Densitatea asimptotică

În teoria numerelor, densitatea asimptotică este una dintre caracteristicile care ajută la estimarea cât de mare este o submulțime a mulțimii de numere naturale . $\mathbb {N}$

În mod intuitiv, simțim că există „mai multe” numere impare decât pătrate ; cu toate acestea, setul de numere impare nu este cu adevărat „mai mare” decât setul de pătrate: ambele seturi sunt infinite și numărabile și astfel pot fi aduse în corespondență unu-la-unu între ele. Evident, pentru a ne oficializa conceptul intuitiv, avem nevoie de o cale mai bună.

Dacă alegem la întâmplare un număr din mulțime , atunci probabilitatea ca acesta să aparțină lui A va fi egală cu raportul dintre numărul de elemente ale mulțimii și numărul n . Dacă această probabilitate tinde spre o anumită limită pe măsură ce n tinde către infinit, această limită se numește densitatea asimptotică a lui A. Vedem că acest concept poate fi considerat ca fiind probabilitatea alegerii unui număr din mulțimea A . Într-adevăr, densitatea asimptotică (precum și alte tipuri de densitate) este studiată în teoria numerelor probabilistice . $\{1,2,\ldots ,n\}$ $A\cap \{1,2,\ldots ,n\}$

Densitatea asimptotică este diferită, de exemplu, de densitatea secvenței . Dezavantajul acestei abordări este că densitatea asimptotică nu este definită pentru toate subseturile de . $\mathbb {N}$

Definiție

Submulțimea numerelor pozitive are o densitate asimptotică , unde , dacă limita raportului dintre numărul de elemente care nu depășește , to pentru există și este egală cu . $A$ $\alfa$ $0\leqslant \alpha \leqslant 1$ $A$ $n$ $n$ $n\la\infty$ $\alfa$

Mai strict, dacă definim pentru orice număr natural funcția de numărare ca fiind numărul de elemente care nu depășește , atunci egalitatea densității asimptotice a mulțimii cu numărul înseamnă exact că $n$ $a(n)$ $A$ $n$ $A$ $\alfa$

\lim \limits _{n\to +\infty }{\frac {a(n)}{n}}=\alpha

Densitățile asimptotice superioare și inferioare

Fie o submulțime a mulțimii numerelor naturale Pentru orice , setăm și . $A$ $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.$ $n\în \mathbb {N}$ $A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A$ $a(n)=|A(n)|$

Definim densitatea asimptotică superioară a unei mulțimi ca ${\overline {d}}(A)$ $A$

{\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}

unde lim sup este o limită parțială a secvenței . cunoscută și sub denumirea de densitate maximă ${\overline {d}}(A)$ $A.$

În mod similar, definim , densitatea asimptotică inferioară ca ${\subline {d}}(A)$ $A$

{\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}

Vom spune că are o densitate asimptotică dacă . În acest caz, vom presupune $A$ $d(A)$ ${\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)$ $d(A)={\overline {d}}(A).$

Această definiție poate fi reformulată:

d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n))

dacă limita există și este finită.

O notiune ceva mai slaba de densitate = densitate superioara Banach ; lua , defineste ca $A\subseteq \mathbb {N}$ $d^{*}(A)$

d^{*}(A)=\limsup _{NM\rightarrow \infty }{\frac {|A\bigcap \{M,M+1,...,N\}|}{N- M+1}}

Dacă scriem o submulțime ca șir crescător $\mathbb {N}$

A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \)

apoi

{\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},

{\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n))}

iar dacă limita există. $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}))$

Exemple

Evident, d( ) $\mathbb {N}$ = 1.

Dacă pentru o mulţime A există d ( A ), atunci pentru complementul ei avem d ( A c ) = 1 - d ( A ).

Pentru orice mulțime finită de numere pozitive F avem d(F) = 0.

Dacă este mulțimea tuturor pătratelor, atunci d(A) = 0. $A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \)$

Dacă este mulțimea tuturor numerelor pare, atunci d(A) = 1/2. În mod similar, pentru orice progresie aritmetică obținem d(A) = 1/ a . $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \)$ $A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \)$

Pentru mulțimea P a tuturor numerelor prime , obținem d(P) = 0 (vezi teorema distribuției numerelor prime ).

Mulțimea tuturor numerelor fără pătrat are densitate ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}$

Densitatea setului de numere în exces este între 0,2474 și 0,2480.

Mulțimea numerelor a căror reprezentare binară conține un număr impar de cifre este un exemplu de mulțime care nu are o densitate asimptotică, deoarece densitatea superioară este $A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\)$

{\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)))={\ frac {2}{3}}\,,

în timp ce fundul

{\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)))={\ frac {1}{3}}\,.

Densitatea asimptotică

Definiție

Densitățile asimptotice superioare și inferioare

Exemple

Link -uri