Familie asociată

Familia asociată (sau familia Bonnet ) a unei suprafețe minime este o familie cu un parametru de suprafețe minime care împărtășesc aceleași date Weierstrass [1] . Adică dacă suprafața are o reprezentare

x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k} ,\qquad k=1,2,3

familia este descrisă prin formula

x_{k}(\zeta,\theta)=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\, dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]

Când suprafața se numește suprafață conjugată [2] . $\theta =\pi /2$ $\theta=0$

Transformarea poate fi considerată ca o rotație locală a direcțiilor principale de curbură . Normalele de suprafață ale unui punct fix rămân neschimbate atunci când . Punctul în sine se mișcă de-a lungul unei elipse . $\zeta$ $\theta$

Câteva exemple de familii de suprafețe asociate sunt familiile de catenoide și helicoizi , familiile Schwartz P , Schwartz D și giroide și familiile primei și celei de-a doua suprafețe Scherk . Suprafața lui Enneper este conjugată cu ea însăși - rămâne neschimbată când . $\theta$

Suprafețele conjugate au următoarea proprietate: orice linie dreaptă de pe suprafață este reflectată într-o linie geodezică plană pe suprafața conjugate și invers. Dacă o bucată de suprafață este delimitată de o linie dreaptă, atunci piesa conjugată este delimitată de o linie plată de simetrie. Acest lucru este util atunci când se construiesc suprafețe minime prin trecerea la spațiul dual: restricția prin planuri este echivalentă cu restricția prin poligon [3] .

Există analogi familiilor asociate de suprafețe minime în spații de dimensiune superioară și pentru varietăți [4] .

Note

↑ Datele Weierstrass pot fi citite în cartea Karcher G., Simon L., Fujimoto H., Hildebrandt S., Hoffman D. Weierstrass data // Minimal Surfaces / Ed. Osserman R. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 82-85. — ISBN 5-9221-0380-6 .
↑ Matthias Weber, Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples, în Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, 25 iunie–27 iulie 2001. American Mathematical Soc. ., 2005 [1] Arhivat 12 iulie 2019 la Wayback Machine
↑ Hermann Karcher, Konrad Polthier, „Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces”, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 septembrie 1996 vol. 354 nr. 1715 2077–2104 [2] Arhivat la 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3] Arhivat la 5 martie 2016 la Wayback Machine

Literatură

Suprafețe minime
Familie asociată Bura Catalana catenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Elicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Șaua stâlpului Sherka De trei ori periodic Giroida Lidinoid Neovius Schwartz