Un grup algebric este un grup care este simultan o varietate algebrică , iar operația de grup și operația de luare a elementului invers sunt mapări regulate ale soiurilor.
În ceea ce privește teoria categoriilor , un grup algebric este un obiect de grup din categoria varietăților algebrice.
Mai multe clase importante de grupuri pot fi dotate cu structura unui grup algebric:
Dimpotrivă, curbele eliptice sunt un exemplu de varietăți algebrice care pot fi înzestrate cu structura unui grup algebric.
Există două clase de grupuri algebrice ale căror proprietăți sunt atât de bine înțelese încât sunt de obicei tratate separat: varietăți abeliene și grupuri algebrice liniare . Există, de asemenea, grupuri algebrice care nu aparțin niciunei dintre aceste clase - de exemplu, astfel de grupuri apar în mod natural în teoria jacobienilor generalizați . Cu toate acestea, conform teoremei de structură a lui Chevalley , orice grup algebric conex peste un câmp perfect conține un subgrup algebric liniar normal al cărui coeficient este o varietate abeliană.
Conform unei alte teoreme de bază, orice grup care este o varietate algebrică afină admite o reprezentare fidelă finit- dimensională, adică este un grup matriceal cu elemente dintr- un câmp k , dat de ecuații polinomiale cu coeficienți în k . Aceasta înseamnă că definiția unui grup algebric afine este redundantă: se poate folosi întotdeauna definiția sa mai specifică ca grup de matrice.
Definiția dată mai sus este potrivită numai pentru grupuri peste un câmp închis algebric . Există, de asemenea, „grupuri algebrice peste un inel” definite folosind limbajul schemelor : o schemă de grup peste un inel comutativ R este un obiect de grup din categoria schemelor peste R.
Un subgrup algebric al unui grup algebric este un subgrup închis în topologia Zariski . Un homomorfism de grupuri algebrice este o mapare regulată a varietăților corespunzătoare, care este în același timp un homomorfism de grup ; un subgrup algebric poate fi definit în mod echivalent ca imaginea unui homomorfism injectiv .