Bazinele lui Newton

Fondurile lui Newton , fractalii lui Newton sunt un fel de fractali algebrici .

Zonele cu granițe fractale apar atunci când rădăcinile unei ecuații neliniare sunt aproximativ găsite de algoritmul lui Newton pe plan complex (pentru o funcție a unei variabile reale , metoda lui Newton este adesea numită metoda tangentei , care, în acest caz, este generalizată la plan complex) [1] .

Aplicăm metoda lui Newton pentru a găsi zeroul unei funcții a unei variabile complexe folosind procedura:

z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(z_{n))))).

Alegerea aproximării inițiale prezintă un interes deosebit. Deoarece o funcție poate avea mai multe zerouri, metoda poate converge la valori diferite în cazuri diferite. Cu toate acestea, ce zone vor asigura convergența către o anumită rădăcină? $z_{0}$

Istorie

Această întrebare l-a interesat pe Arthur Cayley încă din 1879 , dar a fost posibil să o rezolve abia în anii 70 ai secolului XX , odată cu apariția tehnologiei computerelor. S-a dovedit că la intersecțiile acestor regiuni (de obicei sunt numite regiuni de atracție ), se formează așa-numitele fractali - infinite figuri geometrice auto-similare .

Datorită faptului că Newton și-a aplicat metoda exclusiv la polinoame , fractalii formați ca urmare a unei astfel de aplicații au devenit cunoscuți ca fractalii lui Newton sau piscinele lui Newton .

Trei rădăcini

Luați în considerare ecuația:

p(z)=0

p(z)=z^{3}-1

Are trei rădăcini. Atunci când alegeți diferite , procesul va converge către diferite rădăcini (regiuni de atracție). Arthur Cayley a stabilit sarcina de a descrie aceste regiuni, ale căror limite, după cum s-a dovedit, au o structură fractală . $z_{0}$

Clădire

După următoarea formulă:

z_{i+1}=z_{i}-{\frac {p(z_{i})}{p'(z_{i))}}=z_{i}-{\frac {z_{ i}^{3}-1}{3\,z_{i}^{2}}}

Scalare

Dacă mutați centrul ecranului la un punct și o scară ( ), atunci în loc să înlocuiți polinomul , puteți schimba polinomul însuși. De când , și , atunci . De când , atunci . $z_{0}$ $z=z_{0}+{\cfrac {Z}{\alpha }}$ $z$ $P(z)$ $z_{n+1}=F(z_{n})=>(z_{0}+{\cfrac {Z_{n+1}}{\alpha }})=F(z_{0}+ {\cfrac {Z_{n}}{\alpha }})$ $F(z)=z-{\cfrac {p(z)}{p'(z)}}=>F(z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }} )=z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }}-{\cfrac {p(z(Z))}{p'_{z}(z(Z))))$ $Z_{n+1}=Z_{n}+\alpha \cdot {\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{z}(z(Z_{n)))) )$ $p'_{Z}(z(Z))=p'_{z}(z(Z))\cdot z'_{Z}(Z)={\cfrac {p'_{z} (z(Z))}{\alpha }}$ $p'_{z}(z(Z))=\alpha \cdot p'_{Z}(z(Z))$

Apoi

$Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{Z}(z(Z_{n)))))$ , numărând noul polinom , obținem $P(Z)=p(z(Z))$ $Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {P(Z_{n})}{P'(Z_{n))}}$

Literatură

Akulich I. L. Programare matematică în exemple și sarcini: Proc. indemnizație pentru economia studenților. specialist. universități. - M .: Mai sus. scoala, 1986.
Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. P. Metode de calcul pentru ingineri. — M .: Mir, 1998.
Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P. , Kobelkov G. G. Metode numerice. - Ed. a 8-a. - M . : Laboratorul de Cunoștințe de bază, 2000.
Vavilov S. I. Isaac Newton . - M .: Ed. Academia de Științe a URSS, 1945.
Volkov E. A. Metode numerice. — M. : Fizmatlit, 2003.
Gill F., Murray W., Wright M. Optimizare practică. Pe. din engleza. — M .: Mir, 1985.
Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. - M . : Nauka, 1970. - S. 575-576.
Korshunov Yu. M., Korshunov Yu. M. Fundamentele matematice ale ciberneticii. - Energoatomizdat, 1972.
Maksimov Yu. A., Filippovskaya EA Algoritmi pentru rezolvarea problemelor de programare neliniară. — M .: MEPhI, 1982.
Morozov AD Introducere în teoria fractalilor. — MEPhI, 2002.
Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. - M .: „Institutul de Cercetări Informatice”, 2002.
Paytgen H.-O., Richter P. H. Frumusețea fractalilor. - M .: „Mir”, 1993.
Feder E. Fractali. - M: „Mir”, 1991.
Fomenko A. T. Geometrie vizuală și topologie. - M .: Editura MSU, 1993.
Fractali în fizică. Proceedings of the 6th International Symposium on Fractals in Physics, 1985. - M .: Mir, 1988.
Schroeder M. Fractali, haos, legile puterii. Miniaturi dintr-un paradis fără sfârșit. - Izhevsk: „RHD”, 2001.
Morozov AD Introducere în teoria fractalilor. - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2002, 109-111.
Kronover R. M. Fractali și haos în sistemele dinamice. Fundamentele teoriei. Moscova: Postmarket, 2000. 248-251.

Note

↑ Fractalul lui Newton . Consultat la 12 noiembrie 2009. Arhivat din original la 20 decembrie 2016. (nedefinit)

Link -uri

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului