Sferă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 decembrie 2021; verificările necesită 8 modificări .

Sfera ( în altă greacă σφαῖρα „ minge , minge [1] ”) este locul punctelor din spațiu echidistant de un punct dat ( centrul sferei).

Distanța de la un punct al unei sfere până la centrul său se numește raza sferei. O sferă cu raza 1 se numește sferă unitară .

Proprietăți

O sferă este o suprafață de revoluție formată prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului său .

O sferă este un caz special al unui elipsoid , în care toate cele trei axe (jumătate de axe, raze) sunt egale.

O sferă este suprafața unei mingi .

O sferă are cea mai mică suprafață dintre toate suprafețele care delimitează un anumit volum, cu alte cuvinte, dintre toate suprafețele cu o anumită zonă, o sferă delimitează cel mai mare volum. Din cauza minimizării suprafeței prin forța tensiunii superficiale, micile picături de apă în imponderabilitate capătă o formă sferică.

Semnificația în știința naturii

Perfecțiunea formei sferice a atras de multă vreme atenția gânditorilor și oamenilor de știință care, cu ajutorul sferelor, au încercat să explice armonia lumii înconjurătoare. Omul de știință grec antic Pitagora , împreună cu Pământul sferic din centrul Universului, a introdus o sferă de cristal îndepărtată care înconjoară Pământul, de care sunt atașate stelele, și șapte sfere de cristal rotative mai apropiate, la care Soarele, Luna și cinci sfere de cristal. planetele cunoscute până în acel moment (excluzând Pământul) sunt atașate. Acest model a devenit ulterior mai complicat: Eudoxus din Cnidus a considerat deja 27 de astfel de sfere, iar Aristotel - 55 de sfere de cristal [2] . Ideile despre sferele cerești rotative au dominat cel puțin până în Evul Mediu și chiar au intrat în sistemul heliocentric al lumii lui Nicolaus Copernic , care și-a numit lucrarea principală „ Despre rotația sferelor cerești ” ( lat. De revolutionibus orbium coelestium ).

Sferele cerești încă din Grecia antică au făcut parte dintr-un concept mai general al armoniei sferelor despre structura muzicală și astronomică a lumii, care includea și conceptul de „muzică a sferelor”. Acest concept a existat și cel puțin până în Evul Mediu. Pentru unul dintre cei mai cunoscuți astronomi, Johannes Kepler , sfera a ocupat un loc central în întregul său sistem de idei religioase și mistice, el a scris: „Imaginea zeului triun este o suprafață sferică, și anume: zeul tatăl în centru. , zeu fiul la suprafață și sfântul duhul se află într-o relație simetrică între centru și suprafața sferică descrisă în jurul lui” [3] [4] . Una dintre primele scrieri semnificative ale lui Kepler, „ Secretul Universului ” ( lat. Mysterium Cosmographicum ), a fost dedicată parametrilor sferelor cerești, Kepler credea că a descoperit o legătură remarcabilă între poliedre regulate , dintre care există doar cinci, și sferele cerești ale celor șase planete cunoscute până în acel moment (inclusiv Pământul), care, potrivit lui Kepler, sunt sferele circumscrise și înscrise ale acestor poliedre. Ideea armoniei sferelor a jucat un rol important în descoperirea de către Kepler a celei de-a treia legi a mișcării corpurilor cerești (în orice caz, ele pot fi considerate ca un stimulent pentru căutarea relațiilor astronomice) [5] . Cu toate acestea, pentru Kepler, sferele cerești erau deja obiecte pur matematice și nu corpuri existente fizic. Până în acel moment, Tycho Brahe a arătat că mișcarea cometelor , în special Marea Cometă din 1577, era incompatibilă cu existența sferelor cerești solide [6] . Ca model matematic convenabil, a rămas o sferă cerească , cu ajutorul căreia astronomii reprezintă până astăzi pozițiile aparente ale stelelor și planetelor.

Sferă în spațiu 3D

Ecuația unei sfere într-un sistem de coordonate dreptunghiular este :

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},

unde sunt coordonatele centrului sferei, este raza acesteia. $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $R$

Ecuația parametrică a unei sfere centrate într-un punct : $(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi , \\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}

unde si $\theta \in [0,\pi ]$ $\phi \in [0,2\pi ).$

Curbura gaussiană a unei sfere este constantă și egală cu 1/ R² .

Coordonatele unei sfere care trece prin puncte date

Prin patru puncte din spațiu nu poate exista decât o singură sferă cu centru $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\,;\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})\, ;\,M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})\,;\,M_{4}(x_{4},y_{4},z_{4})\,$

x_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{x}-B_{x}+C_{x}-D_{x}}{U+V+W }}

y_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{y}-B_{y}+C_{y}-D_{y}}{U+V+W }}

z_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{z}-B_{z}+C_{z}-D_{z}}{U+V+W }}

Unde:

U=(z_{1}-z_{2})(x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})-(z_{2}-z_{3})(x_{ 4}y_{1}-x_{1}y_{4})

V=(z_{3}-z_{4})(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(z_{4}-z_{1})(x_{ 2}y_{3}-x_{3}y_{2})

W=(z_{1}-z_{3})(x_{4}y_{2}-x_{2}y_{4})-(z_{2}-z_{4})(x_{ 1}y_{3}-x_{3}y_{1})

A_{x}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[y_{2}(z_{3}-z_{4 })+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3})]

B_{x}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[y_{3}(z_{4}-z_{1 })+y_{4}(z_{1}-z_{3})+y_{1}(z_{3}-z_{4})]

C_{x}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[y_{4}(z_{1}-z_{2 })+y_{1}(z_{2}-z_{4})+y_{2}(z_{4}-z_{1})]

D_{x}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[y_{1}(z_{2}-z_{3 })+y_{2}(z_{3}-z_{1})+y_{3}(z_{1}-z_{2})]

A_{y}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[z_{2}(x_{3}-x_{4 })+z_{3}(x_{4}-x_{2})+z_{4}(x_{2}-x_{3})]

B_{y}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[z_{3}(x_{4}-x_{1 })+z_{4}(x_{1}-x_{3})+z_{1}(x_{3}-x_{4})]

C_{y}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[z_{4}(x_{1}-x_{2 })+z_{1}(x_{2}-x_{4})+z_{2}(x_{4}-x_{1})]

D_{y}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[z_{1}(x_{2}-x_{3 })+z_{2}(x_{3}-x_{1})+z_{3}(x_{1}-x_{2})]

A_{z}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[x_{2}(y_{3}-y_{4 })+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3})]

B_{z}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[x_{3}(y_{4}-y_{1 })+x_{4}(y_{1}-y_{3})+x_{1}(y_{3}-y_{4})]

C_{z}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[x_{4}(y_{1}-y_{2 })+x_{1}(y_{2}-y_{4})+x_{2}(y_{4}-y_{1})]

D_{z}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[x_{1}(y_{2}-y_{3 })+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]

Raza acestei sfere:

R={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0 })^{2}}}

Formule geometrice de bază

Suprafața unei sfere

S=4\pi r^{2}=\pi d^{2)

Unghiul solid complet al unei sfere

\Omega =4\pi

steradian mp. grade.

\aprox 41253

Volumul unei sfere delimitată de o sferă

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}d^{3}.

Înălțime zona segmentului sferei

H

S=2\pi rH

Geometrie pe o sferă

Un cerc situat pe o sferă al cărui centru coincide cu centrul sferei se numește cerc mare (cerc mare) al sferei. Cercurile mari sunt linii geodezice pe sferă; oricare două dintre ele se intersectează în două puncte. Cu alte cuvinte, cercurile mari ale sferei sunt analoge ale liniilor drepte pe plan, distanța dintre punctele de pe sferă este lungimea arcului cercului mare care trece prin ele. Unghiul dintre liniile de pe plan corespunde unghiului diedric dintre planele cercurilor mari. Multe teoreme de geometrie în plan sunt valabile și în geometria sferică, există analogi ai teoremei sinusului , teoremelor cosinusului pentru triunghiuri sferice . În același timp, există multe diferențe, de exemplu, într-un triunghi sferic suma unghiurilor este întotdeauna mai mare de 180 de grade, la cele trei semne de egalitate ale triunghiurilor se adaugă egalitatea lor în trei unghiuri, un triunghi sferic poate avea două sau chiar trei unghiuri drepte - de exemplu, un triunghi sferic format din ecuator și meridianele 0° și 90°.

Distanța dintre două puncte de pe o sferă

Având în vedere coordonatele sferice a două puncte, distanța dintre ele poate fi găsită după cum urmează:

L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

Cu toate acestea, dacă unghiul este dat nu între axa Z și vectorul până la punctul sferei, ci între acest vector și planul XY (cum este obișnuit în coordonatele pământului date de latitudine și longitudine), atunci formula va fi ca urmează: $\theta$

L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

În acest caz, și sunt numite latitudini și longitudini . $\theta _{1}$ $\theta _{2}$ $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

sferă n -dimensională

În general, ecuația unei sfere ( n −1)-dimensionale (în spațiul euclidian n - dimensional ) este:

\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^{2},

unde este centrul sferei și a este raza. $(a_{1},...,a_{n})$ $r$

Intersecția a două sfere n - dimensionale este o sferă ( n − 1)-dimensională situată pe hiperplanul radical al acestor sfere.

Într -un spațiu n -dimensional, nu mai mult de n + 1 sfere se pot atinge în perechi (în puncte diferite) .

O inversare n - dimensională duce o sferă ( n −1)-dimensională la o sferă sau hiperplan ( n −1)-dimensională .

Una dintre problemele mileniului este legată de sfera tridimensională - conjectura Poincaré , care afirmă că orice varietate tridimensională compactă , pur și simplu conectată , fără graniță, este homeomorfă unei astfel de sfere. Această presupunere a fost dovedită de G. Ya. Perelman la începutul anilor 2000 pe baza rezultatelor lui Richard Hamilton .

Vezi și

Note

↑ Dicționarul antic greco-rus al lui Dvoretsky „σφαῖρα” (link inaccesibil) . Consultat la 17 iunie 2019. Arhivat din original la 25 martie 2016. (nedefinit)
↑ Klimishin I. A. Astronomia zilelor noastre . - Ed. a 3-a. - M . : Nauka , 1986. - S. 30 -33. — 55.400 de exemplare.
↑ Pauli W. Influența ideilor arhetipale asupra formării teoriilor științelor naturale de Kepler // Eseuri fizice. — M .: Nauka , 1975.
↑ Textul latin original al citatului: „Dei trinuni imago in Sphærica superficie, Patris scilicet in centro, Filij in superficie, Spiritus in æqualitate σχέσεως inter punctum & ambitum”. Vezi: Kepler J. Mysterium Cosmographicum (neopr.) . - 1596. - P. 19. Copie de arhivă din 30 mai 2014 la Wayback Machine
↑ Şevcenko V.V. Muzica Cerească // Pământul și Universul . - 1973. - Nr 4 . - S. 56-58 .
↑ Tycho Brahe. Autobiografie // Cercetări istorice și astronomice / Ed. ed. L.E. Maistrov. - M . : Nauka , 1984. - T. XVII . - S. 393-394 .

Link -uri

Suprafețe compacte și imersiile lor în spațiul tridimensional

Clasa de homeoformitate a unei suprafețe triangulate compacte este determinată de orientabilitate, numărul de componente de limită și caracteristica Euler.

fara limita

Orientabil	Sferă (genul 0) Thor (genul 1) „Opt” (genul 2) " Covrigi " (genul 3)...
Neorientabil	Plan proiectiv real genul 1; Suprafața de luptă suprafață romană Sticla Klein (genul 2) Suprafața Dick (genul 3)...

cu bordura

Disc
- emisferă
Panglică
- Inel
- Cilindru
Fâșia Mobius
- bandă Möbius
Sfera cu trei gauri...

Concepte înrudite

Proprietăți	Conectivitate compactitatea Triunghiulare sau netezime Orientabilitate
Caracteristici	Numărul de componente de chenar Gen caracteristica lui Euler
Operațiuni	Suma conectată tăierea găurilor Lipirea mânerului Atașarea benzii Möbius Imersiune

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 119812876 GND : 4165914-4 J9U : 987007565817805171 LCCN : sh85126590