Algebră Clifford

Algebra Clifford este un tip special de algebră unitară asociativă peste un inel comutativ ( este un spațiu vectorial sau, mai general, un modul liber ) cu o operație [„multiplicare”] care coincide cu forma biliniară dată pe . $Cl(E, Q(,))$ $K$ $E$ $K$ $E$ $Q$

Semnificația construcției este o prelungire asociativă a spațiului E ⊕ K și operația de înmulțire pe acesta astfel încât pătratul acesteia din urmă să coincidă cu forma pătratică dată Q. Mai întâi considerată de Clifford . Algebrele Clifford generalizează numerele complexe , numerele paracomplexe și numerele duale , de asemenea numerele bicomplexe , cuaternionii etc.: familia lor acoperă în mod exhaustiv toate numerele hipercomplexe asociative .

Definiție formală

Fie un inel comutativ cu identitate, un modul K liber și o formă pătratică pe . Algebra Clifford a unei forme pătratice (sau perechi ) este algebra coeficientului unei algebre tensorice , -modul de un ideal cu două fețe , generat de elemente de forma $K$ $E$ $Q$ $E$ $Q$ $(E, Q)$ $Cl(E, Q)$ $T(E)$ $K$ $E$

x\otimes xQ(x)1,~~x\in E

Elementele (vectorii) din , fiind tensori de rang 1, sunt considerate și elemente ale lui , iar maparea corespunzătoare este un monomorfism (înglobare) de module: $E$ $Cl(Q)$

E \hookrightarrow Cl(Q)

Comentariu

Dacă există câmpuri de numere reale sau complexe, atunci - spațiu liniar și produsul scalar inerent unui astfel de spațiu este folosit ca calitate . $K$ $E$ $Q(,)$

Exemple de algebre reale și complexe

Proprietăți

Identitatea principală a algebrelor Clifford: dacă caracteristica inelului K nu este egală cu doi , atunci pentru orice : $x, y \în E$ $xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle$

unde este forma biliniară simetrică corespunzătoare formei pătratice Q :

\left\langle ,\right\rangle

\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)

expresia se numește

anticomutator și .

[x,y]:=xy+yx

X

y

Pentru forma pătratică zero, algebra este aceeași cu algebra exterioară a -modului . $Q$ $Cl(E,Q)$ $\Lambda(E)$ $K$ $E$
Să fie o bază de -module , apoi elemente ale formei $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $K$ $E$ $1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\dots<j_k,$ pentru toți k de la 1 la n ) sau, în caz contrar: unde formează baza -modulului . În special, este un modul liber de rang (dimensiune) $e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}$ $\sigma_j = 0,1$ $K$ $Cl(Q)$ $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$
- Dacă, în plus, sunt ortogonale în raport cu , atunci poate fi specificată ca o -algebră cu generatoare și relații definitorii , ( ) și . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $Q$ $Cl(Q)$ $K$ $1,e_1,e_2,\dots,e_n$ $e_i e_j + e_j e_i = 0$ $i\nu=j$ $e_i^2= Q(e_i,e_i)$
Algebra Clifford are o gradare Z 2 . În special, un submodul în , generat de produsele unui număr par de elemente din , formează o subalgebră în , care este notat cu . $Cl(Q)$ $E$ $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
Fie un câmp și forma pătratică este nedegenerată $K$ $Q(,)$
- atunci pentru n algebra este o algebră simplă centrală peste dimensiunea , subalgebra este separabilă, iar centrul ei are dimensiunea 2 peste . $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$ $Cl^+(Q)$ $K$
Dacă este închis algebric , atunci $K$
- pentru că chiar n este o algebră
matriceală , a este un produs a două algebre matriceale, $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
pentru n impar, dimpotrivă, este matrice și este produsul a două algebre matriceale. $Cl^+(Q)$ $Cl(Q)$

Reprezentări matrice ale algebrelor Clifford

Ecuația lui Dirac este un exemplu important de aplicare a reprezentărilor CL_3,1(ℝ) , care au fost studiate pentru prima dată de Ettore Majorana .

Literatură

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. geometria spinării. — 1989.
Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebres and spinors , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 ( arhivat la 4 aprilie 2016 la Wayback Machine )
Ian R. Porteous „Algebrele Clifford și grupurile clasice” Cambridge, CUP , 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
R. Jagannathan (2010), „ Despre algebrele Clifford generalizate și aplicațiile lor fizice Arhivat la 29 noiembrie 2014 la Wayback Machine ”