În aceste condiții, limita q → 1 este adesea formală, deoarece q este adesea discretă (de exemplu, poate reprezenta o putere a unui număr prim ). Analogii Q au aplicații în multe domenii, inclusiv în studiul fractalilor și al măsurilor multifractale și pentru exprimarea entropiei sistemelor dinamice haotice . Legătura cu fractalii și sistemele dinamice rezultă din faptul că multe obiecte fractale au simetrii ale grupurilor fuchsiane în general (vezi, de exemplu, lucrările „Perlele lui Indra” și „ Grila lui Apollonian ”) și ale grupului modular în special . Conexiunea trece prin geometria hiperbolică și teoria ergodică , unde integralele eliptice și formele modulare joacă un rol major. Seria q [ en în sine este strâns legată de integralele eliptice.

Analogii Q apar în studiul grupurilor cuantice și în superalgebrele q -perturbate . Legătura aici este similară cu modul în care este construită teoria corzilor în limbajul suprafețelor Riemann , ceea ce duce la o conexiune cu curbele eliptice , care la rândul lor sunt legate de q - series .

„Clasic” q - teorie

Teoria q clasică începe cu analogii q pentru numere întregi nenegative [2] . Egalitatea

\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n

sugerează că definim analogul q al numărului n , cunoscut sub numele de paranteză q sau numărul q al numărului n , să fie

[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1} .

Alegerea acestui analog q particular printre alte posibilități nu are un motiv clar, dar analogul apare în mod natural în mai multe contexte. De exemplu, dacă decidem să folosim notația [ n ] q pentru q -analogul numărului n , putem defini q -analogul factorialului , care este cunoscut sub numele de q - factorial , după cum urmează

{\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q} \cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}} \cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}

Acest analog q apare firesc în mai multe contexte. În mod remarcabil, în timp ce n ! numără numărul de permutări de lungime n , [ n ] q ! numără permutările ținând cont de numărul de inversiuni . Adică, dacă inv( w ) înseamnă numărul de inversiuni ale unei permutări w și S n este mulțimea de permutări de lungime n , avem

\sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!

În special, puteți obține factorialul obișnuit trecând la limita . $q\rightarrow 1$

Factorialul Q este, de asemenea, definit pe scurt în termenii simbolului q Pochhammer , blocul de bază al tuturor teoriilor q :

[n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.

Se poate trece de la q-factoriali la q - coeficienți binomiali , cunoscuți și sub denumirea de coeficienți gaussieni, polinoame gaussiene sau coeficienți binomii gaussieni :

{\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_{q}!}} .

Q -gradul este definit ca

e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.

Funcțiile q trigonometrice , împreună cu transformata q -Fourier, sunt definite în același context.

Q -analogi în combinatorică

Coeficienții gaussieni numără subspațiile unui spațiu vectorial finit . Fie q numărul de elemente ale câmpului finit (numărul q este atunci egal cu puterea unui număr prim , q = p e , deci utilizarea literei q este rezonabilă). Atunci numărul de subspații k -dimensionale ale unui spațiu vectorial n -dimensional peste un câmp cu q elemente este

{\binom {n}{k}}_{q}.

Deoarece q tinde spre 1, obținem coeficientul binom

{\binom {n}{k)),

sau, cu alte cuvinte, numărul de k -submulțimi de elemente ale unei mulțimi cu n elemente.

Astfel, se poate considera un spațiu vectorial finit ca o q -generalizare a unei mulțimi, iar subspații ca o q -generalizare a submulțimii acestei mulțimi. Acesta este un punct de vedere fructuos pentru găsirea de teoreme interesante. De exemplu, există analogi q ai teoremei lui Sperner și teoriei lui Ramsey .

q → 1

Invers față de a permite lui q să se schimbe și de a considera q -analogii ca abateri, se poate considera cazul combinatoric q = 1 ca limită a q -analogilor q → 1 (de multe ori nu este posibil să se substituie pur și simplu q = 1 în formulă, deci trebuie să ia limita).

Acest lucru poate fi formalizat într- un câmp cu un element , unde combinatoria este reprezentată ca o algebră liniară peste un câmp cu un element. De exemplu, grupurile Weyl sunt pur și simplu grupuri algebrice pe un câmp cu un element.

Aplicații în fizică

Analogii Q se găsesc adesea în soluții exacte la problemele cu mai multe corpuri. În astfel de cazuri, limita ca q → 1 corespunde unei dinamici relativ simple, adică fără perturbări neliniare, în timp ce q < 1 oferă o privire într-un regim complex de feedback neliniar.

Un exemplu din fizica atomică este modelul de creare a unui condensat molecular dintr-un gaz fermionic ultrarece în condițiile de curățare a unui câmp magnetic extern folosind rezonanța Feshbach [3] . Acest proces este descris de un model cu o versiune q -perturbată a algebrei operatorului SU(2), iar soluția este descrisă prin distribuții exponențiale și binomiale q -perturbate .

Vezi și

Note

↑ Exton, 1983 .
↑ Ernst, 2003 , p. 487–525.
↑ Sun, Sinitsyn, 2016 , p. 033808.

Literatură

Exton H. q-Funcții și aplicații hipergeometrice. - New York: Halstead Press, 1983. - ISBN 0853124914 . — ISBN 0470274530 . — ISBN 978-0470274538 .
Thomas Ernst. O metodă pentru calculul q // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2003. - T. 10 , nr. 4 . — S. 487–525 .
Sun C., Sinitsyn NA Landau-Zener extensie a modelului Tavis-Cummings: Structura soluției // Phys. Rev. A. _ - 2016. - T. 94 , nr. 3 . - doi : 10.1103/PhysRevA.94.033808 . — Cod .

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Umbral calculus , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
q -analog de la MathWorld
q -bracket din MathWorld
q -factorial din MathWorld
q -coeficient binomial din MathWorld