Grup algebric liniar

Un grup algebric liniar este un subgrup al grupului de matrici inversabile (prin multiplicare ) care sunt definite prin ecuații polinomiale . Un exemplu este grupul ortogonal definit prin , unde este matricea transpusă M. $n\ ori n$ $M^{T}M=1$ $M^T$

Multe grupuri Lie pot fi văzute ca grupuri algebrice liniare în câmpul numerelor reale sau complexe . (De exemplu, orice grup compact Lie poate fi considerat un grup algebric liniar peste , la fel ca multe grupuri necompacte, cum ar fi grupul simplu Lie .) Grupurile simple Lie au fost clasificate de Wilhelm Killing și Elie Joseph Cartan în anii 1880. și anii 1890. La acea vreme, ei nu acordau nicio importanță faptului că structura unui grup poate fi definită printr-un polinom , adică că acestea sunt grupuri algebrice. Fondatorii teoriei grupurilor algebrice au fost Maurer $\mathbb {R}$ $SL(n,\mathbb {R} )$ ,Claude Chevalletși Kolchin[1]. În anii 1950,Borela construit cea mai mare parte a teoriei grupurilor algebrice în forma sa modernă.

Una dintre primele utilizări ale teoriei a fost definirea unui grup de tip Lie .

Exemple

Pentru un natural n , grupul liniar complet GL ( n ) peste câmpul k , constând din toate matricele inversabile, este un grup algebric liniar peste k . Conține subgrupe: $n\ ori n$

U\subset B\subset GL(n)

format din matrice de forma

\left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end {matrice}}\dreapta)

și .

\left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{matrice}}\right)

Grupul este numit grup multiplicativ . Adică grupul este grupul de k * elemente nenule ale câmpului k prin înmulțire. Gruparea aditivă , cu (prin adăugare), poate fi exprimată ca o grupare matrice, de exemplu ca subgrup de U în GL (2): $G_{m}=GL(1)$ $G_{m}(k)$ $G_a$ $G_{a}(k)=k$

{\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.

Aceste două exemple de bază de grupuri algebrice liniare comutative, multiplicative și aditive, se comportă foarte diferit în ceea ce privește reprezentările lor liniare (ca grupuri algebrice). Orice reprezentare a unui grup multiplicativ este o sumă directă de reprezentări ireductibile . (Reprezentările lor ireductibile sunt toate de dimensiunea 1 și iau forma unui număr întreg n .) Spre deosebire de grupul multiplicativ, singura reprezentare ireductibilă a unui grup aditiv este reprezentarea trivială. Deci, orice reprezentare (cum ar fi reprezentarea 2D de mai sus) este o extensie repetată reprezentărilor triviale, nu o sumă directă (cu excepția cazului în care reprezentarea este trivială). Teoria structurală a grupurilor algebrice liniare analizează orice grup algebric liniar în termenii acestor două grupuri de bază și generalizările lor, grupuri tori și unipotente. $G_{m}$ $x\mapsto x^{n)$ $G_a$ $G_a$

Definiții

Pentru un câmp închis algebric k , o parte semnificativă a structurii unei varietăți algebrice X peste k este codificată în mulțimea sa X ( k ), unde k sunt puncte raționale , ceea ce permite o definiție elementară a unui grup algebric liniar . Să definim mai întâi o funcție din grupul abstract GL ( n , k ) în k ca regulată dacă poate fi scrisă ca polinom în elementele matricei A și în 1/det( A ), unde det înseamnă determinantul . Atunci un grup algebric liniar G peste un câmp algebric închis k este un subgrup G ( k ) al grupului abstract GL ( n , k ) pentru un n natural astfel încât G ( k ) este definit prin atribuirea unui set de funcții regulate la zero . $n\ ori n$

Pentru un câmp arbitrar k , o varietate algebrică peste k este definită ca un caz special de scheme peste k . În acest limbaj, un grup algebric liniar G peste un câmp k este o schemă de subgrupuri închise netedă a grupului GL ( n ) peste k pentru un n natural . În special, G este definit prin atribuirea zero unui set de funcții regulate în GL ( n ) peste k și aceste funcții trebuie să aibă proprietatea că pentru orice k - algebră comutativă R G ( R ) este un subgrup al grupului abstract GL ( n , R ). (Un astfel de grup algebric G peste k nu este doar un grup abstract G ( k ), ci mai degrabă o întreagă familie de grupuri G ( R ) pentru k - algebre comutative R ; aceasta este filosofia descrierii unei scheme prin functorul său punctual .)

Într-o altă limbă, există noțiunea de homomorfism al grupurilor algebrice liniare. De exemplu, dacă k este închis algebric, homomorfismul de la la este un homomorfism de grup abstract , care este definit de funcții regulate pe G. Aceasta include grupuri algebrice liniare peste k în categoria . În special, aceasta definește ce înseamnă pentru două grupuri algebrice liniare să fie izomorfe . $G\subset GL(m)$ $H\subset GL(n)$ $G(k)\la H(k)$

În limbajul schemelor, un grup algebric liniar G peste un câmp k este, în special, o schemă de grup peste k , adică schemă peste k , împreună cu punctul k și morfismele $1\in G(k)$

m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G

peste k care satisfac axiomele uzuale de multiplicare (asociativitate, identitate, reversibilitate). Grupul algebric liniar este, de asemenea, neted și finit peste k și este afin (ca o schemă). În schimb, orice schemă de grupare afine G de tip finit peste un câmp k are o reprezentare fidelă în GL ( n ) peste k pentru unele n [2] . Un exemplu este încorporarea unei grupări de aditivi în GL (2) așa cum s-a menționat mai sus. Ca rezultat, se pot considera grupuri algebrice liniare fie ca grupuri de matrice, fie, mai abstract, ca scheme netede de grup afine pe un câmp. (Unii autori folosesc termenul „grup algebric liniar” pentru orice schemă de grup afine de tip finit peste un câmp.) $G_a$

Pentru o înțelegere completă a grupurilor algebrice liniare, se pot lua în considerare scheme de grup mai generale (nenetede). De exemplu, fie k un câmp închis algebric cu caracteristica p > 0. Atunci homomorfismul definit de expresie generează un izomorfism de grup abstract , dar f nu este un izomorfism de grup algebric (pentru că nu este o funcție regulată). În limbajul schemelor de grup, motivul pentru care f nu este un izomorfism este clar - f este surjectiv, dar are un nucleu non-trivial , și anume, schema de grup a rădăcinilor pth ale unității. Această problemă nu apare atunci când caracteristica este zero. Mai mult, orice schemă de grup de tip finit peste un câmp k de caracteristică zero este netedă peste k [3] . O schemă de grup de tip finit peste orice câmp k este netedă peste k dacă și numai dacă este redusă geometric , ceea ce înseamnă că schimbarea bazei este redusă , unde este închiderea algebrică a câmpului k [4] . $f\colon G_{m}\to G_{m)$ $x\mapsto x^{p)$ $k^{\ast }\to k^{\ast )$ $x^{\tfrac {1}{p}}$ $\mu _{p}$ $G_{\overline {k)}$ ${\overline {k)}$

Deoarece o schemă afină X este definită de inelul său O ( X ) de funcții regulate, schema unui grup afin G peste un câmp k este definită de inelul O ( G ) cu structura sa algebrică Hopf (care decurge din multiplicare și mapări inverse ). pe G ). Aceasta oferă o echivalență de categorie (săgeți inversate) între schemele de grup peste k și algebrele Hopf comutative peste k . De exemplu, algebra Hopf corespunzătoare grupului multiplicativ este un inel polinom Laurent cu multiplicarea dată de $G_{m}=GL(1)$ $k[x,x^{-1}]$

x\mapsto x\otimes x.

Concepte de bază

Pentru un grup algebric liniar G peste un câmp k , componenta de identitate G o ( componenta conexă care conține punctul 1) este un subgrup normal cu indice finit . Deci există o extensie de grup

1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,

unde F este un grup algebric finit. (Pentru un k închis algebric , F poate fi identificat printr-un grup finit abstract.) Având în vedere acest lucru, studiul grupurilor algebrice se concentrează în cea mai mare parte pe grupurile conectate.

Diverse concepte din teoria abstractă a grupurilor pot fi extinse la grupuri algebrice liniare. Este destul de ușor să definiți ce înseamnă ca un grup algebric liniar să fie comutativ , nilpotent sau decidabil prin analogie cu definițiile din teoria abstractă a grupurilor. De exemplu, un grup algebric liniar este rezolvabil dacă are o serie de compoziții de subgrupuri algebrice liniare astfel încât grupurile de câte să fie comutative. De asemenea , normalizatorul , centrul și centralizatorul unui subgrup închis H al unui grup algebric liniar G este înțeles în mod natural ca o subschemă de grup închis a grupului G. Dacă sunt netede peste k , atunci sunt grupuri algebrice liniare așa cum s-a definit mai sus.

Se poate întreba în ce măsură proprietățile unui grup algebric liniar conectat G asupra unui câmp k sunt determinate de grupul abstract G ( k ). Un rezultat util în această direcție este că, dacă câmpul k este perfect (de exemplu, al caracteristicii zero) sau dacă grupul G este reductiv (cum este definit mai jos), atunci G este unirațional peste k . Deci, dacă, în plus , k este infinit, grupul G ( k ) este Zariski dens în G [5] . De exemplu, conform ipotezelor de mai sus, G este comutativ, nilpotent sau decidebil dacă și numai dacă G ( k ) are proprietatea corespunzătoare.

Ipoteza de conectare nu poate fi omisă din aceste rezultate. De exemplu, să presupunem că G este grupul de rădăcini cubice ale unității peste numerele raționale . Atunci G este un grup algebric liniar peste care nu este Zariski dens în G deoarece este un grup de ordinul 3. $\mu _{3}\subset GL(1)$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $G(\mathbb {Q} )=1$ $G({\overline {\mathbb {Q} }})$

Peste un câmp algebric închis, există un rezultat mai riguros despre grupurile algebrice ca soiuri algebrice — orice grup algebric liniar peste un câmp algebric închis este o varietate rațională [6] .

Lie algebra unui grup algebric

Algebra Lie a unui grup algebric G poate fi definită în mai multe moduri echivalente - ca spațiu tangent la un element neutru sau ca spațiu al diferențialelor invariante stânga . Dacă k este închis algebric, o diferență peste k a inelului de coordonate al lui G este invariantă la stânga dacă $\mathfrak g$ $T_{1}(G)$ $1\in G(k)$ $D\colon O(G)\la O(G)$

D\lambda _{x}=\lambda _{x}D

pentru orice x din G ( k ) unde este generat prin înmulțirea la stânga cu x . Pentru un câmp arbitrar k , o diferenţială stânga-invariantă este definită ca un analog al egalităţii a două mapări liniare [7] . Paranteza Lie a două diferențiale este definită ca . $\lambda _{x}\colon O(G)\to O(G)$ $O(G)\la O(G)\otimes O(G)$ $[D_{1},D_{2}]=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}$

Trecerea de la G la este un proces de diferențiere . Pentru un element , derivata din maparea de conjugare este un automorfism care dă reprezentarea adjunctă : $\mathfrak g$ $x\in G(k)$ $1\in G(k)$ $G\to G,g\mapsto xgx^{-1}$ $\mathfrak g$

\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g))).

Peste un câmp cu caracteristica zero, un subgrup H conex al unui grup algebric liniar G este determinat în mod unic de algebra lui Lie [8] . Cu toate acestea, nu orice subalgebră Lie corespunde unui subgrup algebric G , așa cum se poate vedea din exemplul unui tor peste . În caracteristica pozitivă, pot exista multe subgrupuri diferite de G conectate cu aceeași algebră Lie (din nou, torul oferă un exemplu). Din acest motiv, deși algebra Lie a unui grup algebric este importantă, teoria structurală a grupurilor algebrice necesită mijloace mai globale. ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ $\mathfrak g$ $G=(G_{m})^{2}$ $\mathbb {C}$ $G=(G_{m})^{2}$

Elemente semisimple și unipotente

Pentru un câmp închis algebric k , o matrice g din GL ( n , k ) se spune că este semisimplu dacă este diagonalizabilă și unipotentă dacă matricea g − 1 este nilpotentă . În mod echivalent, g este unipotent dacă toate valorile proprii ale lui g sunt 1. Din forma normală Jordan pentru matrice rezultă că orice element g din GL ( n , k ) poate fi scris unic ca produs astfel încât să fie semisimplu, unipotent , și mai mult, și face naveta unul cu celălalt. $g=g_{ss}g_{u)$ $g_{ss)$ $g_{u)$ $g_{ss)$ $g_{u)$

Pentru orice câmp k , un element g al GL ( n , k ) se spune a fi semisimplu dacă devine diagonalizabil peste închiderea algebrică a câmpului k . Dacă câmpul k este perfect, atunci părțile semisimple și unipotente ale elementului g se află și în . În cele din urmă, pentru orice grup algebric liniar peste un câmp k , definim un punct k al grupului G ca semisimplu sau unipotent dacă este semisimplu sau unipotent în . (Aceste proprietăți sunt, de fapt, independente de alegerea unei reprezentări exacte a lui G .) Dacă câmpul k este perfect, atunci părțile semisimple și unipotente ale punctului k ale grupului G se află automat în G . Adică ( descompunerea Jordan ) orice element g al grupului G ( k ) poate fi scris în mod unic ca produs în G ( k ) astfel încât elementul să fie semisimplu, unipotent și, în plus, comută [ 9] . Acest lucru reduce problema descrierii claselor de conjugație în G ( k ) la cazuri semisimple și unipotente. $GL(n,k)$ $G\subset GL(n)$ $GL(n,k)$ $g=g_{ss}g_{u)$ $g_{ss)$ $g_{u)$ $g_{ss)$ $g_{u)$

Tora

Un tor peste un câmp algebric închis k înseamnă un grup izomorf cu produsul a n copii ale unui grup multiplicativ peste k pentru un n natural . Pentru un grup algebric liniar G , termenul de tor maxim în G înseamnă un tor în G care nu este conținut în niciun alt tor mai mare. De exemplu, grupul de matrici diagonale din GL ( n ) peste k este un tor maxim în GL ( n ), izomorf . Principalul rezultat al teoriei este că oricare doi tori maximi dintr-un grup G peste un câmp algebric închis k sunt conjugați cu un element din G ( k ) [10] . Termenul rang al unui grup G înseamnă dimensiunea oricărui tor maxim. $(G_{m})^{n}$ $(G_{m})^{n}$

Pentru un câmp arbitrar k , un torus T peste k înseamnă un grup algebric liniar peste k a cărui bază se schimbă în închiderea algebrică a câmpului k este izomorfă peste pentru un n natural . Un tor împărțit peste k înseamnă un grup izomorf peste k pentru unele n . Un exemplu de tor nedivizat peste numere reale este $T_{\overline {k)}$ $(G_{m})^{n}$ ${\overline {k)}$ $(G_{m})^{n}$ $\mathbb {R}$

T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},

cu structura de grup dată de formula de înmulţire a numerelor complexe x + iy . Aici T este un tor de dimensiunea 1 peste . Este nedivizat deoarece grupul de puncte reale este un grup ciclic , care nu este izomorf chiar și ca grup abstract . $\mathbb {R}$ $T(\mathbb {R} )$ $G_{m}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{\ast )$

Orice punct al torului peste câmpul k este semisimplu. În schimb, dacă G este un grup algebric liniar conex, astfel încât orice element este semisimplu, atunci G este un tor [11] . $G({\overline {k)})$

Pentru un grup algebric liniar G peste un câmp general k , nu se poate aștepta ca toți tori maximi din G peste k să fie conjugați de un element din G ( k ). De exemplu, atât grupul multiplicativ G m cât și grupul ciclic T de mai sus apar ca tori maximi în SL (2) peste . Totuși, este întotdeauna adevărat că oricare doi tori divizați maximi în G peste k (ceea ce înseamnă tori divizați în G care nu sunt conținute în tori divizați mai mari ) sunt conjugați de un element din G ( k ) [12] . Ca rezultat, este logic să definim rangul k sau rangul de împărțire al unui grup G peste k ca dimensiune a oricărui tor divizat maxim în G peste k . $\mathbb {R}$

Pentru orice tor maxim T într-un grup algebric liniar G peste un câmp k , Grothendieck a arătat ce este un tor maxim în [13] . Rezultă din aceasta că oricare doi tori maximali din G peste un câmp k au aceeași dimensiune, deși pot să nu fie izomorfi. $T_{\overline {k)}$ $G_{\overline {k)}$

Grupuri unipotente

Fie un grup de matrici triunghiulare superioare într -un câmp k cu intrări diagonale unitare. O schemă de grup pe un câmp k (cum ar fi un grup algebric liniar) se spune a fi unipotentă dacă este izomorfă la o subschemă de grup închis pentru unele n . Este ușor de verificat dacă grupul este nilpotent. Ca rezultat, orice schemă a unui grup unipotent este nilpotentă. $U_{n}$ $GL(n)$ $U_{n}$ $U_{n}$

Un grup algebric liniar G peste un câmp k este unipotent dacă și numai dacă orice element al grupului este unipotent [14] . $G({\overline {k)})$

Grupul de matrici triunghiulare superioare din este un produs semidirect $B_{n}$ $GL(n)$

B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},

unde este un tor diagonal . Mai general, orice grup algebric liniar solubil conex este un produs semidirect al unui tor și al unui grup unipotent [15] . $T_{n}$ $(G_{m})^{n}$ $T\ltimes U$

Un grup unipotent conectat neted peste un câmp perfect k (de exemplu, un câmp închis algebric) are o serie de compoziție cu toate grupurile de factori izomorfe cu grupul aditiv [16] . $G_a$

Subgrupuri Borel

Subgrupurile Borel sunt importante pentru teoria structurală a grupurilor algebrice liniare. Pentru un grup algebric liniar G peste un câmp algebric închis k , subgrupul Borel al lui G înseamnă subgrupul solubil conexat maxim. De exemplu, una dintre subgrupurile Borel ale grupuluieste subgrupul B al grupului de matrici triunghiulare superioare (toate intrările de sub diagonală sunt zero). $GL(n)$

Rezultatul de bază al teoriei este că oricare două subgrupuri Borel ale unui grup conex G peste un câmp închis algebric k sunt conjugate de un element din G ( k ) [17] . (Demonstrația standard folosește Teorema punctului fix Borel : Dacă un grup rezolvabil conex G acţionează asupra unei varietăţi adecvate X peste un câmp închis algebric k , există un k - punct în X care rămâne fix sub acţiune. a grupului G. ) Conjugarea subgrupurilor Borel în GL ( n ) este echivalentă cu teorema Lie–Kolchin — orice subgrup rezolvabil conexabil al GL ( n ) este conjugat la un subgrup al unui subgrup triunghiular superior în GL ( n ).

Pentru un câmp arbitrar k , un subgrup Borel B al unui grup G este definit ca un subgrup peste k astfel încât, peste închiderea algebrică a câmpului k , este un subgrup Borel al grupului . Atunci grupul G poate avea sau nu un subgrup Borel peste k . ${\overline {k)}$ $B_{\overline {k)}$ $G_{\overline {k)}$

Pentru o subschemă de grup închis H a unui grup G , spațiul coeficient G / H este o schemă netedă cvasi-proiectivă peste k [18] . Un subgrup neted P al unui grup conex G se spune a fi parabolic dacă G / P este o varietate proiectivă peste k (sau echivalent, propriu-zis peste k ). O proprietate importantă a unui subgrup Borel B este că G / B este o varietate proiectivă, numită varietatea pavilion al grupului G. Adică, subgrupurile Borel sunt subgrupuri parabolice. Mai precis, pentru un câmp închis algebric k , subgrupurile Borel sunt exact subgrupurile parabolice minime ale grupului G. În schimb, orice subgrup care conține un subgrup Borel este parabolic [19] . Astfel, se pot enumera toate subgrupurile parabolice ale lui G (până la conjugarea din G ( k )) prin enumerarea tuturor subgrupurilor algebrice liniare ale lui G care conțin un subgrup Borel fix. De exemplu, subgrupurile peste k care conțin subgrupul Borel B al matricilor triunghiulare superioare includ subgrupul B însuși , întregul grup GL (3) și subgrupurile intermediare $P\subset GL(3)$

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}

și

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.

Spațiile omogene proiective corespunzătoare sunt (respectiv): varietatea steagului tuturor lanțurilor de subspații liniare $GL(3)/P$

0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3)

cu dimensiunea i ; punct; spațiul proiectiv al liniilor ( subspații vectoriale unidimensionale ) în și spațiul proiectiv dual al planurilor în . $V_i$ $\mathbb {P} _{2}$ $A_{3}$ $\mathbb {P} _{2}$ $A_{3}$

Grupuri semisimple și reductive

Un grup algebric liniar conectat G peste un câmp algebric închis se spune că este semisimplu dacă orice subgrup normal solubil conexabil al lui G este trivial. Mai general, un grup algebric liniar conectat G peste un câmp algebric închis se spune că este reductiv dacă orice subgrup normal unipotent conectat neted al lui G este trivial [20] . (Unii autori nu cer ca grupurile reductive să fie conectate.) Un grup semisimplu este reductiv. Un grup G peste un câmp arbitrar k se numește semisimplu sau reductiv dacă este semisimplu sau reductiv. De exemplu, un grup de matrice cu determinantul 1 peste orice câmp k este semisimplu, în timp ce un torus netrivial este reductiv, dar nu semisimplu. În mod similar, grupul este reductiv, dar nu semisimplu (deoarece centrul său este un subgrup normal solubil, netrivial, neted). $G_{\overline {k)}$ $SL(n)$ $n\ ori n$ $GL(n)$ $G_{m}$

Orice grup Lie conex compact are o complexificare , care este un grup algebric reductiv complex. De fapt, această construcție oferă o corespondență unu-la-unu între grupuri compacte de Lie conectate și grupuri reductive complexe până la izomorfism [21] [22] .

Un grup algebric liniar G peste un câmp k se numește simplu (sau k - simplu ) dacă este semisimplu, netrivial și orice subgrup normal conex neted al lui G peste k este trivial sau egal cu G [23] . (Unii autori numesc astfel de grupuri „aproape simple”.) Aceasta diferă ușor de terminologia grupurilor abstracte prin faptul că un grup algebric simplu poate avea un centru non-trivial (deși centrul trebuie să fie finit). De exemplu, pentru orice număr întreg n nu mai mic de 2 și orice câmp k , grupul peste k este simplu, iar centrul său este schema de grup a rădăcinilor a n- a ale unității. $SL(n)$ $\mu _{n}$

Orice grup algebric liniar conex G peste un câmp perfect k este (unic) o extensie a grupului reductiv R față de un grup unipotent conex neted U , numit radical unipotent al grupului G :

1\la U\la G\la R\la 1.

Dacă k are caracteristica zero, atunci există o descompunere Levi mai exactă — orice grup algebric liniar conex G peste k este un produs semidirect al unui grup reductiv și al unui grup unipotent [24] . $R\ltimes U$

Clasificarea grupurilor reductive

Grupurile reductive includ, în practică, cele mai importante grupuri algebrice liniare, cum ar fi grupurile clasice : , grupurile ortogonale SO ( n ) și grupurile simplectice Sp ( 2n ). Pe de altă parte, definiția grupurilor reductive este „negativă” și nu este clar ce se poate aștepta de la ele. Chevalley a dat o clasificare completă a grupurilor reductive pe un câmp închis algebric - acestea sunt determinate de datele rădăcinii [25] . În special, grupurile simple peste un câmp algebric închis k sunt clasificate (până la un factor prin subscheme de grup central finit) prin diagramele lor Dynkin . În mod surprinzător, această clasificare nu depinde de caracteristica k . De exemplu, grupuri excepționale Lie pot fi definite în orice caracteristică (și chiar pentru orice schemă de grup peste ). Clasificarea grupurilor finite simple spune că majoritatea grupurilor simple finite apar ca un grup de k - puncte ale unui grup algebric simplu peste un câmp finit k sau ca variații ale unei astfel de construcții. $GL(n),SL(n)$ ${\displaystyle G_{2},F_{4},E_{6},E_{7},E_{8))$ $\mathbb {Z}$

Orice grup reductiv peste un câmp este un factor prin schema de grup central finit a produsului unui tor și a unor grupuri simple. De exemplu,

GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.

Pentru un câmp arbitrar k , se spune că un grup reductiv G este împărțit dacă conține un torus divizat maxim peste k (adică un torus divizat în G care rămâne maxim peste închiderea algebrică a câmpului k ). De exemplu, GL ( n ) este un grup reductiv împărțit peste orice câmp k . Chevalley a arătat că clasificarea grupurilor reductive divizate este aceeași în orice domeniu. În schimb, clasificarea grupurilor reductive arbitrare poate fi dificilă în funcție de domeniul de bază. De exemplu, orice formă pătratică nedegenerată q peste un câmp k definește un grup reductiv SO ( q ), iar orice algebră centrală simplă A peste k definește un grup reductiv . Ca urmare, problema clasificării grupurilor reductive peste k implică în esență problema clasificării tuturor formelor pătratice peste k sau a tuturor algebrelor centrale simple peste k . Aceste probleme sunt ușoare pentru un k închis algebric și sunt de înțeles pentru alte câmpuri, cum ar fi câmpurile numerice , dar există multe întrebări deschise pentru câmpurile de formă arbitrară. $SL_{1}(A)$

Aplicații

Teoria reprezentării

Un motiv pentru importanța grupurilor reductive vine din teoria reprezentării. Orice reprezentare ireductibilă a unui grup unipotent este trivială. Mai general, pentru orice grup algebric liniar G scris ca extensie

1\la U\la G\la R\la 1

cu U unipotent și reductiv R , orice reprezentare ireductibilă a grupului G trece prin R [26] . Aceasta concentrează atenția asupra teoriei reprezentării grupurilor reductive. (Pentru claritate, reprezentările considerate aici sunt reprezentări ale grupului G ca grup algebric . Atunci pentru un grup G peste un câmp k , reprezentările sunt reprezentări pe k - spații vectoriale, iar acțiunile grupului G sunt date prin regulate funcții. O sarcină importantă, dar destul de diferită, este clasificarea reprezentărilor de grup pentru un grup reductiv real G și alte probleme similare în alte domenii.) $SL(2,\mathbb {R} )$

Chevalley a arătat că reprezentările ireductibile ale unui grup reductiv împărțit pe un câmp k au dimensiune finită și sunt indexate prin ponderi dominante [27] . Aceasta este exact la fel ca în teoria reprezentării grupurilor de Lie compacte conectate sau teoria reprezentării finite-dimensionale a grupurilor complexe de Lie semisimple . Pentru caracteristica zero , toate aceste teorii sunt în esență echivalente. În special, orice reprezentare a unui grup reductiv G peste un câmp de caracteristică zero este o sumă directă a reprezentărilor ireductibile, iar dacă grupul G este împărțit, caracterele reprezentărilor ireductibile sunt date de formula Weil pentru caractere . Teorema Borel-Weil oferă o construcție geometrică a reprezentărilor ireductibile ale unui grup reductiv G cu caracteristica zero ca spații ale secțiunilor unui mănunchi de linii peste varietatea pavilion G / B .

Reprezentările grupurilor reductive (altele decât tori) pe un câmp cu caracteristica pozitivă p sunt mult mai puțin studiate. În această situație, reprezentarea nu este neapărat o sumă directă de reprezentări ireductibile. Și deși reprezentările ireductibile sunt indexate după ponderi dominante, dimensiunile și caracterele reprezentărilor ireductibile sunt cunoscute doar în unele cazuri. Andersen, Jantzen și Sörgel [28] au definit aceste caractere (demonstrând conjectura lui Lustig ) atunci când caracteristica p este suficient de mare în raport cu numărul Coxeter al grupului. Pentru numerele prime mici p nu există nici măcar o presupunere.

Acțiuni de grup și teoria geometrică invariantă

Acțiunea schemei de grup unui grup algebric liniar G asupra unei varietăți (sau scheme) X asupra unui câmp k este un morfism

G\times _{k}X\la X

care satisface axiomele acţiunii de grup . Ca și în alte tipuri de teorie a grupurilor, este important să studiem acțiunile grupului, deoarece grupurile apar în mod natural ca simetrii ale obiectelor geometrice.

O parte a teoriei acțiunilor de grup este teoria invarianților geometrici , al cărei scop este de a construi o varietate de coeficient X / G care descrie mulțimea de orbite ale unui grup algebric liniar G pe X ca o varietate algebrică. Apar diverse dificultăți. De exemplu, dacă X este o varietate afină, se poate încerca să construiască X / G ca spectru al inelului invariant . Cu toate acestea, Masayoshi Nagata a arătat că inelul invariant nu ar fi generat finit ca o algebră k (și, prin urmare, spectrul inelului ar fi o schemă, nu o varietate), ceea ce oferă un răspuns negativ la cea de-a paisprezecea problemă a lui Hilbert . În direcția pozitivă, inelele invariante sunt generate finit de teorema Hebausch dacă G este reductiv, așa cum au demonstrat Hilbert și Nagata în caracteristica zero. $O(X)^{G)$

Teoria geometrică invariantă experimentează puncte subtile suplimentare atunci când un grup reductiv G acționează asupra unei varietăți proiective X. În special, teoria definește submulțimi deschise de puncte „stabile” și „semistable” din X cu un morfism factorial definit doar pe mulțimea de puncte semistabile.

Concepte înrudite

Grupurile algebrice liniare permit variații în mai multe direcții. Dacă omitem cerința existenței unei mapări inverse , obținem conceptul de monoid algebric liniar [29] . $i\colon G\to G$

Grupuri de minciuni

Pentru un grup algebric liniar G peste câmpul de reale, grupul de puncte reale este un grup Lie, în principal pentru că polinoamele reale care descriu înmulțirea în G sunt funcții netede . În mod similar, pentru un grup algebric G peste este un grup complex de Lie . O mare parte din teoria grupurilor algebrice a fost dezvoltată în analogie cu grupurile Lie. $\mathbb {R}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $C,SL(2,\mathbb {C} )$

Există mai multe motive pentru care un grup Lie poate să nu aibă structura unui grup algebric liniar peste . $\mathbb {R}$

Un grup de Lie cu un grup infinit de componente G/G o nu poate fi realizat ca un grup algebric liniar.
Un grup algebric G over poate fi conectat ca un grup algebric, în timp ce un grup Lie nu este conectat ca pentru grupurile simple conectate . De exemplu, un grup algebric SL (2) este pur și simplu conectat peste orice câmp dacă grupul Lie are un grup fundamental care este izomorf la numere întregi . Învelișul dublu H al grupului , cunoscut sub numele de grup metaplectic , este un grup Lie care nu poate fi considerat ca un grup algebric liniar peste . Mai strict, H nu are o reprezentare exactă cu dimensiuni finite. $\mathbb {R}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $\mathbb {Z}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$
Anatoly I. Maltsev a arătat că orice grup de Lie nilpotent simplu conectat simplu poate fi considerat ca un grup algebric unipotent G peste o imagine unică [30] . (Ca varietate, G este izomorf la un spațiu afin de o anumită dimensiune peste .) Prin contrast, există grupuri de Lie rezolvabile pur și simplu conectate care nu pot fi considerate grupuri algebrice reale. De exemplu, acoperirea universală H a unui produs semidirect are un centru izomorf la , care nu este un grup algebric liniar și, prin urmare, H nu poate fi privit ca un grup algebric liniar peste . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $S^{1}\ltimes \mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Soiuri abeliene

Grupurile algebrice care nu sunt afine se comportă foarte diferit. În special, o schemă de grup conectată netedă care este o varietate proiectivă asupra unui câmp este numită varietate abeliană . Spre deosebire de grupurile algebrice liniare, orice varietate abeliană este comutativă. Cu toate acestea, soiurile abeliene au o teorie bogată. Chiar și cazul curbelor eliptice (varietăți abeliene de dimensiunea 1) este esențial pentru teoria numerelor și are aplicații inclusiv demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat .

Categorii tannakiene

Reprezentările cu dimensiuni finite ale unui grup algebric G , împreună cu produsul tensor al reprezentărilor, formează categoria Tannakie Rep G . De fapt, categoriile Tannakiene cu un „functor de strat” peste un câmp sunt echivalente cu schemele de grup afine. (Orice schemă afine de grup peste un câmp k este proalgebrică în sensul că este limita proiectivă a schemelor de grup afine de tip finit peste k [31] ). De exemplu, grupul Mumford-Tate și grupul motivic Galois sunt construite folosind acest formalism. Unele proprietăți ale unui grup (pro-)algebric G pot fi obținute din categoria sa de reprezentări. De exemplu, peste un câmp cu caracteristica zero Rep G este o categorie semisimplu dacă și numai dacă componenta de identitate a grupului G este reductibilă [32] .

Vezi și

Grupurile de tip Lie sunt grupuri simple finite construite din grupuri algebrice simple peste câmpuri finite.
teorema lui Leng
Varietă generalizată flag , descompunere Bruhat , Pereche (B, N) , grup Weil , subgrup Cartan , grup tip adjunct , Inducție parabolică
Forma reală (teoria minciunii) , diagrama Satake
Grup algebric de adele , conjectura lui Weil asupra numerelor Tamagawa
Clasificare Langlands , Programul Langlands , Programul Geometric Langlands
Torsor , Coomologie non-abeliană , Grup special , Invariant coomologic , Dimensiuni de bază , Conjectura Kneser-Tits , Conjectura Serra II
Grup pseudo-reductiv
Teoria diferențială Galois

Note

↑ Kolchin, 1948 .
↑ Milne, 2017 , p. Corolarul 4.10.
↑ Milne, 2017 , p. Corolarul 8.39.
↑ Milne, 2017 , p. Propunerea 1.26(b).
↑ Borel, 1991 , p. Teorema 18.2, Corolarul 18.4.
↑ Borel, 1991 , p. Nota 14.14.
↑ Milne, 2017 , p. secțiunea 10.e.
↑ Borel, 1991 , p. secțiunea 7.1.
↑ Milne, 2017 , p. Teorema 9.18.
↑ Borel, 1991 , p. Corolarul 11.3.
↑ Milne, 2017 , p. Corolarul 17.25.
↑ Springer, 1998 , p. Teorema 15.2.6.
↑ Borel, 1991 , p. 18.2(i).
↑ Milne, 2017 , p. Corolarul 14.12.
↑ Borel, 1991 , p. Teorema 10.6.
↑ Borel, 1991 , p. Teorema 15.4(iii).
↑ Borel, 1991 , p. Teorema 11.1.
↑ Milne, 2017 , p. Teoremele 7.18, 8.43.
↑ Borel, 1991 , p. Corolarul 11.2.
↑ Milne, 2017 , p. Definiția 6.46.
↑ Bröcker, tom Dieck, 1985 , p. secțiunea III.8.
↑ Conrad, 2014 , p. secțiunea D.3.
↑ Conrad, 2014 , p. Propunerea 5.1.17.
↑ Conrad, 2014 , p. Propunerea 5.4.1.
↑ Springer, 1998 , p. 9.6.2, 10.1.1.
↑ Milne, 2017 , p. Lema 19.16.
↑ Milne, 2017 , p. Teorema 22.2.
↑ Andersen, Jantzen, Soergel, 1994 .
↑ Renner, 2006 .
↑ Milne, 2017 , p. Teorema 14.37.
↑ Deligne, Milne, 1982 , p. Corolarul II.2.7.
↑ Deligne, Milne, 1982 , p. Observație II.2.28.

Literatură

Henning Haahr Andersen, Jens Carsten Jantzen, W. Soergel. Reprezentări ale grupurilor cuantice la a p - a rădăcină a unității și ale grupurilor semisimple în caracteristica p : independența p . - Société Mathématique de France , 1994. - Vol. 220. - (Asterisc).
Armand Borel . Grupuri algebrice liniare. — al 2-lea. - New York: Springer-Verlag, 1991. - ISBN 0-387-97370-2 . Reeditare din 1969
- A. Borel. Grupuri algebrice liniare. - Moscova: Mir, 1972.
Theodor Brocker, Tammo tom Dieck. Reprezentări ale Grupurilor Compact Lie. - Springer Nature , 1985. - ISBN 0-387-13678-9 .
Brian Conrad. Scheme reductive de grup // Autour des schémas en groups . - Paris: Société Mathématique de France , 2014. - Vol. 1. - P. 93–444. - ISBN 978-2-85629-794-0 .
Pierre Deligne , James S. Milne. Categoriile Tannakiene // Cicluri Hodge, Motive și Soiuri Shimura . - Springer Nature , 1982. - T. 900. - S. 101-228. — (Note de curs la matematică). — ISBN 3-540-11174-3 .
James E. Humphreys. Grupuri algebrice liniare. - Springer, 1975. - ISBN 0-387-90108-6 .
Kolchin ER Grupuri de matrice algebrice și teoria Picard–Vessiot a ecuațiilor diferențiale ordinare liniare omogene // Annals of Mathematics . - 1948. - T. 49 . — S. 1–42 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969111 .
Milne J.S. Grupuri algebrice: Teoria schemelor de grup de tip finit peste un câmp . - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1107167483 .
Tony A. Springer. Grupuri algebrice liniare. — al 2-lea. - New York: Birkhäuser, 1998. - ISBN 0-8176-4021-5 . Reeditare din 1981
Lex Renner. Monoizi algebrici liniari. - Springer, 2006. - (Enciclopedia Științelor Matematice). — ISBN 3-540-24241-4 .

Lectură suplimentară

Grup algebric liniar / Michiel Hazewinkel, ed.. - Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - (Enciclopedia Matematicii). - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformă grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier