Hiperoperator

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 iunie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Hiperoperator - o generalizare a operațiilor aritmetice tradiționale - adunare , înmulțire și exponențiere , considerați ca hiperoperatori de ordinul 1, 2 și, respectiv, 3 - la ordine superioare ( tetrație , pentație și așa mai departe).

În virtutea necomutativității (în cazul general), hiperoperatorul are două funcții inverse - hiperrădăcina și hiperlogaritmul. Hiperrădăcina și hiperlogaritmul adunării și înmulțirii coincid, formând scăderea și , respectiv, împărțirea , dar deja pentru exponențiere, funcțiile inverse devin diferite ( rădăcină și logaritm ). Operațiile inverse se generalizează la un hiperoperator de orice ordin.

Istorie

Din punct de vedere istoric, primul hiperoperator este funcția Ackermann (1928), construită ca exemplu de funcție computabilă ne - primitivă recursivă , definită peste tot, a trei argumente , astfel încât pentru aceasta să definească operațiile de adunare, înmulțire și, respectiv, exponențiere: $\varphi(a,b,n)$ $n=0,1,2$

\varphi (a,b,0)=a+b

\varphi (a,b,1)=a\cdot b

\varphi (a,b,2)=a^{b)

;

în notația săgeată a lui Knuth [1] :

\varphi (a,b,n)=a\uparrow ^{n-1}(b+1)

Ulterior, Goodstein a dezvoltat secvențe de funcții care implementează mai precis conceptul de hiperoperatori.

Definiție

Un hiperoperator de ordine cu argumente și (denumit în continuare ) este definit recursiv ca rezultat al aplicării repetate a hiperoperatorului de ordine la o secvență de argumente identice, (începând cu înmulțirea, fiecare egal cu ): $n$ $A$ $b$ $a^{(n)}b$ $n-1$ $b$ $A$

adunare și - crește numărul cu numărul de unități, egal cu : $A$ $b$ $A$ $b$ $a{^{{(1)}}}b=a+\underbrace {1+1+\dots +1}_{{b}}=a+b$
înmulțire prin - adăugarea unui număr la sine de ori: $A$ $b$ $A$ $b$ $a{^{{(2)}}}b=\underbrace {a+a+\dots +a}_{{b}}=a\times b$
ridicarea lui a la puterea lui b înseamnă înmulțirea unui număr cu el însuși ori: $A$ $b$ $a{^{{(3)}}}b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a}_{{b}}=a^{b}$
$...$
$a{^{{(n)}}}b=\underbrace {a^{{((n-1)}}a^{{(n-1)}}\dots a^{{(n-1) } }a}_{{b}}$

În ultima expresie, operațiile sunt efectuate de la dreapta la stânga, ceea ce este semnificativ deoarece hiperoperatorii de ordine nu sunt nici comutativi , nici asociativi . Hiperoperatorii de ordinul al 4-lea, al 5-lea și al 6-lea se numesc tetrație , pentație și , respectiv, hexation . $n>2$

În cel mai simplu caz , valorile variabilelor și sunt limitate la numere naturale . Posibilele generalizări ale hiperoperatorilor la numere reale sau complexe arbitrare sunt încă puțin studiate. $A$ $b$ $n$ $n\geqslant 4$

Diferiți matematicieni desemnează hiperoperatori în moduri diferite; Whip folosește săgeți $\Săgeata în sus$ , Conway folosește săgeți $\la$ :

a{^{{(n)}}}b={\textrm {hyper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{{n-2}}b=a\to b\to (n- 2)

Operațiuni alternative

O operație alternativă poate fi obținută prin calcul de la stânga la dreapta, iar datorită comutativității și asociativității operațiilor de adunare și înmulțire, această operație coincide cu hiperoperatorul de la : $n<4$

$a+b=(a+(b-1))+1$ ,
$a\times b=(a\times (b-1))+a$ ,
$a^{b}=(a^{{(b-1)}})\ori a$ .

Pentru un hiperoperator , calculul de la stânga la dreapta (adică operația alternativă) diferă de hiperoperator și duce la un rezultat diferit, de exemplu, pentru că obținem hiperoperatorul de tetrație : . $n\geqslant 4$ $n=4,a=3,b=3$ $3\uparrow ^{2}3={}^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7{\text{ }}625{\text{ }} 597{\text{ }}484{\text{ }}987$

Dar calcularea turnului de putere de la stânga la dreapta va duce la un rezultat incorect: . $3^{3^{3}}\neq \left(3^{3}\right)^{3}=3^{3^{2}}=3^{9}=19{\text {}}683$

Note

↑ Cristian Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy. Primul exemplu de funcție recursivă care nu este recursivă primitivă // Historia Mathematica. — 1979-11. - T. 6 , nr. 4 . — S. 380–384 . — ISSN 0315-0860 . - doi : 10.1016/0315-0860(79)90024-7 .

Literatură

Evnin A. Yu. Superputeri și diferențele lor // Educație matematică. - 2001. - Nr. 1 (16) . - S. 68-73 .
Shustov VV Acțiune numerică generală și unele dintre proprietățile sale. - 2008. - 64 p. - ISBN 978-5-382-00546-1 .

Cifre mari
Numerele	googol Numărul Shannon Googlelplex Număr înclinat numărul Moser Numărul Graham TREE(3) Numărul Rayo
Funcții	Funcția Ackermann Funcția Veblen Funcțiile Psi ale lui Buchholz tetrare Pentație Hiperoperator Ierarhie în creștere rapidă Ierarhie în creștere lent Ierarhie Hardy
Notații	Notația Steinhaus-Moser Notație cu săgeată Knuth Notație săgeată Conway Notație masivă Bowers