Punct perfect

Un punct impropriu , un punct ideal , un punct omega sau un punct la infinit [1] este un punct bine definit în afara unui plan sau spațiu hiperbolic. Având în vedere o dreaptă l și un punct P în afara lui l , atunci dreptele care trec prin P , pe dreapta și stânga paralele în limita dreptei l , converg către l în punctele ideale .

Spre deosebire de cazul proiectiv, punctele ideale formează mai degrabă o limită decât o subvarietate. Astfel, aceste drepte nu se intersectează într-un punct ideal, iar astfel de puncte, deși bine definite , nu aparțin spațiului hiperbolic în sine.

Punctele ideale formează împreună absolutul Cayley sau limita geometriei hiperbolice . De exemplu, cercul unitar formează absolutul Cayley al modelului disc Poincaré și modelul discului Klein . În același timp, linia reală formează absolutul Cayley al modelului semiplan [2] .

Axioma Pasch și teorema asupra unghiului extern al unui triunghi sunt valabile pentru un triunghi omega , care este definit de două puncte de spațiu hiperbolic și un punct omega [3] .

Proprietăți

Poligoane cu vârfuri ideale

Triunghiuri perfecte

Dacă toate vârfurile unui triunghi sunt puncte perfecte, atunci triunghiul este un triunghi perfect .

Triunghiurile perfecte au câteva proprietăți interesante:

Patrulatere ideale

Dacă toate vârfurile unui patrulater sunt puncte ideale, atunci patrulaterul este un patrulater perfect.

În timp ce toate triunghiurile perfecte sunt congruente, nu toate patrulaterele sunt congruente, diagonalele se pot intersecta în unghiuri diferite, rezultând patrulatere incongruente, cu:

Pătrat perfect

Un patrulater perfect în care două diagonale sunt perpendiculare formează un pătrat perfect.

Pătratul perfect a fost folosit de Ferdinand Karl Schweikart în memoriul său în care menționează „geometria astrală”. A fost una dintre primele publicații care a admis posibilitatea geometriei hiperbolice [5] .

Ideal n -goni

Cum pot fi împărțite n - gonurile în ( n - 2) triunghiuri perfecte și aria poligonului va fi egală cu aria triunghiului perfect ori ( n - 2) .

Reprezentări în modele de geometrie hiperbolică

În modelul discului Klein și modelul discului Poincare al planului hiperbolic , punctele ideale sunt cercurile unitare (pentru planul hiperbolic) sau sfera unitară (pentru spațiile de dimensiuni superioare), care sunt granița de neatins a spațiului hiperbolic.

Aceeași linie dreaptă hiperbolică în modelul discului Klein și modelul discului Poincaré vor trece prin aceleași două puncte ideale.

Modelul discului Klein

Având în vedere două puncte distincte p și q în discul unitar deschis, singura linie care le leagă intersectează cercul unitar în două puncte ideale , a și b (presupunând că punctele sunt în ordinea a , p , q , b ), astfel încât | aq| >>|ap| și |pb| > |qb|. Atunci distanța hiperbolică dintre p și q este dată de

Modelul discului Poincaré

Având în vedere două puncte distincte p și q într-un disc unitar deschis, atunci un singur arc de cerc ortogonal la graniță și care leagă punctele intersectează cercul unitar în două puncte ideale , a și b (presupunând că punctele sunt în ordinea a , p , q , b ), astfel încât |aq| >>|ap| și |pb| > |qb|. Atunci distanța hiperbolică dintre p și q este dată de

Aici distanța este măsurată de-a lungul segmentelor (drepte) aq, ap, pb și qb.

Modelul semiplan de Poincaré

În modelul semiplan, punctele ideale sunt puncte de pe axa limită. Există și un alt punct ideal care nu aparține modelului semiplan (dar raze paralele cu semiaxa y pozitivă se apropie de el).

Model hiperbolic

Nu există puncte improprii în modelul hiperboloid .

Vezi și

Note

  1. ↑ Komatsu, 1981 , p. 103-104.
  2. ↑ Struve, Struve, 2010 , p. 151–170.
  3. ↑ Hvidsten, 2005 , p. 276–283.
  4. ↑ Thurston, 2012 .
  5. ↑ Bonola, 1955 , p. 75–77.

Literatură