Potențialul Delta în mecanica cuantică

Potențialul delta în mecanica cuantică este denumirea generală pentru profilurile de energie potențială ale unei particule, date prin expresii cu funcția delta Dirac . Astfel de profiluri modelează situația fizică atunci când există maxime sau minime foarte înguste și ascuțite ale potențialului.

Exemple simple de astfel de profile sunt o barieră de tunel în formă de deltă și un puț cuantic în formă de deltă de formă Se pune întrebarea despre coeficientul de transmisie al unei particule, precum și despre existența și energiile stărilor legate. $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda$ $\cdot$ $\cdot$ $X$ $m$

În cele mai multe cazuri, când se ia în considerare comportamentul unei particule, se caută o soluție la ecuația Schrödinger staționară unidimensională cu potențialul corespunzător. De obicei, se presupune că particula se mișcă numai de-a lungul direcției și nu există nicio mișcare în planul perpendicular . $X$ $yz$

O abordare pentru rezolvarea ecuației Schrödinger

Ecuația Schrödinger unidimensională staționară pentru funcția de undă are forma $\psi(x)$

{\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+U(x)\dreapta]\psi (x)=E\psi (x)

unde este Hamiltonianul , este constanta lui Planck , este energia totală a particulei și . După integrarea acestei ecuații pe o secțiune îngustă aproape de zero ${\hat {H}}$ $\hbar$ $E$ $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }U(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0

a reusi

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\\right)+{\ frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0

Pictograme mari și indică zonele din stânga și din dreapta barierei sau gropii (din engleză stânga, dreapta ). În punctul , trebuie îndeplinită condiția de continuitate a funcției de undă $_{L}$ $_{R}$ $x=0$

\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)

și condiția de continuitate pentru densitatea de flux probabilă

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0)

Aceste două condiții sunt relevante indiferent dacă vorbim despre o barieră în formă de deltă sau despre o sondă și, de asemenea, (pentru o sondă) dacă valoarea energetică este mai mare sau mai mică decât zero (pentru o barieră, opțiunea este imposibilă). $E$ $E<0$

Coeficienți de transmisie și reflexie

În această secțiune, presupunem că și luăm în considerare trecerea unei particule printr-o barieră sau peste un puț. $E>0$

O barieră sau groapă împarte spațiul în două părți ( ). În ambele zone, soluția ecuației Schrödinger este unde plane și poate fi scrisă ca suprapunerea lor : $x<0,\,\,x>0$

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

unde este vectorul de undă . Indicii mici și la coeficienți și indică direcția vectorului de undă la dreapta și la stânga. Relația dintre acești coeficienți poate fi găsită din condițiile pentru și la cele scrise la sfârșitul secțiunii precedente: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $r$ $l$ $A$ $B$ $\psi$ $\psi'$ $x=0$

A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l)

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2))}\left(B_{r }+B_{l}\dreapta)

Fie ca particula incidentă să se apropie de bariera din stânga ( și ), apoi coeficienții și , care determină probabilitatea de reflexie și respectiv de trecere, au forma: $A_{r}=1$ $B_{l}=0$ $A_{l}=r$ $B_{r}=t$

t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1)),\qquad r={\frac {1}{{\frac { i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}

În cazul clasic, o particulă cu energie finită nu poate depăși bariera potențială infinită și este garantată să treacă peste puț. Cu abordarea cuantică, situația este diferită: coeficienții de transmisie și reflexie sunt $E>0$

T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2)}{\hbar ^{4}k^{2)}))} = {\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}} ))}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))))))

Sunt trei rezultate neașteptate, din punct de vedere clasic, deodată. În primul rând, există o probabilitate de trecere diferită de zero ( coeficient de transmisie ) pentru o barieră infinit de mare. În al doilea rând, deoarece formula este destul de aplicabilă pentru negativ , probabilitatea trecerii la suprafață este diferită de unitate. În al treilea rând, valoarea nu se schimbă atunci când semnul este schimbat , adică probabilitățile de a tuneliza o particule cu energie prin barieră și de a trece prin puțul de deasupra puțului sunt aceleași ca număr. $\lambda$ $T$ $\lambda$ $E$

Stare discretă într-un puț în formă de deltă

În această secțiune, se presupune că , și numai godeul ( ) este considerat, și anume, se determină energia stării discrete a particulei din ea. $E<0$ $\lambda <0$

În ambele regiuni, soluția ecuației Schrödinger, ca mai sus, poate fi scrisă ca o sumă de exponențiale

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

unde . Dar acum este o valoare imaginară și, prin urmare, numai acei exponenți care decadează, nu cresc, cu plus și minus infinit ar trebui lăsați în înregistrare: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k$

\psi _{L}(x)=A_{l}e^{-ikx}=A_{l}e^{|k|x},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}=B_{r}e^{-|k|x},\quad x>0

Din condițiile pentru și la următoarele și, ținând deja seama de această cerință, . De aici $\psi$ $\psi'$ $x=0$ $A_{l}=B_{r)$ $|k|=-\lambda /\hbar ^{2)$

E_{level}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}

adică într-o fântână în formă de deltă, există exact un nivel cu energia scrisă.

Relevanța practică a modelului deltă

Situația tunelării printr-un potențial deltaic este cazul limitativ al tunelării printr-o barieră dreptunghiulară de lățime și înălțime , în care tendința spre zero, și k apare în așa fel încât produsul să fie constant și egal cu o anumită constantă . $A$ $V$ $A$ $V$ $+\infty$ $V\cdot a$ $g=\lambda /m$

Problema tunelului printr-o barieră de tip deltă este o problemă de model standard în mecanica cuantică. Apare, de exemplu, atunci când se descrie transferul de curent între două regiuni conductoare, la joncțiunea cărora se formează spontan o peliculă subțire de oxid. Dacă grosimea filmului și compoziția sa chimică sunt aproximativ cunoscute, se poate utiliza un model de barieră dreptunghiulară sau trapezoidală. Cu toate acestea, în unele cazuri, singura cale de ieșire este utilizarea modelului potențial delta.

Similar cu problema puțului delta: modelul poate fi folosit ca o aproximare aproximativă. Valoarea servește ca parametru de potrivire atât pentru barieră, cât și pentru sondă. $\lambda$

Literatură

Landau L.D., Lifshits E.M. Mecanica cuantică (teorie nonrelativistă). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989 . — 768 p. - („Fizica teoretică”, Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu