Obiect de grup

Un obiect de grup este o generalizare a conceptului de grup la un obiect dintr-o categorie arbitrară , în multe cazuri un obiect de grup poate fi înțeles ca un grup cu o structură suplimentară. Un exemplu tipic este un grup topologic , care are o structură spațială topologică compatibilă cu structura grupului, în sensul că operația de grup este continuă .

Definiție

Fie C o categorie cu un obiect terminal 1 în care pentru oricare două obiecte există produsul lor . Un obiect de grup din C este un obiect G din categoria C împreună cu un triplu de morfisme :

m : G × G → G (morfismul corespunzător „operației de grup”)
e : 1 → G („încorporarea elementului de identitate”)
inv : G → G ("luând elementul invers"),

pentru care trebuie să fie valabile următoarele proprietăți (corespunzătoare axiomelor grupului):

m este asociativ, adică și este același morfism (aici identificăm canonic și ); $m\circ (m\times\mathrm{id}_G)$ $m\circ (\mathrm{id}_G \times m)$ $G\ori G\ori G\la G$ $(G\ ori G) \ ori G$ $G\ori (G\ori G)$
e este un element neutru bilateral , adică unde este proiecția naturală pe al doilea factor și unde este proiecția naturală pe primul factor; $m\circ (e\times \mathrm{id}_G) = p_2,$ $p_2: 1\ori G\la G$ $m\circ (\mathrm{id}_G\times e) = p_1,$ $p_1: G\time 1 \la G$
elementul invers este într-adevăr un invers, adică dacă d : G → G × G este o mapare diagonală și e G : G → G este compoziția morfismului unic G → 1 și a morfismului e , atunci $m\circ (\mathrm{id}_G\times \mathrm{inv})\circ d=m\circ (\mathrm{inv}\times \mathrm{id}_G)\circ d=e_G.$

Exemple

Grupurile sunt exact obiecte de grup din categoria multimilor . Aici m este o operație de multiplicare binară, e este o funcție care trimite setul singleton la elementul de identitate al grupului, inv mapează elementul invers la elementul de grup și e G trimite toate elementele grupului la identitate.
Un grup topologic este un obiect de grup din categoria spațiilor topologice și mapărilor continue .
Grupul Lie este un obiect de grup din categoria varietăților netede și mapărilor netede .
Un grup algebric este un obiect de grup din categoria varietăților algebrice și mapărilor regulate . În geometria algebrică modernă , este considerat și un concept mai general al unei scheme de grup - un obiect de grup din categoria schemelor .
Obiectele de grup din categoria grupurilor sunt exact grupuri abeliene . Într-adevăr, dacă G este un grup abelian, atunci m , e și inv , definite în mod obișnuit, satisfac proprietățile unui obiect de grup (în special, deoarece grupul G este abelian , rezultă că inv este un homomorfism ). În schimb, dacă ( G , m , e , inv ) este un obiect de grup din categoria grupurilor, se poate dovedi că operația m este aceeași cu operația inițială pe grupul G , ceea ce implică faptul că e și inv sunt de asemenea definită în mod obișnuit. Vezi și argumentul Eckmann-Hilton.
Dacă C este o categorie cu coproduse finite (în special, obiectul inițial 0 fiind coprodusul mulțimii goale de obiecte), obiectul cogrup al categoriei C este un obiect al lui G împreună cu următoarele morfisme: „multiplicare” m : G → G G, „comunitatea” e : G → 0 și „co-inversia” inv : G → G , care satisfac axiomele duale cu axiomele obiectului grup enumerate mai sus. Obiectele de cogrup apar în mod natural în topologia algebrică . $\oplus$

Vezi și

Algebrele Hopf pot fi privite ca o generalizare a obiectelor de grup la o categorie monoidală arbitrară .

Link -uri

Bucur I., Deleanu A. Introducere în teoria categoriilor și functorilor. — M.: Mir, 1972. — 259 p.
Lang, Serge (2002), Algebră. - Graduate Texts in Mathematics 211 (Revizuit a treia ed.), New York: Springer-Verlag - ISBN 978-0-387-95385-4 .